Trường Đại học Vật lý và Công nghệ tại MIPT

55

67,2, SFRY - 62,25, Na Uy - 54,69, Cuba - 50,71, Iceland - 31,72 (bốn người tham gia).

O. Volkov đã nhận được giải thưởng đặc biệt cho kết quả tuyệt đối tốt nhất, S. Myagchilov - cho người thực hiện nhiệm vụ thí nghiệm tốt nhất.

Khi bế mạc Thế vận hội, những người tham gia Thế vận hội đã nhường chỗ cho cậu học sinh Liên Xô Oleg Volkov.

Trong Thế vận hội, những người tham gia đã được cung cấp một chương trình văn hóa thú vị. Các thí nghiệm được thực hiện tại Viện Hoàng gia (ở Luân Đôn), nơi đặt Bảo tàng M. Faraday, tại Phòng thí nghiệm Nghiên cứu Vật lý và Không gian được đặt theo tên. E. Rutherford, tới chung cư Grivich, tới Đại học Oxford. Những người tham gia Olympic đã đến thăm quốc hội và gặp gỡ một thành viên quốc hội. Trong lễ khai mạc và bế mạc Thế vận hội Slimy, các buổi hòa nhạc đã được tổ chức cho học sinh người Anh.

Thế vận hội đã diễn ra trong bầu không khí thân thiện.

Ban biên tập và ban biên tập tạp chí «Kvant» chúc mừng tất cả các thành viên của đội tuyển Liên Xô đã giành được chiến thắng vang dội tại Olympic Vật lý Quốc tế lần thứ XVII và chúc họ thành công hơn nữa trong sáng tạo.

Thông tin

Trường Đại học Vật lý và Công nghệ tại MIPT

Trường Vật lý và Công nghệ Tương ứng (3FTSH) thuộc Huân chương Cờ đỏ của Viện Vật lý và Công nghệ Lao động (MIPT) ở Moscow đang tuyển sinh lớp 8, 9 và 10 từ tám trường hè và trung học nằm trên lãnh thổ RSFSR vào năm học 1987/88.

Mục tiêu của trường là giúp học sinh học tập độc lập để đào sâu kiến ​​thức về vật lý và toán học. Khi đăng ký vào 3FTS, ưu tiên dành cho sinh viên sống ở khu vực nông thôn và khu định cư của người lao động, những nơi đặc biệt cần sự hỗ trợ đó.

Giáo dục ở trường là miễn phí.

Ngoài các học sinh cá nhân, 3FTS còn chấp nhận các câu lạc bộ vật lý và công nghệ, có thể được tổ chức ở bất kỳ trường trung học nào bởi hai giáo viên - vật lý và toán học. Những người đứng đầu vòng tròn tuyển dụng và ghi danh học viên (ít nhất 8-10 người) đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ nhập môn của 3FTS. Một vòng tròn được chấp nhận vào 3FTSH nếu giám đốc trường thông báo cho 3FTSH về họ, tên, sự vắng mặt của người đứng đầu vòng tròn và danh sách các thành viên của vòng tròn (cho biết lớp trong năm học 1987/88 và điểm cuối cùng của bài tập giới thiệu về vòng tròn và môn toán). Tất cả tài liệu về tổ chức vòng tròn và một phong bì cho đáp số về việc tiếp nhận vòng kết nối vào 3FTSH với địa chỉ gửi lại được gửi đến một trong những người đứng đầu vòng kết nối phải được gửi đến 3FTSH (141700, Dolgoprudny, khu vực Moscow, MIPT, 3FTSH, “vòng tròn”) trước ngày 25 tháng 5 năm 1987. (Sổ ghi chép về công việc của các thành viên vòng kết nối không được gửi đến 3FTSH.)

Học sinh của 3FTSH và trưởng câu lạc bộ vật lý và công nghệ sẽ nhận các nhiệm vụ vật lý và toán học theo chương trình 3FTSH, cũng như 3FTSH lời giải được đề xuất của các nhiệm vụ này. Các bài tập chứa tài liệu lý thuyết và phân tích các đặc điểm của bài tập và các ví dụ về chủ đề, cũng như 10-14 bài toán cho lời giải độc lập. Đây đều là những bài toán đơn giản và phức tạp hơn (ở mức độ cạnh tranh bài toán tại MIPT). Công việc của sinh viên văn thư được kiểm tra bởi 3FTS và các chi nhánh của nó, và các thành viên trong vòng kết nối được kiểm tra bởi các nhà lãnh đạo của nó.

Học sinh Moscow được học vật lý và toán học hai lần một tuần theo chương trình 3FTSH tại các trung tâm tư vấn buổi tối (ở một số trường học ở Moscow). Việc tuyển dụng vào các nhóm này được thực hiện dựa trên kết quả hoàn thành nhiệm vụ giới thiệu của 3FTSH hoặc trên cơ sở đào tạo thành công về vật lý và toán học (để biết thông tin, hãy gọi 408-51-45).

Mỗi học sinh hoàn thành bài tập giới thiệu về vật lý và toán học một cách độc lập. Tác phẩm phải được thực hiện bằng tiếng Nga và được viết lại cẩn thận trên sân thượng của một trường học. Thứ tự bài toán phải giống như trong nhiệm vụ. Gửi cuốn sổ trong một phong bì lớn kèm theo một bưu kiện đơn giản (đừng hàn nó thành ống). Cùng với quyết định của bạn, hãy nhớ gửi giấy chứng nhận từ trường nơi bạn dạy, cho biết lớp học của bạn. Dán giấy chứng nhận ở bên trong sân thượng. Nếu không có chứng chỉ này lời giải sẽ không được xem xét. Ngoài sân thượng dán một tờ giấy đã điền theo mẫu (tất cả họ, tên và những chỗ vắng mặt trong bài viết này phải ghi rõ bằng chữ in ở phần danh nghĩa):

56

1. Vùng (khu vực hoặc ASSR)
2. Họ, tên, chữ viết tắt
3. Lớp học
4. Số điện thoại, địa chỉ của trường
5. Họ, tên, chữ viết tắt của giáo viên:
   trong vật lý
   trong toán học
6. Nghề nghiệp của cha mẹ và chức vụ nắm giữ:
   bố
   mẹ
7. Địa chỉ nhà chi tiết
   e-mail
   điện thoại
   VẼ BẢNG DƯỚI ĐÂY ĐỂ BIẾT ĐIỂM BÀI THI CỦA BẠN:

Để nhận được đáp số cho nhiệm vụ giới thiệu đến Terrada, một phong bì có địa chỉ nhà của bạn.

Ngày khởi hành lời giải - không muộn hơn ngày 1 tháng 3 năm 1987 (theo dấu bưu điện nơi khởi hành). Giấy tờ dự thi sẽ không được gửi lại. Lời giải sẽ được thông báo tới hội đồng tuyển sinh không muộn hơn ngày 1 tháng 8 năm 1987.

Gửi một cuốn sổ ghi các bài tập đã hoàn thành (bắt buộc trong cả vật lý và toán học) đến địa chỉ: 141700, Dolgoprudny, khu vực Moscow, Viện Vật lý và Công nghệ Moscow, cho 3FTSH.

Sinh viên của các vùng Arkhangelsk, Vologda, Kalinin, Kaliningrad, Kirov, Kostroma, Leningrad, Murmansk, Novgorod, Perm, Pskov và Yaroslavl, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Karal, Komi và Udmurt gửi tác phẩm đến địa chỉ: 198904, Old Peterhof, st. Ngày 1 tháng 5 năm 100, Đại học bang Leningrad, chi nhánh 3FTSH tại MIPT.

Sinh viên của các vùng Amur, Irkutsk, Kamchatka, Kemerovo, Magadan, Novosibirsk, Omsk, Sakhalin, Tomsk, Tomen và Chita, Lãnh thổ Altai, Kraskirsky, Primorsky và Khabarovsk, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Buryat, Tuva và Yakta gửi bài đến địa chỉ: 660062, Krasnoyarsk, Svobodny Ave., 79, State, chi nhánh của 3FTSH tại MIPT.

Dưới đây là các nhiệm vụ giới thiệu về vật lý và toán học.

Trong bài tập vật lý, bài toán 1-5 dành cho học sinh lớp bảy, bài toán 4-9 - dành cho lớp tám, bài toán 8-14 - dành cho lớp chín.

Trong bài tập toán, bài toán 1-5 dành cho học sinh lớp bảy, bài toán 3-9 dành cho học sinh lớp chín.

Nhiệm vụ giới thiệu
Vật lý

1. Một tàu ngầm chuyển động đều phát ra xung siêu âm có chu kỳ T khi nó chuyển động. Các xung được phản xạ từ một vật đứng yên và quay trở lại thuyền, và thời lượng của chúng bằng r. Xác định vận tốc của thuyền nếu vận tốc truyền âm trong nước là v.

2. Một người đứng cách sông 6m. Một ngọn lửa đang cháy cách sông 34 mét. Khoảng cách giữa các đường vuông góc nối bờ sông thẳng với người và đám cháy là 30 m. Người đó chạy với vận tốc 5m/s đến bờ sông, múc một xô nước rồi chạy tới đống lửa và đổ nước lên. Hỏi người đó phải mất bao nhiêu thời gian để làm việc này nếu phải mất 5 s để múc hết nước?

3. Chiều cao của phần bề mặt của thuyền punt là 20 cm. Một tấm nhựa xốp (mật độ 0,4 g/cm³) dày 5 cm được dán vào đáy thuyền từ mặt nước trên toàn bộ diện tích của nó. Xác định độ cao của phần bề mặt thuyền sau khi dán nhựa xốp.

4. Khi làm đá trong tủ lạnh gia đình, phải mất 5 phút để làm lạnh nước từ +4 °C xuống 0 °C và mất thêm 1 giờ 40 phút để biến thành đá. Xác định nhiệt độ riêng của thuyền nếu nhiệt độ riêng của nước là 4,2·10³ °C).

5. Bảo quản nitơ lỏng trong bình chứa nhiệt ở nhiệt độ -195°C với thể tích 2 lít. Trong vòng một ngày, một nửa lượng nitơ đã bay hơi. Xác định nhiệt độ riêng của sự bay hơi nitơ nếu biết 40 g nước tan chảy trong cùng một bình chứa nhiệt trong 22 giờ 30 phút. Tốc độ cung cấp của cơ thể vào bình thủy điện tỷ lệ thuận với sự chênh lệch nhiệt độ bên trong và bên ngoài bình thủy điện. Nhiệt độ môi trường xung quanh 20°C. Mật độ của nitơ lỏng là 300 kg/m³.

6. Một lò xo nhẹ có độ cứng k, chiều dài l đứng thẳng đứng trên bàn. rơi vào cô ấy

57

quả bóng có khối lượng $m$. Ở độ cao bao nhiêu so với mặt bàn thì quả bóng sẽ có tốc độ tối đa?

7. Một vệ tinh nhân tạo dùng trong hệ thống viễn thông được phóng lên mặt phẳng xích đạo của trái đất sao cho nó luôn ở đỉnh cao của cùng một điểm trên địa cầu. Bán kính quỹ đạo của vệ tinh lớn hơn bán kính Trái đất là 6400 km bao nhiêu lần? Gia tốc trọng trường trên bề mặt Trái Đất là 9,8 m/s2.

8. Hai dây nóng giống hệt nhau được mắc nối tiếp vào mạng có điện áp 220 V. Trong mạng có điện áp bằng bao nhiêu thì hai dây nóng này mắc song song phải được nối nối tiếp để phân bổ cùng một nguồn điện cho chúng?

9. Lõi được đẩy theo phương ngang, tạo cho nó động năng 45 J. Khi rơi xuống cát, vận tốc của lõi hướng một góc 30° so với đường chân trời. Tìm nhiệt lượng toả ra khi chạm vào cát. Đạn pháo không quay trong suốt chuyến bay.

10. Quả bóng trượt trên băng của sân khúc côn cầu từ mục tiêu này sang mục tiêu khác. Nửa đầu của đường đi, nơi băng được mở rộng, nó di chuyển trong vùng có hệ số ma sát $\mu_1$ và nửa sau - với hệ số ma sát $\mu_2$. Tìm tỉ số của các hệ số ma sát nếu biết tốc độ của quả bóng ở khung thành thứ nhất, ở giữa mặt sân và ở khung thành thứ hai là 4:3:1.

11. Một bình bếp gas có thể tích 0,5 lít chứa 300 g propan dưới áp suất 16 atm. Có thể nói gì về trạng thái kết tụ propan trong xi lanh: nó có phải là khí hay không? Công thức hóa học của propan là $C_3H_8$.

12. Trong một quá trình ấm, thể tích của khí lý tưởng thay đổi tuyến tính với áp suất theo định luật $V=\beta p$, trong đó $\beta$ là một hằng số. Áp suất của khí thay đổi bao nhiêu lần khi nhiệt độ giảm từ 450 K xuống 200 K?

13. Bên trong hệ thống lắp đặt, được sơ tán đến chân không sâu, có một bình kín được làm kín bằng nhiệt chứa đầy khí đơn nguyên tử lý tưởng. Bình được đóng phía trên bằng một pít-tông tẩm nhiệt. Khí chiếm thể tích $V$. Một vật nặng có khối lượng bằng khối lượng của piston được đặt lên piston. Tìm thể tích khí ở vị trí cân bằng mới.

14. Buồng nổ chứa đầy hỗn hợp oxy và hydro ở nhiệt độ 300 K và thể tích áp suất 1 atm. Áp suất riêng phần của oxy và hydro là như nhau. Sau khi buồng được làm nóng, một vụ nổ xảy ra. Tìm áp suất bên trong buồng sau khi làm nguội sản phẩm phản ứng đến nhiệt độ 373 K.

Toán học

1. Thuyền đi dọc sông khoảng 6 km rồi quay trở lại. Vận tốc của dòng sông là 2 km/h. Vận tốc của con thuyền có thể nằm trong giới hạn nào nếu biết rằng chuyến đi kéo dài ít nhất 4 giờ?

2. Trong một tam giác vuông, chiều cao, bissertation và đường trung tuyến được vẽ từ đỉnh của góc nhọn. Chứng minh luận án chia góc giữa đường trung tuyến và đường cao thành hai phần bằng nhau.

3. Tìm chữ số cuối cùng của số $19^{87}-87^{19}$.

4. Trong tứ giác $ABCD$
   $$\angle ABD=\angle ACD=90^\circ, AB=BD=5, CD=1.$$
   Tìm $BC$.

5. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $x$ và $y$ sao cho $3x-y^2=1987$.

6. Chứng minh rằng nếu $m$ và $n$ là các số tự nhiên thì
   $$\frac{(1+m+...+m^n)^2-m^n}{1+m+...+m^{n-1}}$$

• số tự nhiên

7. Căn nguyên của phương trình
   $$x^3-3x^2+ax+1=0$$
   đảo ngược tiến trình tranh luận. Tìm giá trị của tham số $a$ và giải phương trình.

8. Tìm một đa thức bậc bốn có hệ số nguyên có gốc là số $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

9. Tìm tất cả các điểm trên địa cầu có các đặc tính sau: nếu bạn đi từ điểm đó 1 km về phía nam, sau đó 1 km về phía đông và 1 km về phía bắc, thì bạn lại quay lại điểm xuất phát.

10. Cho hình bình hành $ABCD$ có diện tích $s$. Điểm $P$ nằm trên đường thẳng $BD$, $\vec{DP}=\vec{BD}$, điểm $Q$ nằm trên đường thẳng $DC$, $\vec{CQ}=\vec{DC}$. Tìm diện tích tam giác $APQ$.

11. Giải phương trình
    $$4\sin^2x-4\cos x\cdot\sin y-5=0.$$

12. Các tam giác đều xét trên mặt phẳng tọa độ, trong đó hai đỉnh nằm trên đường thẳng $y=x+2$ và tọa độ của các tam giác thỏa mãn bất đẳng thức
    $$x^2\leq y\leq x+2.$$
    Tìm diện tích lớn nhất có thể có của các hình tam giác đang được xem xét.

Gửi độc giả

Nếu bạn không có thời gian đăng ký tạp chí «Kvant» năm 1987, đừng buồn. Việc đăng ký có thể được thực hiện tại các cơ quan, bưu điện và bưu điện Soyuzpechat, bắt đầu từ bất kỳ nơi nào (chỉ việc này phải được thực hiện trước - trước không quá một tháng rưỡi). Chỉ số tạp chí của chúng tôi trong danh mục Soyuzpechat là 70465, giá một số là 40 kopecks.

58

Trường học yêu thích bài toán

1. Theo điều kiện $1 = (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2xy+2xz+2yz$, nhưng $xy+xz+yz=0$.

2. Gọi $K$ là trung điểm của AF và L là trung điểm của BF (tạo hình). Tứ giác EFKL là hình bình hành vì EK song song với BF và EL song song với AF (EK và EL là các đường trung bình của tam giác ABF). Gọi H là trung điểm của EF; thì KL đi qua H và KH=LH. Tương tự, chứng minh đoạn MN nối trung điểm của DE và CE đi qua điểm H và bị chia đôi bởi điểm này. Do đó tứ giác KLMN là hình bình hành.

3. Tại điểm D. Gợi ý. Xây dựng biểu đồ chuyển động cho cả hai người bơi và đảm bảo rằng những người bơi sẽ gặp nhau tại điểm C và D mọi lúc.

4. $\frac{\pm 3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Gợi ý. Đặt $u = \frac{x+2}{x+1}$, $v = \frac{x-2}{x-1}$. Sau đó $u^2+v^2 - \frac{5}{2}uv = 0$, từ đó $u=2v$ hoặc $v=2u$.

5. $30^\circ$. Lời giải (bộ nhớ có thể truy cập). Cho $C'$ là một điểm đối xứng với điểm C so với đường thẳng AB (tạo hình). Hãy vẽ đường tròn quanh tam giác CAC’. Vì $\angle CAC' = 150^\circ$ nên cung CAC’ chứa 60°, và do đó dây CC’ bằng bán kính của đường tròn và điểm B là tâm của đường tròn. Do đó $\angle B = 30^\circ$.

6. $\frac{5}{2} \leq x \leq 3$. Gợi ý. Đặt $y = \sqrt{2x-5}$. Sau đó $y \geq 0$ và $(y+3) + |y-1| = 4$. Do đó $0 \leq y \leq 1$.

7. $2\sqrt{S_1S_2}$. Lời giải. Gọi diện tích tam giác ABC là S. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác AMK và CLM (tạo hình) nên

$$\sqrt{\frac{S_1}{S}} = \frac{AL}{AC}, \quad \sqrt{\frac{S_2}{S}} = \frac{LC}{AC},$$

Ở đâu

$$\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{\sqrt{S}} = \frac{AL + LC}{AC} = 1,$$

nghĩa là, $S = S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1S_2}$.

8. chúng tôi có

$$tg \alpha tg \beta + tg \gamma(tg \alpha + tg \beta) < 1,$$

$$tg \gamma \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta} < 1$$

(theo điều kiện $(1 - tg \alpha tg \beta > 0)$),

$$tg \gamma tg (\alpha + \beta) < 1, \quad tg \gamma < ctg (\alpha + \beta),$$

$$tg \gamma < tg \left( \frac{\pi}{2} - \alpha - \beta \right), \quad \gamma < \frac{\pi}{2} - \alpha - \beta,$$

$$\alpha + \beta + \gamma < \frac{\pi}{2}.$$

9. $x = y = z = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Gợi ý. Rõ ràng là $x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $x = y = z$. Đừng để tất cả những con số này bằng nhau. Hãy chọn hầu hết trong số họ. Giả sử đó là $x$, tức là $x \geq y$, $x \geq z$. Vì $y = (x-1)^2$, $z = (y-1)^2$ và $x = (z-1)^2$, nó ảnh hưởng đến $(z-1)^2 \geq (x-1)^2$, ngụ ý rằng $z \geq x$. Vì vậy $x = z$. Tương tự như $x = y$.

10. Hãy xây dựng $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CN}$; gọi $P$ là trung điểm của đoạn MN, $Q$ là trung điểm của đoạn N’M (hình 1). Chúng ta có $\overrightarrow{N'N} = \overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{QP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$. Tam giác AN’M được phân chia bằng nhau nên điểm Q là bissertrix của một góc bằng góc B. Điểm P thu được từ điểm Q bởi một vectơ không đổi. Vì vậy, vị trí hình học mà chúng ta đang tìm kiếm là một đoạn thẳng. Kết thúc của nó rất dễ tìm thấy.

Đáp số (ta giả sử định nghĩa $AB > BC$): đoạn nối trung điểm cạnh AC với trung điểm đoạn BB’; trong đó $B'$ là một điểm trên cạnh AB sao cho $AB' = BC$. (À, đoạn này song song với đường phân giác của góc B.)

11. $(1 + \sqrt{3}) \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Gợi ý. $(1 + x)^4 = 2 + 2x^4$ và $(1 + x)^4 - (1 - x)^4 = 2 + 12x^2 + 2x^4$, từ đó $(1 - x)^4 = 12x^2$, tức là $(1 - x)^2 = \sqrt{12} |x|$. Trường hợp $x \leq 0$ không có lời giải; trong trường hợp $x > 0$, chúng ta thu được phương trình bậc hai $(1 - x)^2 = 2\sqrt{3}x$ có nghiệm là $x_{1,2} = 1 + \sqrt{3} \pm \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (1 + \sqrt{3}) \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

12. a) $b_c = \frac{2ab}{a+b} \cos \frac{\gamma}{2}$. Gợi ý. Nếu $CL$ là bisertrix của góc C thì $S_{CAL} + S_{CBL} = \frac{1}{2} b \cdot l_c \sin \frac{\gamma}{2} + \frac{1}{2} a l_c \sin \frac{\gamma}{2} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \times ab \sin \gamma$.

13. Hãy để $l_c = l_b$. Hãy chứng minh rằng các góc C và B bằng nhau. Hãy giả sử điều này là đúng. Đặt $\angle C = \gamma$, $\angle B = \beta$ và xác định $\gamma > \beta$. Sau đó $c > b$. Bây giờ so sánh các biểu thức $l_c = \frac{2ab}{a+b} \cos \frac{\gamma}{2}$ và $l_b = \frac{2ac}{a+c} \cos \frac{\beta}{2}$, chúng ta thu được $l_c < l_b$ (kể từ $\cos \frac{\gamma}{2} < \cos \frac{\beta}{2}$ và $\frac{b}{a+b} < \frac{c}{a+c}$). Sự mâu thuẫn. (Nhân tiện, chúng ta đã chứng minh được rằng trong một tam giác, góc nhỏ hơn tương ứng với bissertrix lớn hơn.)

14. Từ điểm của đường $y = -\frac{1}{4}$. Ghi chú. Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm $(c; c^2)$ của đồ thị hàm số $y = x^2$ là $y = 2c(x - c) + c^2 = 2cx - c^2$. Nếu qua một điểm $(x_0; y_0)$ nào đó của mặt phẳng vẽ hai tiếp tuyến

59

Vật lý nguyên tử trong các vấn đề

1. $\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_1 + \frac{hc}{e} \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2} = 2,24$ V.

Gợi ý và EMF của phoroelement được xác định bởi điện áp hãm: $\mathcal{E} = U_3 = E_k / e = (hv - A_{\text{ввх}}) / e$.

2. Vì tốc độ của electron tương đương với tốc độ ánh sáng nên để xác định động năng của electron, người ta phải sử dụng công thức tương đối tính:

$$E_k = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m_0 c^2 \approx 7,4 \cdot 10^{-15}$$ J.

Sau đó

$$\lambda_k = \frac{hc}{E_k} \approx 2,7 \cdot 10^{-11}$$ m.

3. $E_k \min = 2\Delta E_{\text{возб}} = 3/2E_{\text{ион}} = 20,4$ eV.

4. $T = \frac{\tau}{\log_2(\Delta t_1/\Delta t_2)} \approx 934$ phút ≈ 15,6 giờ.

Olympic Toán quốc tế XXVII

1. Với lời giải bài toán, chỉ cần chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $d$ ít nhất một trong các số $2d-1$, $5d-1$ hoặc $13d-1$ không phải là bình phương của một số nguyên. Costati, các số $2\cdot 5-1=9$, $2\cdot 13-1=25$ và $5\cdot 13-1=64$ là bình phương của các số nguyên.

Chúng ta sẽ tiến hành chứng minh bằng phương pháp “bằng phản chứng” - chúng ta giả sử rằng với một số tự nhiên $d$ thì các đẳng thức $2d-1=n^2$, $5d-1=m^2$, $13d-1=k^2$ đúng. Từ ký hiệu của số $n^2$ suy ra nó là số lẻ, nghĩa là $n$ là số lẻ, tức là $n=2p+1$; thay thế giá trị này cùng với $n$ sẽ cho ra $2d-1=4p^2+4p+1$ hoặc $d=2p(p+1)+1$, nhưng tích của hai số nguyên liên tiếp luôn bằng như vậy, vì vậy $p(p+1)=2r$ và $d=4r+1$. Thay $d$ bằng biểu thức thu được trong hai tương ứng còn lại, ta được $m^2=20r+4$, $k^2=52r+12$. Điều này cho thấy $m$ và $k$ là số chẵn; hãy biểu thị $m=2a$, $k=2b$. Thay thế $m$ và $k$ bằng $2a$ và $2b$ trong các đẳng thức này và hủy đi 4, chúng ta nhận được $a^2=5r+1$, $b^2=13r+3$. Chúng ta hãy trừ đẳng thức thứ nhất khỏi đẳng thức thứ hai: $b^2-a^2=8r+2$.

Do đó, $b^2-a^2$ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4; nhưng $(b^2-a^2)=(b-a)(b+a)$ và nếu $a$ và $b$ là các số có cùng chẵn lẻ thì $b^2-a^2$ chia hết cho 4 và nếu có chẵn lẻ khác nhau thì nó không chia hết cho 2.

Sự mâu thuẫn.

Có thể thu được lời giải thậm chí còn đơn giản hơn bằng cách xét phần dư của phép chia các số này cho 16, lưu ý rằng bình phương của một số nguyên khi chia cho 16 chỉ có thể cho phần dư của các số 0, 1, 4 và 9.

2. Lời giải bài toán dễ dàng suy ra từ phát biểu sau: nếu một số phép quay được thực hiện với tổng các góc là bội số của $360^\circ$, thì phép biến đổi thu được của mặt phẳng là một phép dịch song song. Bằng chứng của tuyên bố này là như sau. Giả sử, với phép biến đổi này, điểm $M$ chuyển đến điểm $M_1$ và điểm $N$ tới điểm $N_1$. Nếu chúng ta chứng minh được $\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}$ thì mệnh đề sẽ được chứng minh. Xét vectơ $MN$; Sau mỗi lượt, đường thẳng không thay đổi mà hướng thay đổi theo góc quay. Sau lần quay cuối cùng, hướng của nó trùng với hướng ban đầu, do đó vectơ kết quả $\overrightarrow{M_1N_1}$ bằng vectơ $MN$; do đó, bốn

60

hình chữ nhật $MNM_1N_1$ là hình bình hành, do đó phát biểu của chúng ta tuân theo.

Telery sẽ hiển thị nước chảy ra như thế nào lời giải bài toán. Nếu điểm $P_3$ không trùng với điểm $P_0$, thì chuỗi ba phép quay đầu tiên đi 120°, được coi là phép quay của mặt phẳng, là phép truyền song song sang vectơ $-\overrightarrow{P_3P_0}$, và phép quay năm 1986 là 1986:3=662 phép dịch chuyển song song như vậy, tức là $\overrightarrow{P_0P_{1986}}=662\overrightarrow{P_0P_3}$.

Điều này có nghĩa là điểm $P_{1986}$ trùng với điểm $P_0$ chỉ trong trường hợp điểm $P_3$ trùng với điểm $P_0$, tức là xảy ra sự dịch song song đối với vectơ 0.

Ta lấy điểm $A_1$ làm điểm $P_0$ thì điểm $P_1$ cũng trùng với điểm $A_1$. Bây giờ chúng ta hãy đánh dấu điểm $P_2$. Điểm $A_3$ nên nằm ở đâu để khi quay theo chiều kim đồng hồ sẽ thay đổi điểm $P_2$ thành điểm $P_1$? Từ sự bằng nhau về khoảng cách của điểm $A_3$ đến các điểm $A_1$ và $P_2$ suy ra rằng điểm nằm trên phân giác của góc $A_1A_2P_2$, còn góc $P_2A_3A_1$ bằng 120°. Từ đây dễ dàng thấy tam giác $A_1A_2A_3$ là tam giác đều vì $A_1A_2A_3=A_2A_3A_1=60^\circ$.

3. Xem lời giải bài toán M1017.
4. Xem lời giải bài toán M1018.
5. Hàm được yêu cầu sẽ là hàm bằng $2/(2-x)$ cho $0 \leq x < 2$ và bằng 0 cho $x \geq 2$. Hãy chứng minh điều đó. Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng hàm này thỏa mãn tất cả các điều kiện đó. Đặt $x \geq 2$, thì điều kiện (1) tự động được thỏa mãn: có các số 0 ở bên trái và bên phải, vì $f(x)$ và $f(x+y)$ đều bằng 0. Nếu $x<2$ thì $f(y)=\frac{2}{2-y}f(xf(y))f\left(\frac{2x}{2-y}\right)=f\left(2+\frac{2(x+y-2)}{2-y}\right)$.

Telery, nếu $x+y \geq 2$, thì lại có các số 0 ở bên trái và bên phải, nhưng nếu $x+y<2$, thì $\frac{2x}{2-y}<2$ và $f(y)f\left(\frac{2x}{2-y}\right)=\frac{2}{2-y}\cdot\frac{2}{2-x}=\frac{2}{2-(x+y)}=f(x+y)$.

Vì vậy, hàm giả định thỏa mãn điều kiện bài toán. Hãy chứng minh tính duy nhất của nó. Đặt $x \geq 2$, sau đó đặt $x=2+t$. Thay thế vào điều kiện (1), chúng ta thu được $f(x)=f(2+t)=f(2)f(f(2)t)$. Nhưng $f(2)=0$, do đó $f(x)=0$ tại $x \geq 2$.

Đặt $x<2$, sau đó đặt $t=2-x$, tức là $x+t=2$. Từ điều kiện (1) và (2) chúng ta thu được $0=f(2)=f(x+t)=f(x)f(f(x)t)$. Nhưng từ điều kiện (3) thì $f(x)\neq 0$; do đó $f(f(x)t)=0$, và điều này, theo điều kiện (3), chỉ có thể áp dụng cho $f(x)t \geq 2$; hãy nhớ rằng $t=2-x$, chúng ta có được $f(x) \geq 2/(2-x)$ đó. Hãy chứng minh rằng trong tính nguyên tố $f(x)t \geq 2$ dấu $\geq$ phải được đổi thành dấu =. Thật vậy, nếu $f(x)t>2$ thì bạn có thể giảm số $T$ xuống số $t_1$ để việc ngoại tình vẫn xảy ra, nhưng khi đó ở bên trái trong điều kiện (1) vẫn sẽ có 0, và ở bên phải sẽ có $f(x+t_1)$, trong đó $x+t_1<2$, và theo điều kiện (3) $x+t_1$ khác 0. Vì vậy, với $x<2$ chúng ta có $f(x)=2/(2-x)$.

6. Xem lời giải bài toán M1019.

«Kvant» cho học sinh nhỏ

1. $(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2$.

2. 15306+15306=30612.

3. Chạng vạng là nửa giờ giữa hoàng hôn và đầu giờ chiều. Trong thời kỳ này, sự chiếu sáng được gây ra bởi sự tán xạ của ánh sáng mặt trời bởi bầu khí quyển ở độ cao lớn, nơi các tia Mặt trời vẫn xuyên qua. Ở vùng núi cao, tầng khí quyển phía trên Trái đất nhỏ hơn nên thời gian tầng này tán xạ ánh sáng mặt trời sau khi mặt trời lặn cũng ngắn hơn. Nhân tiện, không có hoàng hôn trên những máy bay không có bầu khí quyển. Không có gì trên Mặt trăng cả.

4. Nhanh hơn - từ ga Fizicheskaya, vì sau khi đến gần đó, con đường dẫn vào nhà đi qua mặt nước nhanh hơn con đường còn lại từ trạm Toán học.

5. Xem hình 3

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(xem «Kvant» số 11)

1. Xem hình 4
2. Tà vẹt làm giảm áp lực của đường ray lên mặt đất và do đó giảm áp lực của chúng xuống đất.
3. 818+88=906.
4. Nếu tỷ lệ trọng lượng là $a:b$ thì trọng lượng $x$ thu được trong lần nâng đầu tiên từ sự tương ứng $a \cdot x=1 \cdot b$ bằng $b/a$ và trọng lượng $y$ thu được trong lần nâng thứ hai là $a/b$. Nhưng tổng của $b/a+a/b$ luôn là 2 nếu $a \neq b$, vì tổng này là $(a-b)^2/ab+2$. Cách cân đúng 1 kg hạt như sau: cân bằng phần dưới với hạt, sau đó loại bỏ phần dưới và đặt hạt vào vị trí cho đến khi cân bằng.
5. Hãy vẽ các hợp âm $AC$ và $BD$ (hình 5). Các góc $CDB$ và $CAB$ bằng nhau, như thể chúng nằm trên một cung. Từ sự song song của các đoạn $DB$ và $KN$, cũng như $AC$ và $MN$, giờ đây có thể suy ra rằng khoảng cách ở các góc bài toán ở trạng thái cân bằng.

Trang cờ vua

(xem «Kvant» số 9)

Cả bài toán đều thuộc về bài toán nổi tiếng của Mỹ thế kỷ trước, W. Meredith.

62

Praslov V.V. Sử dụng diện tích…
Faddeev D.K., Sokolovsky I.F.
Về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Kharalmptsev S. Ts. Polo và vùng cực
so với vòng tròn

Lịch của chúng tôi
Dominique Fransa Arago 3 9
D. F và nhiệt kế của nó 10 26
Nhân kỷ niệm 175 năm định luật Avogadro 12 12
Kỷ niệm 75 năm phát hiện ra chất siêu dẫn 6 14

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10
Nón ma sát 1 24
Nguồn dòng điện đầu tiên 1 25
Nhiễu xạ sóng 1 27
Vận tốc thoát thứ hai 3 21
Mô men từ của dòng điện 3 22
Về vấn đề hạt nhân 3 23
Về số phận của một số khái niệm cơ học 5 20
Năng lượng điện trường 5 21
Mô hình giọt của hạt nhân 5 23
Hãy nói về tốc độ trung bình 9 25
Về hiện tượng quá nhiệt 9 27
cộng hưởng tham số là gì? 9 29
Động học của chuyển động quay 11 17
Bơm nhiệt 11 19
Danh pháp trong quang học hình học 11 20

Toán 8, 9, 10
Bài toán để so sánh các số 2 24
Thật là đáp số 2 26
Đạo hàm logarit 4 25
Công thức tính sin nx và cos nx 6 25
Về một cách xác định đường tròn 7 25
Công thức Heron 10 20
Lỗi 10 21 ở đâu
Các phép biến đổi hình học trong bài toán phẳng 12 16

Trường yêu thích bài toán 1, 3, 4, 6, 9, 10

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán 1—12
Alexandrov A. S. Bí ẩn của người Etruscans 2 30
Vuzdin A.I. Đôi nét về nhiệt kế và nhiệt kế Ferdinan 5 26
Ivanova N. N. Khôi phục hình đã bị xóa! 1 30
Klyukov A. N. Những thất bại của một nền văn minh 8 40
Olehnik S. N. Có bao nhiêu chiếc xe đạp? 9 34
Savin A.P. Hình giúp lý do 4 28
Số Mersen 10 24
Steiber A. S. Gặp kính kim loại 11 24
Dựa trên L. Carroll
Tên Lửa Hoàng Gia 3 26
Pod-Kitty và treo cổ anh ta 6 28
Tứ giác biển 7 28
Ai đã lấy trộm bánh quy xoắn? 8 36
Alice làm chứng 12 22
Kính vạn hoa «Kvant» 1, 2, 4, 5, 9—11

Bài toán Kvant
Người chiến thắng cuộc thi “Bài toán Kvant 3 30
Bài toán M961 — M1020; F973 — F1032 1—12

Lời giải bài toán M941 — M1000; F953 — F1012 1—12
Danh sách độc giả viết đúng lời giải 3, 6, 9, 12
Từ thư độc giả 1 42

Nghệ thuật lập trình
Abramov S. A. Tìm kiếm trong bộ sưu tập có thứ tự và đặt hàng 1 46
Galperin G. A., Korlyukov A. V. Thuật toán nhị phân 12 40
Kaimin V. A. Lời giải bài toán và xây dựng thuật toán 10 47
Kaimin V. A. Xây dựng thuật toán đối thoại 11 40
Kotov Yu. V. Hãy nhìn vào màn hình 4 43
Toán học và lập trình (Trò chuyện với học giả A.P. Ershov) 9 48
Rozhdestvensky V.V., Khlebutin S.G.
Lập trình trên máy vi tính: phân nhánh và lặp 3 45
Sistensky L. N. Lập trình trên máy tính vi mô: trò chơi 6 42
Steiberl L. F. Lập trình trên máy vi tính: các chương trình đơn giản nhất 2 46
Steiberl L. F. Tại sao máy tính vi mô lại cần một ngăn xếp 5 39

Các phần tử bán dẫn của công nghệ máy tính
V. Các phép toán logic cơ bản 1 44
VI. Mạch logic trên granistor 2 44
VII. Phần tử bộ nhớ - kích hoạt 3 48
VIII. Thanh ghi 4 46
IX. Bộ cộng 5 44
X. Kết luận. Các phần tử bán dẫn của máy tính tương lai 6 44

Xưởng của người nộp đơn
Thông tin về các ấn phẩm trước đây 8 52
Bakanina L. P. Dụng cụ quang học 10 42
Becker V. M., Golkhovoy V. M., Ionin Yu. I. Phương trình tiếp tuyến Belonuchkin Định luật V. E. Kepler và vật lý học phổ thông 2 49
Bolbrukh A. A., Uroev V. M., Shabun M. I. Bài toán trên mặt phẳng tọa độ 11 43
Buzdin A. I., Krogov S. S. Quá trình nhiệt trong chất khí 4 49
Gabovich I. G. Các góc cơ bản của paramida đúng 1 49
Dorofev G.V. Các nghiệm của tam thức nằm ở đâu? 7 45
Mạch điện xoay chiều Zilberan A.R. 9 51
Kazanjan E. P. Schoolchild - ứng viên - sinh viên - kỹ sư 8 54
Kozel S. M. Cảm ứng điện từ 6 47
Liberzon M. R. Khối phụ trợ Samarsky Yu. A. Vật lý nguyên tử trong bài 12 43

Các lựa chọn thi tuyển sinh
Bài toán kỳ thi tuyển sinh các loại năm 1985 6 54
Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko 5 52
Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Hertsenna 4 57

63

Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova 4 53
Viện Bách khoa Leningrad được đặt theo tên. M. I. Kalinina 4 56
Viện kỹ thuật điện Leningrad được đặt theo tên. V. I. Ulyanova (Lenina) 4 57
Viện Kiến trúc Moscow Trường Kỹ thuật Cao cấp Moscow được đặt theo tên. N. E. Bauman 5 54
Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lênin 1 54
Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova 2 52
Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow 3 55
Viện Máy xay và Hợp kim Moscow Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow 3 56
Viện Vật lý và Công nghệ Matxcova 1 53
Viện Năng lượng Moscow Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Leninsky Komsomol 3 57

Thế vận hội Olympic
Kỳ thi Olympic Toán toàn quốc dành cho học sinh các trường THCS chuyên nghiệp lần thứ nhất 5 57
Nhiệm vụ XLIX của Olympic Toán thành phố Mátxcơva 9 57
Nhiệm vụ được lựa chọn của Olympic Toán thành phố Leningrad 9 57
Bài tập cho Olympic Vật lý thành phố Leningrad 9 58
Bài tập chọn lọc từ Olympic toán nước ngoài: Olympic Mỹ 9 60
I Olympic Vật lý toàn Liên đoàn dành cho học sinh trung học chuyên nghiệp 10 52
Olympic toàn Nga dành cho học sinh lần thứ XII 10 53
Olympic Toán toàn Liên đoàn XX 11 49
XX Olympic Vật lý toàn liên đoàn XXVII Olympic Toán quốc tế 12 48
Olympic Vật lý Quốc tế XVII lần thứ 12 51

Thông tin
Thư viện «Kvant» 10 11
Học thể chất buổi tối tại Đại học quốc gia Moscow 8 59
Gặp gỡ độc giả 10 51
Trường Đại học Vật lý và Công nghệ tại MISiS 1 58
Trường Đại học Vật lý và Công nghệ MIPT 12 55
Trường thể chất tương ứng tại Đại học quốc gia Moscow 4 58
Trường thông tin tại NSU 7 58
Hội thảo khoa học kỹ thuật học sinh tại MIPT 11 58
Hội thảo khoa học của học sinh trường Vật lý và Toán học tại Đại học Tổng hợp Matxcova 11 58
Mới được nhận vào Thang đo Toán học Học thuật Toàn Liên minh (VZMSH) 1 56
Mới được tuyển vào khoa khoa học của Cơ khí nhỏ 1 57
Lễ kỷ niệm các nhà toán học trẻ 8 59
Giải VIII Nhà vật lý trẻ 8 60

Giải đấu vật lý trẻ lần thứ IX 8 62

Trò chơi và câu đố
Du lịch bằng đồ thị 7 50

Góc sưu tầm
Từ lối ra đến lối ra 2 giây thứ 4. vùng đất
Podvguu - một phần tư thế kỷ 5 - " -
Tin tức không gian triết học 8 —» —
M. V. Lomonosov trong báo cáo về triết học 11 —" —

«Kvant» mỉm cười
Máy tính cá nhân bằng hình ảnh 3 50
Cô gái phi thường 3 50
Khách của chúng tôi là stepazeta “Andromeda” FALTA MIPT 5 8
Máy vi tính bằng hình ảnh 6 41
Qua các trang báo MIPT “Vì khoa học” 11 59
Bất cứ điều gì 12 39

Hỗn hợp
Tính hệ số biompal trên máy tính VZ-34 1 23
Olympic viết thư về lập trình 2 58
Ngày 9 tháng 3 năm 1986 Veta 2 chạm trán sao chổi Halley 4 4
Họ viết thư cho chúng tôi 5 58
Nyyuton - sinh viên, Nyyuton - nhà khoa học 7 64
Chúng tôi khuyên bạn nên đọc 8 7
Hỏi - chúng tôi trả lời 8 51
Có quyền truy cập vào không gian 9 56
Kiểm tra khả năng chia hết cho 8, 16, 32 9 56
Số phân khu 11 22
Làm thế nào để kiểm tra máy tính? 11 56
Lựa chọn hình học của công thức cosin cho tổng 11 57
Quay lại trang đã in 12 50
Kính gửi độc giả 12 57

Trang cờ vua
Mới trong mã 1 trang 3. vùng đất
Máy tính và Mã cờ vua 2 —» —
Câu đố trong ván cờ 3 —» —
Số cố định 4 —» —
Bảng cuối 5 —» —
Kỷ lục cờ vua 6 —» —
Thủ đoạn bí ẩn 7 —» —
Hình học bàn cờ 8 —» —
Điều kiện mới cho máy tính 9 —» —
Câu lạc bộ máy tính 10 —» —
Trên tấm hình trụ 11 —» —
Đối xứng và bất đối xứng 12 —» —

Bìa 2, 3, 6, 10 của chúng tôi

Hồ sơ của chúng tôi 12 64