[Игрушка Э. Рубика]

Неколько лет назад неисточимый Эрпё Рубик придумал церрушку, в котором 11 фишек, расположенные в узлах квадратной решетки, при помощи трех кареток совершают «челючные решения» вниз — вверх (3 ряда по 3 фишки сразу) и влево — вправо (2 ряда по 4 фишки разделно). Как обычно, задача израционное в том, чтобы после нескольких произвольных сдвигов восстанавlied исходный порядок фишек, показанный на рисунке 1. На этой головоломке мы еще раз продемонстрируем эффективность приемов, с которым мы знакомили читателей в «Кванте» № 5.
Первым делом посмотрим, как представляются фишки под действием различных коммута-торов — операций типа «туда — сюда — оттуда — отсиода». Если «туда» — это виз, а «сиода» — bleiben («оттуда» и «отсиода», естественно, — вверх и вправо), то в зависимости от того, какой из двух горизонтальных рядов сдвигается, верхий или низкий, получается две операции — А и B (рис. 2). Обе они представляют фишки циклические: А — по сцилим стрелкам, B — по зеленьм. Естеше треттий вариант — двіщать влево-право сразу об горизонтальные картеки. Возникалоцая операция С представляет фишки по периметру церрушки против часовой стрелки. Если сначала они стоят в исходном порядке, то после применения С переместятся так:

Рис. 1.

7→8→9→келляя→красная→3→2→1→4→7. Следующий шаг — рассмотреть коммутаторы операций A, B и C. Впрочем, можно обойти только один из них — K=AB^{-1} A^{-1} B. Он меняет местами фишки 1 и 7 и одновременно 5 и 6 (в исходном положении). Терерь мы сможем представить любые две фишки, стоящие через одну, по периметру головоломки (при этом одновременно представляются 5 и 6). Например, для фишек 1 и 3 это делается так: сдвигаем их с помощью C² на места 7 и 1, выполляем К и возвращаем назад. Операции такого вида (C^n K C^{-n}, n=0, ±1,±2,±3) позволяют получить любую перестановку всех фишек, кроме 5 и 6; проверьте это! Но не следует ли, что все эти фишки попадут на свои места, а 5 и 6 оказываются переставлены? Оказывается нет. Поясим это, опуская за недостатком места само сущесвенное — доказательства. Всякую перестановку можно представить по следующим способам. (Например, цикл A получится, если последовательно менять местами красную фишку с фишками 6, 5, 4, 1, 2, 3 или фишку 6 с 5, 4, 1, …). При этом число обменов либо всегда будет четным — тогда перестановка называется четной, либо нечетным — тогда она нечетная. Если после нескольких сдвигов картеки вернулись в исходную позицию, то каждая из них сдвигалась четное число раз. Отсюда выводится, что образованаяся в результате перестановка будет четной, а значит, получитьровно один парный обмен нельзя. Кстати, здесь же кроются и ответы на наши вопросы о головоломках из 5-20 и 6-20 номеров журнала.

Уважаемые читатели! По редакционному календарю Новый год уже на посу, а наш запас головоломок еще далеко не исчерпан. Нашище, правится ли вам наш заметки о них? Надо ли продолжать эту серию?