Головоломки

33

Тангенс угла Брокара выражается формулой: tgφ = $\frac{4S}{a^2+b^2+c^2}$, где S — площадь треугольника, a, b, c — длины его стороны. Площади треугольников, на которых разбиается исходный треугольник, относятся, как обратные величины квадратов сторон: $a^2S_{ABM} = b^2S_{BCM} = c^2S_{CAM}$.

ГОЛОВОЛОМКИ

1. Три одинаковых треугольника разрезаны по разным медианам. Сложите из полученных шести кусков один треугольник.
   B. B. Произведение
2. Разрежьте фигуру, изображенную на левом рисунке, на две части так,

Логарифмическая спираль часть встречется в живой и неживой природе. На пример, форму логарифмической спирали имеются раковины.

Логарифмическая спираль часть встречется в живой и неживой природе. На пример, форму логарифмической спирали имеются раковины.

Логарифмическая спираль образует одинаковые углы в пересечении с лучами, исходящими из точки O. Позному, если мы начнем вблизи Северного полюса идти, скажем, на юго-восток, то мы будем обходить его по логарифмической спирали.

Чтобы из них можно было бы сложить круг. Сделайте то же самое для фигурики на правом рисунке. (П о дск а за к а: при разрезании первой фигурики вы увидите мордочку хитрой лицы, а при разрезании второй — голову неуклюжного медведя.)
A. M. Домашенко

34

Ф1060. Математический матрик представляет собой неиссимый стержень длиной l, к свободному концу которого прикреплен маленький массивныйрузчик. На стержень надета бусинка такой же массы, которая может свободно скользыть по горизонтальной направляющей, проходящей на уровень середины стержня (см. рисунок). Найти перiod малых колебаний такого матрика. Тренце отсутствует.

$$v_m = \sqrt{2gl(1 - \cos \alpha_0)} = 2\sin \frac{\alpha_0}{2}\sqrt{gl}.$$

При условии малости колебаний

$$\sin \frac{\alpha_0}{2} \approx \frac{\alpha_0}{2} \approx \frac{A}{2l},$$

где $A$ — амплитуда колебаний матрика, и

$$v_m = A\sqrt{\frac{g}{l}} = A\omega_0,$$

где $\omega_0$ — частота колебаний.

Найдем максимальное скорость грузика для нашей системы (матрик с бусинкой, находящейся все время на одной и той же горизонтали). Запишем закон сохранения энергии для системы в тот момент, когда грузик проходит нанизшую точку траектории:

$$\frac{m}{2}v_m^2 + \frac{m}{2}\left(\frac{v_m}{2}\right)^2 = mgl(1 - \cos \alpha_0)$$

($\frac{v_m}{2}$ — скорость бусинки в этот момент). Отсюда

$$v_m = \frac{2}{\sqrt{5}}\sqrt{2gl(1 - \cos \alpha_0)} = A \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\omega_0.$$

Как видно из этого результата, частота $\omega$ колебаний нашей системы в $2/\sqrt{5}$ раз меньше частоты $\omega_0$ колебаний математического матрика длиной l. Следовательно, период колебаний системы —

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi\omega_0\sqrt{5} = \pi\sqrt{\frac{5l}{g}}.$$

Л. Г. Маркович

Ф1061. Плама спиртовки, перед тем как поаснуть, начинает мерцать и потребывать. Почему?

Причиной мерцания пламени является, оченьindo, неравномерность поступления горючего — спирта. Это имеет место, когда спирт кончается.

Действительно, когда спирта остается малo, начинают сказывать, помимо капиллярных сил «захвата» горючего фитилем, силы взаимодействия спирта с дном и стенками спиртовки (силы поверхностного натяжения). Перебор в поступлении горючего могут возникнуть и из-за наличия всякого рода «грузи», находящейся, как правило, на дне спиртовки.

Итак, в некоторых момент времени спирта, поступающий к пламени по фитилю, не хватает для поддержания устойчивого размера пламени, и пламы как бы пропадает; однако в следующий момент поступает «избыток» спирта, и происходит резкое увеличение пламени, сопровождающей треском.

Как правило, при диаметре фитиля 2—3 мм такие мерцания с потрескиванием воздуха, когда длина фитиля составляет несколько миллиметров, причем, чем короче фитиля — тем чаще происходит вспышки, сопровождающей треском.

А. С. Бутов

Ф1062. Космическая частьща, движущаяся со скоростью, близкой к скорости света, попадает в реа.

Наличие двух светящихся точекозначает, что скорость u, с которой частьща движется в резервуаре, большие скорости света в жидкости, т. е. большие $v = c/n$ (с скоростью света в вакууме).