XIII Всероссийская олимпиада школьников

60

XIII Всероссийская олимпиада Школьников

По сложившейся традиции в дни весенних школьных каникул проходил заключительный, зональный этап Всероссийской физико-математической и химической олимпиады школьников 8—10 классов. Ниже приводятся условия задач по математике и физике, предлагавшихся на заключительном этапе, и фамилии победителей XIII Всероссийской олимпиады школьников.

Математика
8 класс

1. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие уравнению $xy=20-3x+y$.

2. На числовой оси расположено множество M, которое может быть покрыто треями отрезками единичной длины. Пусть $M'$ — множество середин всехозможных отрезков, концы которых принадлежат множество M. Докажите, что множество $M'$ можно покрыть шестю отрезками единичной длины. Всгда ли можно обойти путь отрезками?

3. При окружности имеют общую точку M, попарно пересекаются в точках P, Q, R и расположены на плоскости так, как показано на рисунке 1. Через произвольную точку A одной из окружностей, лежащую на дуге PQ, не содержащей точку M, и точек P и Q, в которых окружность пересекает две другие окружности, проведенные прямые, вторично пересекающие эти две окружности в точках B и C (см. рис. 1). Докажите, что точки B, C и R лежат на одной прямой.

4. Дана бесконечная десетичная неперiodическая дробь. Докажите, что можно переставить ее цифры так, что получится перiodическая дробь.

5. Все углы выпуклого пятугольника ABCDE равны. Все углы при вершинах «звезды» АСЕВDA также равны. Докажите, что пятугольник ABCDE является правным.
   9 класс

6. Найдите все значения n, при которых число 144…4 является квадратом натурального числа.

7. Среди 99 внешне одинаковых монет нахождения несколько фальшивых. Известно, что каждая фальшивая монета отличается по весу от настоящего монеты на нечетное число граммов и что суммарный вес всех данных монет равен весу 99 настоящих монет. Имеются двухчашенные весы со стрелкой, показывающей разницу в граммах весов грузов, положенных на чаши. Докажите, что, осуществив только одно взвешивание на таких весах, про любую заранее выбранную монету можно узнать, является она фальшивой или нет.

8. Докажите, что если α, β, γ — углы треугольника, то справедливо неравенство
   $$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos \gamma > \frac{3}{4}.$$

9. Две окружности пересекаются в точках M и N. Через точки M проведены прямые l1 и l2, образующие одинаковые углы с кордой MN и пересекающие окружности, кроме точки M, еще в двух точках: l1 — в точках A и B, l2 — в точках C и D. Докажите, что AB=CD.

10. Биллиардный стол имеет форму правильного треугольника. Докажите, что если шар после удара прошел через некоторую точку семь раз, то он пройдёт через ее еще хотя бы один раз.
    10 класс

11. Найдите все трехначные числа abc, квадраты которых оканчиваются на abc.

12. Докажите, что при всех x∈R справедливо тождесто
    $$\|...\|x|-2^n|-2^{n-1}|...|-2|-1|= \|...\|x|-1|-1|-...|-1|.$$

13. Докажите, что если сумму
    $$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6}+\dots+\frac{1}{1984\cdot 1985\cdot 1986}$$ представить в виде несократимой дроби, то числитель этой дроби будет делиться на 1987.

14. Пусть l — длина пространственной ломаной, a, b, c — длины ее проекций на координатные плоскости. а) Докажите, что справедливо неравенство $(a+b+c)/l \leq \sqrt{6}$. 6) Существует ли замкнутая ломана, для которой выполняется равенство $(a+b+c)/l=\sqrt{6}$?

15. Четверро правильно ищут числа лежат на столе вверх циферблатами так, что их центры являются вершинами квадрата. В некоторых момент времени концы минутных стрелок оказывались вершинами квадрата. Докажите, что и в любой другом момент времени четырехугольник с вершинами в концах минутных стрелок также является квадратом. (Толщиной часов пренебречь.)

Физика
Teoretическая тур
8 класс

1. Автомат подает готовые детали на шероховатую ленту трансортера. Скорость деталей перед попаданием на трансортера v0=1 м/c. Известно, что при скорости трансортера v=2 м/c детали останавливаются на ленте на

61

Расстояния $l = \frac{1}{3}d$ от края (рис. 2). Какую скорость должна иметь лента трансортера, чтобы детали оставались точно посередине?

2. При помощи нагрева тела мощностью $P = 100$ Вт кастрюлю, в котором наит $V = 1$ л воды, никак не удает довести до кипения. Выключим нагреваль. За какое время температура воды упадет на $\Delta t = 1$ градус?

3. В собранной схеме (рис. 3) лампочка горит одинаково ярко как при замкнутом, так и при разомкнутом ключе $K$. Напряжение источника $U = 54$ В. Найдите направление на лампочке.

4. В момент времени $t = 0$ на частиц массой $m$, движущуюся со скоростью $\vec{v}_0$, начинает действовать постоянная сила $\vec{F}$. Определите перемещение частицы (модуль и направление относительно заданных векторов $\vec{F}$ и $\vec{v}_0$) за время, в течение которого вектор скорости частицы повернуть на известный угол $a$, оставшись тем же по модулю.

9 класс

1. Гантелька, представляющая собой длину (длиной $l$) неиссомную спицу с закрепленными на концах массивными шариками претензioso малых размеров, движется поступательно со скоростью $\vec{v}_0$ и скрывается за ширмой, где испытывает стольновение с неподвижным прейстетием (при этом слищен звук двух последовательных ударов). В результате гантелька вылетает из-за ширмы с прежней скоростью и по практическим прейстетории, но в перевернутом состоянии (рис. 4). Сколько времени гантелька находится за ширмой? Ширина ширины $L > l$.

2. В схеме (рис. 5) $E_1 = 4E$, $E_2 = E$, $C_1 = C_2 = C$. Ключ $K$ сначала нахождение в положении «1», затем его переключают в положение «2». Какое количество телоты выделится на резисторе сопротивлением $R_2$ ($R_2 = R_1$)?

3. Какова должа бить мощность нассаа, поднимающего 0,2 кубометра воды в секунду ($V = 0,2 \text{ m}^3/\text{с}$) через trубу секуннем $S = 0,05 \text{ m}^2$ на высоту $h = 5$ м? Что изменится, если нужно поднимать такую же массу цементного раствора, у которой плотность в два раза больше, чем у воды?

4. Высокий теплопроводный цилиндр разделен неподвижной теплопроводной перегородкой на две части. В верхней части под поршнем находится $v_1 = 1$ моль геля при температуре $T_1 = 420$ K, в нижней части — $v_2 = 1,5$ моль геля при $T_2 = 400$ K. Поршень может двигаться без треня, масса его $M = 100$ кг. На сколько опустится поршень к моменту установления теплового равновесия в состоянии? Какая температура при этом установится? Внешнее давление не учитывает.

10 класс

1. Предположим, что в результате сильных пожаров в верхних слоях атмосферы Земли возникнет сплошной тонкий слой сахки, поглощший практические все падающие на него солнечное излучение, за исключением инфракрасного. Какой стала бы при этом средняя температура Земли, если сейчас она составляет $T = 300$ K? Учитите, что в состоянии теплового равновесия любое тело излучает с единицами поверхности поток энергии, который пропорционален учетвертой стелени его температуры (закон Стефана — Болымана). Считать, что при температуре $T$ практические все излучение инфракрасное. Отражением пренебрець.

2. При испытании тонкостенных стеклянных шаров на прочноность воздуха последовательно накапливается в шариках с внешними радиусами $R$, $2R$ и $3R$. Стекло, из которого сделаны шары, однородно, шары имеют стены одинаковой толщины. Какой из шаров должен лопнуть перым при одинаковом наименшем давлении воздуха внутри шара? Какое условие следует на толщину стенок шаров, чтобы при том же соотношении внешних радиусов шары выдерживать практические одинаковое предельное давление. Ответы обосновуйте.

3. Очень длиной соленoid в средней части окружен колцевым проводящим обручем, ось которого совпадает с осью соленoid (рис. 6). Обруч составлен из двух половин, имеющих неизвестные разные сопротивления $R_1$ и $R_2$. К точкам $A$ и $B$, в местах соединения половин, подключены три волтметра с чисто активными внутренними сопротивлениями, причем проводник $A - V_0 - B$ пропускает обруча, а проводники $A - V_1 - B$ и $A - V_2 - B$ произвольно по разные стороны соленoidа. По соленодуру пропускают переменный ток. Оказалось, что при этом волтметр $V_0$ показы-

(Окончание см. на с. 63)