Конденсаторы с «избыточным» зарядом пластин

53

Конденсаторы с «избыточным» зарядом пластин

Кандидат физико-математических наук
В. В. МОЖАЕВ

Многие характеристики ошибки абитурientов при решении электростатических задач обусловлены формальным пониманием связи между потенциальами и зарядами проводников. А связи эти весы разнообразны. Например, между проводниками может существовать разность потенциальов при отсутствии зарядов на них или, наоборот, при нулевой разности потенциаль проводники могут быть заряжены. Возможен также промежуткий вариант — на проводниках находится заряды и между ними существует разность потенциальов.

К последнему случайю относится широко распространения сигания, когда два уедининых проводника (другие проводники отсутствуют) заряжены

ны одинаковыми по величины, но противоположными по знаку зарядами. В такой системе разность потенциальов $U$, возникшая между проводниками, пропорциональная заряду $q$ на них:

$$U \sim q, \text{ или } q = CU,$$

(*)

где $C$ — коэффициент пропорциональности, называемый электроемкостью двух проводников. Как известно, $C$ зависит только от размеров и формы проводников, их взаимного расположения и дилектрической проницаемости okружаюшей среды.

Еще раз подчеркием, что линейная связь между разностью потенциальов и зарядом на проводниках не является универсальной. Она сохраняется только тогда, когда не сказывается влияние других проводников и заряды на двух данных проводниках равны по величины и противоположны по знаку. Другими словами, когда силы линей электроэлектро поля, выйда с одного проводника, замыкаются на другом. Типичным примером такой системы является конденсатор. Он представляется собой два проводника,

54

Рис. 1.

разделенные слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников (обкладок конденсатора).

Тепер разместим несколько конкретиных задач. Все они предлагались в различных времен на вступительных экзаменах в Московский физик-технический институт.

Задача 1. Две металлические незаряженные пластины 2 и 3 расположены внутри плоского заряженного конденсатора (рис. 1, а). В конденсatore существует однородное электрическое поле с напряженной $\vec{E}_0$. Чему равна разность потенциалов между пластинами 2 и 3, если расстояние между ними равно $d_2$?

В этой задаче реализован первый частиный случай, когда проводники не заряжены, а разность потенциалов между ними существует.

Пластины 2 и 3 формально образуют плоский конденсатор, но они не являются изолированными — рядом с ними находится другие пластины, да еще заряженные. Поэтому соответствие, если под коэффициентом $C$ понимается между пластинами 2 и 3: заряды на этих пластинах отсутствуют, а разность потенциалов между ними не равна нулю.

Найдем эту разность потенциалов, причем двумя способами. Сначала не будем прибегать к понятию емкости, а использовать только определение разности потенциалов. По определению разность потенциалов между пластинами 2 и 3 численно равна работе по перемещению единичного полюжного заряда от пластины 2 к пластине 3. Во внешнем поле $\vec{E}_0$ на пластинах 2 и 3 произойдет перераспределение зарядов: левые поверхности этих пластин зарядается отрицательно, а правые положительно (как это и показано на рисунке 1, а). Очевидно, что поле между пластинами остается равным $\vec{E}_0$, а поверхностная плотность зарядов на них будет равна $\sigma = \varepsilon_0 E_0$ (попробуйте самостояльно показать это, используя принцип суперпозициии электрических полей). Тогда разность потенциалов между пластинами

$$\Delta \varphi_{23} = E_0 d_2,$$

где $d_2$ — расстояние между внутренними поверхностями пластин.

А теперь найти эту разность потенциалов, используя понятие емкости. Наша система четырех пластин будет эквивалентна системе трех последовательно соединенных плоских конденсаторов, приведенной на рисунке 1, 6. Действительно, каждую из пластин 2 и 3 можно как бы расщепить на две части, сохраняя на каждой из них свой заряд, а поскольку они (две части) находятся при одинаковом потенциале, то их можно закоротить. Общая емкость всей системы

$$C_{14} = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1 + d_2 + d_3},$$

где $S$ — площадь каждой пластины, а общая разность потенциалов

$$U_{14} = E_0 (d_1 + d_2 + d_3).$$

Тогда заряд

$$q = C_{14} U_{14} = E_0 \varepsilon_0 S.$$

При последовательном соединении заряды на конденсатрах равны, поэтому разность потенциалов на конденсаторе 2—3 будет равна

$$U_{23} = \frac{q}{C_{23}} = \frac{E_0 \varepsilon_0 S}{\varepsilon_0 S/d_2} = E_0 d_2.$$

Задача 2. Закоротим проводником пластины 2 и 3, рассмотрение в предыдущей задаче, и найдем появшение на них заряды.

Очевидно, что если пластины 2 и 3 соединить на коротко, то разность потенциалов между ними станет равной нулю, а на пластинах появятся равные по величины, но противоположные по значку заряды (рис. 2, а). Таким образом, в этой задаче рассматривается второй частиный случай, когда заряды на проводника есть, а разности потенциалов нет.

55

Найдем заряд на пластинах 2 и 3 теми же двумя способами. Поскольку разность потенциаль между пластинами равна нулю, то и напряжение электрического поля в промежутке 2—3 также равна нулю. А это поле является результатирующим полем, создаваемым конденсатором и зарядами на пластинах 2 и 3. Пусть на пластине 2 находится заряд — $q$, на пластине 3 — заряд + $q$, а поле конденсатора равно $\vec{E}_0$, тогда результатирующее поле между пластинами 2 и 3 будет равно $E_0 - q / (\varepsilon_0 S) = 0$. Из этого условия находится

$$q = \varepsilon_0 SE_0.$$

Эквивалентная схема для этого случая показана на рис. 2, б. Это система двух последовательных соединенных конденсаторов. Заряд на пластине 2 найдем из рассмотрения конденсатора, образованного пластинами 1 и 2:

$$q = C_{12} U_{12} = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1} E_0 d_1 = \varepsilon_0 SE_0.$$

Совершенно аналогично можно получить заряд и на пластине 3.

Задание 3. На пластине 1 находится заряд $q$, пластина 2, находящаяся от пластины 1 на расстоянии $d$, не заряжена. Чему равна разность потенциаль между этим пластинами?

Как видно, в этом случае на проводиках находится произвольные заряды, а между проводиками существует разность потенциальов.

Опять будем решать задачу двумя способами. Под действием поля, создаваемого зарядами пластины 1, на левой стороне пластины 2 будет индуцирован отрицательный заряд, а на пра-

56

Тогда разность потенциалов между точками $A$ и $B$

$$U_{AB} = \frac{q}{C_{06}} = \frac{q(C + C_0)}{C_0(2C + C_0)},$$

а искомая разность потенциалов между пластинами 1 и 2 (в эквивалентной схеме это направление между пластинами $1'$ и $2'$) будет равно

$$U_{12} = \frac{q}{2C + C_0} \approx \frac{q}{2C} = \frac{qd}{2\varepsilon_0S}$$

(здесь мы пренебрегли величины емкости $C_0$ по сравнению с емкостью $C$).

Задание 4. В схеме, изображенной на рисунке 4 (величины $C$, $R$, $\varepsilon$ известны), при разомкнутом ключе $K$ заряд левой обкладки плоского конденсатора равен нулю. Определите начальный заряд правой пластины конденсатора, если после замыкания ключа на резисторе $R$ выделяется такое же количество теплоты, как и в случае, когда конденсатор вначале не заряжен.

В отличие от предыдущего задачи здесь между пластинами дополнительно поддерживается разность потенциалов, равная $\varepsilon$.

Обозначим начальный заряд на правой пластине конденсатора через $q_0$. Будем полагать, что он равномерно распределен по поверхностям (как внутренней, так и внешней) пластины. На лице заряда $q_0$ приводит к тому, что в пространстве между обкладками существует однородное электрическое поле с направлением разность потенциалов

$$E_0 = \frac{q_0}{2\varepsilon_0S},$$

где $S$ — площадь пластины, а между пластинами имеет разность потенциалов

$$U_0 = E_0d = \frac{q_0d}{2\varepsilon_0S},$$

где $d$ — расстояние между пластинами.

Пусть $U_0 < \varepsilon$, тогда после замыкания ключа конденсатор начинает подзаряжаться. На его правой пластине заряд будет увеличивать, а на левой пластине появится заряд противопо-
ложного знака, равный по величины дополнительному заряду на правой пластине (но не полному заряду на ней!). При этом источник будет совершать положительное работу, заряжающая пластины конденсатора. Подзарядка пластин будет идти до тех пор, пока разность потенциалов на конденсатор $U$ не станет равной ЭДС источника $\varepsilon$. Пусть за время зарядки через источник протек заряд $q$, тогда условия равенства напряжения на конденсатор ЭДС батарей будут иметь вид

$$\frac{q_0d}{2\varepsilon_0S} + \frac{q}{C} = \varepsilon.$$

Учитывая, что $C = \varepsilon_0S/d$, получим

$$q = \varepsilon C + \frac{q_0}{2}.$$

Найдем теперь то количество теплоты, которое выделится на резисторе $R$ за время зарядки. Работа, совершенная источником, частично пошла на увеличение энергии электрического поля в пространстве между пластинами конденсатора, а частично на нагревание резистора:

$$\varepsilon q = \Delta W + Q.$$

Энергию электрического поля будем вычислять через объемную плотность энергии электрического поля, равную $\varepsilon_0E^2/2$. При разомкнутом ключе $K$ эта энергия равна

$$W_0 = \frac{q_0^2}{8\varepsilon_0S^2} Sd = \frac{q_0^2d}{8\varepsilon_0S} = \frac{q_0^2}{8C}.$$

После зарядки конденсатора энергия электрического поля между пластинами увеличится и станет равной

$$W = \frac{\varepsilon_0}{2} \left( \frac{q_0}{2\varepsilon_0S} + \frac{q}{Cd} \right)^2 Sd = \frac{q_0^2}{8C} + \frac{q_0q}{2C} + \frac{q^2}{2C}.$$

Увеличение энергии электрического поля

$$\Delta W = W - W_0 = \frac{q(q_0 + q)}{2C}.$$

Тогда полный энергетический баланс можно записать в виде

$$\varepsilon q = \Delta W + Q = \frac{q(q_0 + q)}{2C} + Q,$$

откуда найдем количество теплоты, выделившее на резисторе:

$$Q = \varepsilon q - \frac{q(q_0 + q)}{2C}.$$

Подставляя в это уравнение выражение для заряд $q$ (из условия равенства разности потенциалов между

57

Пластинами ЭДС источника), окончательно получим

$$Q = \mathcal{E} \left( \mathcal{E} C - \frac{q_0}{2} \right) - \frac{(\mathcal{E} C - q_0/2)(\mathcal{E} C + q_0/2)}{2C} = \frac{C \mathcal{E}^2}{2} + q_0 \left( \frac{q_0}{8C} - \frac{\mathcal{E}}{2} \right).$$

Как видно, выделившееся количество теплоты $Q$ не будет зависит от начального заряда $q_0$ на правой пластине при двух значениях $q_0$:

$$q_1 = 0 \text{ и } q_2 = 4C\mathcal{E}.$$

Следует подчернуть, что для расчета энергии электрического поля между пластинами конденсатора как до замыкания ключа $K$, так и после замыкания мы не могли использовать формулы для энергии заряженного конденсатора, поскольку на правой пластине в обих случаях находится «избыточный» заряд $q_0$.

Возникает вопрос: а можно ли в этом случае «построить» электрического поля между пластинами конденсатора как до замыкания ключа $K$, так и после замыкания мы не могли использовать формулы для энергии заряженного конденсатора, поскольку на правой塑性 в обих случаях находится «избыточный» заряд $q_0$.

В системе, изобравенной на рисунке 4 ($C, R, \mathcal{E} - \text{заданы}$), при разомкнутом ключе $K$ пластины плоского конденсатора заряжены одномерными зарядами, сумма которых равна $q_0$. Определите начальные заряды каждой из пластины, если после замыкания ключа на резисторе $R$ выделяется такое же количество теплоты, как и в случае, когда конденсатор вначале не заряжен.

4. Две соединенные проводником пластины конденсатора $S$ находится на расстоянии $d$ друг от друга (рис. 6) во внешнем однородном электрическом поле, направность которого $\vec{E}_0$. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно слизить пластины до расстояния $d/2$?

5. В системе, изобравенной на рисунке 7, радиус внутренней проводящей сферы $R$, внешней (то же проводящей) 3$R$. Расстояние от центра системы до заряда — $q$ равно 2$R$. Знача величины $q, \mathcal{E}, R$, определяте заряд на внутренней сфере. Потенциаль земли приять равным нулю.

Дорогие читатели!

В будущеем, 1988 году журнал «Квант», как и прежде, будет распространяться только по подписке. Если вы не успете оформить годовую подписку (последний срок — 31 октября 1987 года), не огорчайтесь. На любой номер, начиная с февральского, вы можете подписаться не позднее первого числа предподписного месяца. Подписка принимается в агентств «Союзнечати», на почтамах и в отделениях связи. Индекс журнала «Квант» в каталоге «Союзнечати» 70465, чена однозоно номера 40 копеек.