Загадка Рамануджана (к столетию со дня рождения)

14

ЗАГАДКА
РАМАНУДЖАНА

(к столетю со дня рождения)

Доктор физико-математических наук
С. Г. ГИНДИКИН

Рамануджан любил говорить, что формулы ему вручает во сне бозия Намаккаль. Интересно отмечать, что действительное он часто, оставая по утрам с кровати, тут же записьвал готовые формулы.

Сецу Айар и Рамачандра Рao

Письмо в Кембридж
В самом начале 1913 года профессор Кембриджского университета Г. Г. Харди получил письмо из далекого Мадраса. В связи 36 лет Харди был уже одним из крупнейших специалистов по анализу и теории чисел, автором ряда великопленных математических работ. Отправитель же письма, Сринавзаа Рамануджан, работал kleером в бухгалтерии почтового ведомства Мадраса с более чем скромным окладом в 20 футов в год. Он сообщал о себе, что не имеет университетского образования и после окончания школы самостоятельного занятия математикой, не следуя принятой системе, а «избрав свою дорогу». Математическое содержание письма выгляделит достаточно неуклюжнее — в полне можно принять автора за самоуверенного любителя.

Само по себе такое письмо не могло произвести на Харди сильно впечатления. Но к письму было приложено некоторое количество формул, которые предлагалось опубликовать, если они интересны, чего сам автор не мог сделать из-за своей бедности. Просмотр формул настоящего Харди: он понял, что имеет дело с незawyrdным явлением. Он заинтересованно ответает Рамануджану, между ними завызывается интенсивная переписка (сегодняя каждется удивительным, как быстро шли тогда письма между Индейем и Англей). Постепенно у Харди собирается около 120 разнообразных формул.

Формулы Рамануджана касались в основном соответствии между бесконечными радиками (вставка 2), бесконечными рядами, произведениями и цепными дробями (вставки 1, 3, 4), тождеств между интегралами. Прежде всего было ясно, что они далеко выходят за пределы

Вставка 1. Пример бесконечной суммы, вычисленной Рамануджаном

$$1 - 5 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9 \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^3 - 13 \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^3 + \dots = \frac{2}{\pi}.$$

Эта удивительная формула — одна из приложенных Рамануджаном к первому письму Харди. Каким образом сумма знакочередующей ряда $a_0 + a_1 + a_2 + \dots$ с общим членом

$$a_n = (-1)^n (4n + 1) \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n)}\right)^3$$

может вдруг оказаться равной 2/π, Харди долго не мог понять. В справедливости этой формулы, как приближенного равенства, читатель может убедиться с помощью калькулятора. Доказательство точного равенства не элементарно.

15

Вставка 2. Бесконечно повторяющиеся радикалы

$$\sqrt{1+2\sqrt{1+3}\sqrt{1+4}\sqrt{1+...}}=3.$$

Эту красивую формулу Рамануджан получил еще в школьные годы следующим образом: он написал последовательность оченьных равенств

$$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}}=...,$$

а затем подставил $n=1$. Вопрос о закономости перехода к предлу Рамануджана не интересал. Действуя так же, читатель может попробовать самостоятельной получения формулу!

$$\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4}\sqrt{9+...}}}=4.$$

элементарной математики. Далее возникает цель вопросов: известны ли они; если да, то самостояльно ли получены автором письма; если нет, то верны ли они? Вскоре Харди понимает, что ситuation парадоксана: он, несомненно, выдавшийся специальist по современному анализу, имеет дело с рассыпью неизвестных ему формул!

Большое впечатление на Хардии произведели формулы с бесконечными рядами (см. вставку 1). После их изучения он приходит к выводу:

«…в распорядении Рамануджана должны быть какие-то очень общее теоремы, которые он от меня скрывает».

Но особо удивили Харди соответствия с бесконечными цепными дробями (одно из более поздних соответствий этого типа показано наставке 3):

«…эти соответствия местили меня полностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточно бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли быть написаны только математиком самого высокого класса».

Чудо из Кумбаконама

Как же сложился математик, который так удивил Харди? Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 декабря 1887 г. на юге Индии в сельни Эрод. Его детство в основном протекло в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадраса), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Рамануджан принадлежал к часте браминов, но богатство уже давно не было уделом его родственников. Его родители, а мать особенно, были глубоко реплицозны. Рамануджан получил воспитание в традициях кasts. Детство, проведенное в городе, где каждый камень связан с древней религии, в окружении людей, постояно ощущающих свою принадлежность к высшей касте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана.

С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает начальную школа. Он начинает проявлять незаурядные способности, получает стипендюю, обеспечивающий обучение в средней школе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса дает ему двухтомное руководство по трионометрии Лони. Вскоре Рамануджан изучил трионометрию, и студент имел возможность пользоваться его консультативей в решении задач. К этому периоду относится первый рассказы и легенды. Утверждается, что он сам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинсе» и был очень расстроен, найда эту формулу во втором томе Лони.

«Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в других науках, следует искать присущую ей «высшую истину», рассправивает учитель. Старшие дают маловразумительные ссылки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами.

16

Вставка 3. Числовое точное с бесконечной суммой и целой дробью

$$1 + \frac{1}{1.3} + \frac{1}{1.3.5} + \frac{1}{1.3.5.7} + \frac{1}{1.3.5.7.9} + \dots + \frac{1}{1 + 1} = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}.$$

Это, возможно, самая красивая формула Рамануджана, истинное произведение математического искусства. Она неожиданно связана безконечный ряд и бесконечную целую дробь. Удивительно, что ни ряд, ни целая дробь не выражаются через известные постоянные л и e, а их сумма неопустимым образом оказывается равной $\sqrt{\pi e}/2$!

«Синописс элементарных результатов чистой и прикладной математики»

Это двуxtомное руководство английского математика Карара, написанное в 1880—1886 гг., попало к Рамануджану в 1903 г.— ему было тогда 16 лет. Эта книга сыграла огромную роль в формировании Рамануджана. В ней было собрано 6165 теорем и формул, почти без доказательств, с минимальными пояснениями. В основном книге посвящена алгебре, тригонометрии, анализу, аналитической геометрии.

Книга Карара стимулировала маленька к самостоятельному выводу формул. Об этом говорят те, кто знал Рамануджана в эти годы. Постепенно меняется область его основных интерсов: матическое квадраты, потом квадратура круга (он находится с точностью, позволяющей вычислить длину экватора с ошибкой, не превышшей 1—2 м, глазит легенда) и, наконец, наступает очередь бесконечных рядов. Это уже начало подлинной математической жизни!

Книга Карара оказалась достаточно удачной для того, чтобы формировать математический мир Рамануджана. Но ориентировка на эту книгу имела и другие последствия. Поскольку книга не содержала доказательства, а в лучшем случае — наводящие сообщения, у Рамануджана складывается своеобразный метод установления математической истинны. К тому же он лищен в Индии подходящих руководств для того, чтобы проводить строгие доказательства.

«Его понимание существи математического доказательства было более чем туманным; он приSELко всем своим результатам, как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным, при помощи страной смеси интуитивных доказок, индуктивных сообщений и логических рассудений…»

Mathematical syllabus of Rамануджана фактически полностью решила в эти годы — направление научных поисков, способ думать он уже никогда не менял. Здесь можно выразить сообщение, что Рамануджан формировался в тяжелых условиях. В нормальных условиях он, несомненно, стал бы математиком с лучшей профессиональной подготовкой, но можно ли быть уверенным, что он был бы столбже уникален? Смог бы Рамануджан видеть так много, если бы с детства был обучен правилм поведения в математике и доводил бы свои результаты до публикаций со стороны доказательствами, строил бы свой математический мир на базе всего доступного человекаством, а не на сравнительно небольшим числе фактов?

От чисел к формулам

В формировании математического мира Рамануджана было важно, что начальный запас математических фактов (в основном порядке наладок конкретными числами. Он коллекционноировал такие факты с детства. Его школьный товарщик вспоминал, что

17

Дом в Кумбаконаме,
недалеко от Мадраса,
в котором
провел детство
Рамануджан.

Здание школи
в Кумбаконаме:
здесь получил
среднее образование
и начал
самостоятьные
исследования
Рамануджан.

Одно из зданий
Кембриджского
университета —
Тринити-колледж.
Здесь с 1914
по 1919 годы
работал
Сриниваза
Рамануджан.

Единстевный известный
портрет Рамануджана.

Гордон Гарольд
Харди
(1877—1947),
известный
английский
математик,
профессор
Кембриджского
университета,
друг и соавтор
Рамануджана.
Фотографика
начала 1900-х
годов.

2 «Квант» № 10

17