Olympic toàn Nga lần thứ XIII dành cho học sinh

60

Olympic học sinh toàn Nga lần thứ XIII

Theo truyền thống đã được thiết lập, vòng chung kết khu vực của Olympic Vật lý, Toán và Hóa học toàn Nga dành cho học sinh lớp 8-10 diễn ra trong kỳ nghỉ xuân. Dưới đây là các điều kiện bài toán trong toán học và vật lý được đưa ra ở giai đoạn cuối và tên của những người chiến thắng trong Olympic toàn Nga lần thứ XIII dành cho học sinh.

Toán học
lớp 8

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình $xy=20-3x+y$.

2. Trên trục số có một tập M, có thể được bao phủ bởi các đoạn có độ dài đơn vị. Đặt $M'$ là tập trung điểm của tất cả các đoạn có thể có các đầu thuộc tập M. Chứng minh rằng tập $M'$ có thể được bao phủ bởi sáu đoạn có độ dài đơn vị. Có phải lúc nào cũng có thể đi vòng quanh một con đường theo từng đoạn không?

3. Khi các đường tròn có một điểm chung M, cắt nhau thành từng cặp tại các điểm P, Q, R và nằm trên mặt phẳng như hình hình 1. Qua điểm A tùy ý của một trong các đường tròn nằm trên cung PQ không chứa điểm M, và các điểm P và Q tại đó đường tròn này cắt hai đường tròn khác, vẽ các đường thẳng cắt hai đường tròn này lần thứ hai tại các điểm B và C (xem hình 1). Chứng minh rằng các điểm B, C và R cùng nằm trên một đường thẳng.

4. Một phân số thập phân không định kỳ vô hạn được đưa ra. Chứng minh rằng bạn có thể sắp xếp lại các chữ số của nó để có được một phân số tuần hoàn.

5. Tất cả các góc của ngũ giác lồi ABCDE đều bằng nhau. Tất cả các góc ở các đỉnh của “ngôi sao” ACEBDA cũng bằng nhau. Chứng minh rằng ngũ giác ABCDE đúng.
   lớp 9

6. Tìm tất cả các giá trị của n sao cho số 144…4 là bình phương của một số tự nhiên.

7. Trong số 99 đồng tiền có bề ngoài giống hệt nhau, người ta phát hiện một số đồng tiền giả. Được biết, mỗi đồng tiền giả có trọng lượng khác với đồng tiền thật một số lẻ gam và tổng trọng lượng của tất cả các đồng tiền này bằng trọng lượng của 99 đồng tiền thật. Có hai chiếc cân có mũi tên hiển thị sự chênh lệch tính bằng gam của trọng lượng của các quả cân đặt trên bát. Chứng minh rằng chỉ cần cân một lần trên những chiếc cân như vậy, bạn có thể biết được bất kỳ đồng tiền nào đã chọn trước đó có phải là tiền giả hay không.

8. Chứng minh rằng nếu α, β, γ là các góc của một tam giác thì bất đẳng thức đúng
   $$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos \gamma > \frac{3}{4}.$$

9. Hai đường tròn cắt nhau tại các điểm M và N. Đường thẳng l1 và l2 đi qua các điểm M tạo thành các góc bằng nhau với dây MN và cắt các đường tròn ngoài điểm M tại hai điểm nữa: l1 - tại các điểm A và B, l2 - tại các điểm C và D. Chứng minh rằng AB = CD.

10. Bàn bida có hình tam giác đều. Chứng minh rằng nếu quả bóng đi qua một điểm nhất định bảy lần sau khi bị đánh thì nó sẽ đi qua điểm đó ít nhất một lần nữa.
    lớp 10

11. Tìm tất cả các số có ba chữ số abc có bình phương tận cùng là abc.

12. Chứng minh rằng với mọi x∈R thì đẳng thức đúng
    $$\|...\|x|-2^n|-2^{n-1}|...|-2|-1|= \|...\|x|-1|-1|-...|-1|.$$

13. Chứng minh rằng nếu tổng
    $$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6}+\dots+\frac{1}{1984\cdot 1985\cdot 1986}$$ được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản thì tử số của phân số này sẽ chia hết cho 1987.

14. Gọi l là độ dài của đường đứt nét trong không gian, a, b, c là độ dài hình chiếu của nó lên các mặt phẳng tọa độ. a) Chứng minh rằng bất đẳng thức $(a+b+c)/l \leq \sqrt{6}$ là đúng. 6) Có một đường gãy khép kín nào thỏa mãn đẳng thức $(a+b+c)/l=\sqrt{6}$ không?

15. Bốn người tìm chính xác các số nằm trên bàn với mặt số hướng lên trên sao cho tâm của chúng là các đỉnh của hình vuông. Tại một số thời điểm, các đầu của kim phút hóa ra là các đỉnh của hình vuông. Chứng minh rằng ở bất kỳ thời điểm nào, một tứ giác có các đỉnh ở hai đầu kim phút cũng là hình vuông. (Bỏ qua độ dày của đồng hồ.)

Vật lý
Chuyến tham quan lý thuyết
lớp 8

1. Máy đưa các bộ phận đã hoàn thiện lên băng tải thô. Vận tốc của các bộ phận trước khi chạm vào băng tải là v0=1 m/s. Được biết, ở tốc độ băng tải v=2 m/s các bộ phận dừng lại trên băng tải tại

61

Khoảng cách $l = \frac{1}{3}d$ từ cạnh (hình 2). Băng tải phải có tốc độ bao nhiêu để giữ các bộ phận chính xác ở giữa?

2. Sử dụng hệ thống sưởi cơ thể với công suất $P = 100$ W, không thể đun sôi một chiếc chảo chứa $V = 1$ lít nước. Hãy tắt lò sưởi đi. Sẽ mất bao lâu để nhiệt độ nước giảm $\Delta t = 1$ độ?

3. Trong mạch lắp ráp (hình 3), bóng đèn cháy sáng như nhau cả khi bấm phím $K$ đóng và mở. Hiệu điện thế của nguồn là $U = 54$ V. Tìm hướng đi trên bóng đèn.

4. Tại thời điểm $t = 0$, một lực không đổi $\vec{F}$ bắt đầu tác dụng lên các hạt có khối lượng $m$, chuyển động với tốc độ $\vec{v}_0$. Xác định độ dịch chuyển của hạt (mô đun và hướng so với các vectơ đã cho $\vec{F}$ và $\vec{v}_0$) trong thời gian vectơ vận tốc của hạt quay qua một góc đã biết $a$, giữ nguyên độ lớn.

lớp 9

1. Quả tạ, là một kim đan không đồng nhất có chiều dài (dài $l$) với những quả bóng lớn có kích thước nhỏ được gắn ở hai đầu, di chuyển về phía trước với tốc độ $\vec{v}_0$ và ẩn sau một màn hình, nơi nó va chạm với một preistetium đứng yên (trong trường hợp này, âm thanh của hai cú đánh liên tiếp được hợp nhất). Kết quả là quả tạ bay ra từ phía sau màn hình với cùng tốc độ và theo thứ tự thực tế, nhưng ở trạng thái đảo ngược (hình 4). Quả tạ ở phía sau màn hình trong bao lâu? Chiều rộng chiều rộng $L > l$.

2. Trong sơ đồ (hình 5) $E_1 = 4E$, $E_2 = E$, $C_1 = C_2 = C$. Phím $K$ đầu tiên ở vị trí “1”, sau đó được chuyển sang vị trí “2”. Lượng chất rắn nào sẽ thoát ra trên một điện trở có điện trở $R_2$ ($R_2 = R_1$)?

3. Sức mạnh của một nassa có thể nâng 0,2 mét khối nước mỗi giây ($V = 0,2 \text{ m}^3/\text{с}$) qua ống thứ hai $S = 0,05 \text{ m}^2$ lên độ cao $h = 5$ m? Điều gì sẽ thay đổi nếu bạn cần nâng cùng một khối vữa xi măng có khối lượng riêng gấp đôi nước?

4. Trụ dẫn nhiệt cao được chia thành hai phần bằng vách ngăn dẫn nhiệt cố định. Ở phần trên dưới pít-tông có $v_1 = 1$ mol gel ở nhiệt độ $T_1 = 420$ K, ở phần dưới có $v_2 = 1,5$ mol gel ở $T_2 = 400$ K. Pít-tông có thể chuyển động không ma sát, khối lượng của nó là $M = 100$ kg. Piston sẽ giảm bao xa khi cân bằng nhiệt được thiết lập? Nhiệt độ này sẽ đặt ở mức nào? Áp lực bên ngoài không được tính đến.

lớp 10

1. Giả sử rằng do cháy mạnh ở các tầng trên của bầu khí quyển Trái đất, một lớp đường mỏng liên tục sẽ xuất hiện, hấp thụ gần như toàn bộ bức xạ mặt trời chiếu vào nó, ngoại trừ tia hồng ngoại. Nhiệt độ trung bình của Trái đất sẽ là bao nhiêu nếu bây giờ là $T = 300$ K? Xin lưu ý rằng ở trạng thái cân bằng nhiệt, bất kỳ vật thể nào cũng phát ra một dòng năng lượng với đơn vị bề mặt tỷ lệ với một phần tư nhiệt độ của nó (định luật Stefan-Bolyman). Giả sử rằng ở nhiệt độ $T$ thực tế tất cả các bức xạ đều là tia hồng ngoại. Bỏ qua sự phản ánh.

2. Khi kiểm tra độ bền của các quả bóng thủy tinh có thành mỏng, không khí lần lượt tích tụ trong các quả bóng có bán kính ngoài $R$, $2R$ và $3R$. Kính làm ra các quả bóng là đồng nhất, các quả bóng có thành có cùng độ dày. Quả bóng nào sẽ nổ trước ở cùng áp suất không khí thấp nhất bên trong quả bóng? Điều kiện nào xảy ra đối với độ dày thành của các quả bóng sao cho với cùng một tỷ lệ bán kính ngoài, các quả bóng có thể chịu được áp suất cực hạn trên thực tế như nhau. Đáp số biện minh.

3. Một cuộn dây điện từ rất dài ở phần giữa được bao quanh bởi một vòng dẫn hình khuyên, trục của nó trùng với trục của cuộn dây điện từ (hình 6). Vòng được tạo thành từ hai nửa có điện trở khác nhau không xác định $R_1$ và $R_2$. Ba vôn kế có điện trở trong thuần túy hoạt động được nối với các điểm $A$ và $B$, tại điểm nối của hai nửa, với dây dẫn $A - V_0 - B$ đi qua vòng và các dây dẫn $A - V_1 - B$ và $A - V_2 - B$ tùy ý ở các phía đối diện của cuộn dây điện từ. Dòng điện xoay chiều chạy qua cuộn dây điện từ. Hóa ra trong trường hợp này, vôn kế $V_0$ hiển thị

(Cuối cùng xem trang 63)