Tụ điện có điện tích tấm “quá mức”

53

Tụ điện có điện tích tấm “quá mức”

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. MOZHAEV

Nhiều đặc điểm về lỗi của người tham gia ở mức lời giải tĩnh điện bài toán là do sự hiểu biết chính thức về mối quan hệ giữa điện thế và điện tích của dây dẫn. Và những kết nối này rất đa dạng. Ví dụ, có thể có sự khác biệt tiềm năng giữa các dây dẫn khi không có điện tích trên chúng hoặc ngược lại, với hiệu điện thế bằng 0, các dây dẫn có thể được tích điện. Cũng có thể có tùy chọn khe hở - có các điện tích trên dây dẫn và có sự khác biệt tiềm năng giữa chúng.

Trường hợp sau đề cập đến sự cháy lan rộng khi hai dây dẫn cách ly (không có dây dẫn nào khác) được tích điện.

Chúng ta có các điện tích có cùng độ lớn nhưng trái dấu. Trong một hệ thống như vậy, hiệu điện thế $U$ xuất hiện giữa các dây dẫn tỷ lệ thuận với điện tích $q$ trên chúng:

$$U \sim q, \text{ или } q = CU,$$

(*)

trong đó $C$ là hệ số tỷ lệ gọi là điện dung của hai dây dẫn. Như đã biết, $C$ chỉ phụ thuộc vào kích thước và hình dạng của dây dẫn, vị trí tương đối của chúng và độ thấm điện môi của môi trường.

Một lần nữa nhấn mạnh rằng mối quan hệ tuyến tính giữa hiệu điện thế và điện tích trên dây dẫn là không phổ biến. Nó chỉ được bảo toàn khi không có tác dụng của các vật dẫn khác và điện tích trên hai vật dẫn cho trước có độ lớn bằng nhau và trái dấu. Nói cách khác, khi các lực của các đường sức điện rời khỏi một dây dẫn và đóng lại trên một dây dẫn khác. Một ví dụ điển hình của hệ thống như vậy là tụ điện. Có vẻ như là hai dây dẫn,

54

Hình 1.

được ngăn cách bởi một lớp điện môi, độ dày của lớp này nhỏ so với kích thước của dây dẫn (tấm tụ điện).

Bây giờ hãy đặt một số bài toán cụ thể. Tất cả chúng đều được cung cấp vào nhiều thời điểm khác nhau trong kỳ thi tuyển sinh vào Viện Vật lý và Công nghệ Moscow.

Bài toán 1. Hai tấm kim loại không tích điện 2 và 3 được đặt bên trong một tụ điện phẳng tích điện (hình 1, a). Trong tụ điện có một điện trường đều có độ biến dạng $\vec{E}_0$. Hiệu điện thế giữa tấm 2 và tấm 3 là bao nhiêu nếu khoảng cách giữa chúng là $d_2$?

Trong bài toán này, trường hợp một phần đầu tiên được thực hiện, khi các dây dẫn không được tích điện, nhưng tồn tại hiệu điện thế giữa chúng.

Tấm 2 và 3 chính thức tạo thành một tụ điện phẳng, nhưng chúng không được cách điện - bên cạnh chúng còn có các tấm khác, và thậm chí cả những tấm tích điện. Do đó, sự tương ứng, nếu hệ số $C$ được hiểu giữa các tấm 2 và 3: không có điện tích trên các tấm này và hiệu điện thế giữa chúng không bằng 0.

Hãy tìm sự khác biệt tiềm năng này theo hai cách. Đầu tiên, chúng ta sẽ không dùng đến khái niệm điện dung mà chỉ sử dụng định nghĩa về hiệu điện thế. Theo định nghĩa, hiệu điện thế giữa tấm 2 và tấm 3 bằng công của việc di chuyển một đơn vị điện tích cực từ tấm 2 sang tấm 3. Trong từ trường ngoài $\vec{E}_0$, sự phân bố lại điện tích sẽ xảy ra trên tấm 2 và 3: bề mặt bên trái của các tấm này tích điện âm và bề mặt bên phải tích điện dương (như thể hiện trong hình 1, a). Rõ ràng, trường giữa các bản vẫn bằng $\vec{E}_0$ và mật độ điện tích bề mặt trên chúng sẽ bằng $\sigma = \varepsilon_0 E_0$ (bạn hãy thử tự chứng minh điều này bằng nguyên lý chồng chất và điện trường). Khi đó, sự khác biệt tiềm năng giữa các tấm

$$\Delta \varphi_{23} = E_0 d_2,$$

trong đó $d_2$ là khoảng cách giữa các bề mặt bên trong của các tấm.

Bây giờ hãy tìm hiệu điện thế này bằng cách sử dụng khái niệm điện dung. Hệ thống bốn tấm của chúng tôi sẽ tương đương với hệ thống ba tụ điện phẳng mắc nối tiếp như trong hình 1, 6. Thật vậy, mỗi tấm 2 và 3 có thể được chia thành hai phần, giữ lại điện tích riêng trên mỗi tấm và vì chúng (hai phần) có cùng điện thế nên chúng có thể bị đoản mạch. Tổng công suất hệ thống

$$C_{14} = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1 + d_2 + d_3},$$

trong đó $S$ là diện tích của mỗi tấm và tổng hiệu điện thế

$$U_{14} = E_0 (d_1 + d_2 + d_3).$$

Sau đó sạc

$$q = C_{14} U_{14} = E_0 \varepsilon_0 S.$$

Trong mắc nối tiếp, điện tích trên các tụ điện bằng nhau, do đó hiệu điện thế giữa tụ 2-3 sẽ bằng

$$U_{23} = \frac{q}{C_{23}} = \frac{E_0 \varepsilon_0 S}{\varepsilon_0 S/d_2} = E_0 d_2.$$

Bài toán 2. Chúng ta hãy đoản mạch tấm 2 và 3 bằng một dây dẫn, đã thảo luận ở phần bài toán trước, và tìm sự xuất hiện của điện tích trên chúng.

Rõ ràng là nếu các tấm 2 và 3 được nối nhanh chóng thì hiệu điện thế giữa chúng sẽ bằng 0 và các điện tích có độ lớn bằng nhau nhưng trái dấu sẽ xuất hiện trên các tấm (hình 2, a). Vì vậy, trong bài toán này, trường hợp từng phần thứ hai được xem xét, khi có điện tích trên dây dẫn nhưng không có hiệu điện thế.

55

Hãy tìm điện tích trên tấm 2 và 3 bằng hai phương pháp tương tự. Vì hiệu điện thế giữa các bản bằng 0 nên điện áp điện trường trong khe 2-3 cũng bằng 0. Và trường này là trường kết quả được tạo ra bởi tụ điện và các điện tích trên tấm 2 và 3. Giả sử có điện tích - $q$ trên tấm 2, điện tích + $q$ trên tấm 3, và trường của tụ điện là $\vec{E}_0$, thì trường kết quả giữa tấm 2 và 3 sẽ bằng $E_0 - q / (\varepsilon_0 S) = 0$. Từ điều kiện này ta tìm được

$$q = \varepsilon_0 SE_0.$$

Mạch tương đương cho trường hợp này được hiển thị trong hình 2, b. Đây là hệ thống gồm hai tụ điện mắc nối tiếp. Chúng ta tìm điện tích trên tấm 2 bằng cách xét tụ điện tạo bởi tấm 1 và 2:

$$q = C_{12} U_{12} = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1} E_0 d_1 = \varepsilon_0 SE_0.$$

Theo cách tương tự, bạn có thể nhận được điện tích ở tấm 3.

Bài tập 3. Trên tấm 1 có điện tích $q$, tấm 2, nằm cách tấm 1 một khoảng $d$, không nhiễm điện. Sự khác biệt tiềm năng giữa các tấm này là gì?

Như bạn có thể thấy, trong trường hợp này có các điện tích tùy ý trên các dây dẫn và có sự chênh lệch điện thế giữa các dây dẫn.

Một lần nữa chúng ta sẽ giải bài toán theo hai cách. Dưới tác dụng của trường do điện tích của tấm 1 tạo ra, một điện tích âm sẽ được tạo ra ở phía bên trái của tấm 2 và ở bên phải.

56

Khi đó, hiệu điện thế giữa các điểm $A$ và $B$

$$U_{AB} = \frac{q}{C_{06}} = \frac{q(C + C_0)}{C_0(2C + C_0)},$$

và hiệu điện thế mong muốn giữa các tấm 1 và 2 (trong mạch tương đương đây là hướng giữa các tấm $1'$ và $2'$) sẽ bằng

$$U_{12} = \frac{q}{2C + C_0} \approx \frac{q}{2C} = \frac{qd}{2\varepsilon_0S}$$

(ở đây chúng ta đã bỏ qua độ lớn của điện dung $C_0$ so với điện dung $C$).

Nhiệm vụ 4. Trong mạch điện ở hình 4 (đã biết các giá trị $C$, $R$, $\varepsilon$), khi công tắc $K$ mở thì điện tích ở bản bên trái của tụ điện phẳng bằng 0. Xác định điện tích ban đầu của bản bên phải của tụ điện nếu sau khi đóng công tắc trên điện trở $R$, lượng nhiệt tỏa ra bằng cùng một lượng nhiệt như trong trường hợp ban đầu tụ điện không được tích điện.

Không giống như bài toán trước đó, ở đây, hiệu điện thế bằng $\varepsilon$ được duy trì thêm giữa các bản.

Chúng ta hãy biểu thị điện tích ban đầu trên bản bên phải của tụ điện bằng $q_0$. Chúng ta sẽ giả định rằng nó được phân bố đều trên các bề mặt (cả bên trong và bên ngoài) của tấm. Trên mặt điện tích $q_0$ dẫn đến hiện tượng trong không gian giữa các bản có một điện trường đều có hướng chênh lệch điện thế

$$E_0 = \frac{q_0}{2\varepsilon_0S},$$

trong đó $S$ là diện tích của tấm và có sự chênh lệch điện thế giữa các tấm

$$U_0 = E_0d = \frac{q_0d}{2\varepsilon_0S},$$

trong đó $d$ là khoảng cách giữa các tấm.

Để $U_0 < \varepsilon$, sau đó sau khi đóng phím, tụ điện bắt đầu sạc lại. Trên tấm bên phải của nó, điện tích sẽ tăng lên và trên tấm bên trái, điện tích sẽ xuất hiện theo hướng ngược lại.
dấu sai, có độ lớn bằng điện tích bổ sung trên tấm bên phải (nhưng không phải điện tích đầy đủ trên đó!). Trong trường hợp này, nguồn sẽ thực hiện công dương, nạp điện cho các bản tụ. Các tấm sẽ được sạc lại cho đến khi hiệu điện thế giữa tụ điện $U$ trở nên bằng suất điện động của nguồn $\varepsilon$. Để một điện tích $q$ chạy qua nguồn trong quá trình sạc thì điều kiện để điện áp bằng nhau trên tụ EMF của pin sẽ có dạng

$$\frac{q_0d}{2\varepsilon_0S} + \frac{q}{C} = \varepsilon.$$

Xét rằng $C = \varepsilon_0S/d$, chúng ta nhận được

$$q = \varepsilon C + \frac{q_0}{2}.$$

Bây giờ chúng ta hãy tìm lượng nhiệt sẽ tỏa ra trên điện trở $R$ trong quá trình sạc. Công do nguồn thực hiện một phần được sử dụng để tăng năng lượng của điện trường trong không gian giữa các bản tụ điện và một phần để làm nóng điện trở:

$$\varepsilon q = \Delta W + Q.$$

Chúng ta sẽ tính năng lượng điện trường thông qua mật độ năng lượng điện trường thể tích bằng $\varepsilon_0E^2/2$. Khi phím $K$ mở, năng lượng này bằng

$$W_0 = \frac{q_0^2}{8\varepsilon_0S^2} Sd = \frac{q_0^2d}{8\varepsilon_0S} = \frac{q_0^2}{8C}.$$

Sau khi nạp điện cho tụ điện, năng lượng điện trường giữa các bản tụ sẽ tăng dần và bằng

$$W = \frac{\varepsilon_0}{2} \left( \frac{q_0}{2\varepsilon_0S} + \frac{q}{Cd} \right)^2 Sd = \frac{q_0^2}{8C} + \frac{q_0q}{2C} + \frac{q^2}{2C}.$$

Tăng năng lượng điện trường

$$\Delta W = W - W_0 = \frac{q(q_0 + q)}{2C}.$$

Khi đó cân bằng năng lượng hoàn chỉnh có thể được viết là

$$\varepsilon q = \Delta W + Q = \frac{q(q_0 + q)}{2C} + Q,$$

từ đó chúng ta tìm thấy lượng nhiệt tỏa ra bởi điện trở:

$$Q = \varepsilon q - \frac{q(q_0 + q)}{2C}.$$

Thay biểu thức điện tích $q$ vào phương trình này (từ điều kiện đẳng thức của hiệu điện thế giữa

57

tấm của nguồn emf), cuối cùng chúng tôi có được

$$Q = \mathcal{E} \left( \mathcal{E} C - \frac{q_0}{2} \right) - \frac{(\mathcal{E} C - q_0/2)(\mathcal{E} C + q_0/2)}{2C} = \frac{C \mathcal{E}^2}{2} + q_0 \left( \frac{q_0}{8C} - \frac{\mathcal{E}}{2} \right).$$

Có thể thấy, lượng nhiệt tỏa ra $Q$ sẽ không phụ thuộc vào điện tích ban đầu $q_0$ trên tấm bên phải đối với hai giá trị $q_0$:

$$q_1 = 0 \text{ и } q_2 = 4C\mathcal{E}.$$

Cần nhấn mạnh rằng để tính năng lượng điện trường giữa các bản của tụ điện trước khi đóng công tắc $K$ và sau khi đóng, chúng ta không thể sử dụng công thức tính năng lượng của tụ điện tích điện, vì trong cả hai trường hợp đều có điện tích “dư” $q_0$ trên bản bên phải.

Câu hỏi đặt ra: trong trường hợp này có thể “xây dựng” điện trường giữa các bản của tụ điện cả trước khi đóng công tắc $K$ và sau khi đóng không? Chúng ta không thể sử dụng công thức tính năng lượng của tụ điện tích điện, vì trong cả hai trường hợp đều có điện tích “dư” $q_0$ ở bên phải 塑性.

Trong hệ thống được mô tả ở hình 4 ($C, R, \mathcal{E} - \text{заданы}$), khi công tắc $K$ mở, các bản của tụ điện phẳng được tích điện một chiều, tổng của chúng bằng $q_0$. Xác định điện tích ban đầu của mỗi bản nếu sau khi đóng công tắc, lượng nhiệt tỏa ra trên điện trở $R$ như nhau trong trường hợp tụ điện không được tích điện lúc đầu.

4. Hai bản tụ điện $S$ nối với nhau bằng một dây dẫn đặt cách nhau một khoảng $d$ (hình 6) trong một điện trường đều bên ngoài, hướng của nó là $\vec{E}_0$. Phải thực hiện bao nhiêu công để từ từ liếm các tấm đến khoảng cách $d/2$?

5. Trong hệ thống được mô tả trên hình 7, bán kính của quả cầu dẫn điện bên trong là $R$, bán kính bên ngoài (cũng dẫn điện) là 3$R$. Khoảng cách từ tâm của hệ đến điện tích - $q$ bằng 2$R$. Sử dụng giá trị $q, \mathcal{E}, R$, xác định điện tích trên quả cầu bên trong. Tiềm năng của trái đất được coi là bằng không.

Bạn đọc thân mến!

Trong tương lai, năm 1988, tạp chí «Kvant», như trước đây, sẽ chỉ được phân phối theo hình thức đăng ký. Nếu bạn bỏ lỡ đăng ký hàng năm (hạn chót là ngày 31 tháng 10 năm 1987), đừng lo lắng. Bạn có thể đăng ký bất kỳ số phát hành nào bắt đầu từ tháng 2 không muộn hơn ngày đầu tiên của tháng đăng ký trước. Đăng ký được chấp nhận tại các cơ quan Soyuznechat, bưu điện và bưu điện. Chỉ số tạp chí «Kvant» trong danh mục Soyuznechat là 70465, số một vùng 40 kopecks.