Trò chuyện với Viện sĩ V. P. Maslov

Kvant 1988, số 5 tr. 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 Thẻ N8R1

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

TRÒ CHUYỆN VỚI MỘT HỌC VIÊN
V. P. MASLOV

Victor Pavlovich, ông bắt đầu quan tâm đến vật lý và toán học từ khi nào và như thế nào? Điều gì sẽ có tác động lớn nhất - trường học, câu lạc bộ, gia đình?

Tôi không tham gia krupki; Tôi không đặc biệt quan tâm đến toán học hay vật lý ở trường. Ngược lại, tôi khá yếu các môn này, đặc biệt là môn vật lý. Và đây là thời điểm mà nhiều người bạn của tôi quan tâm đến vật lý, khi đó có mốt thời thượng dành cho vật lý. Có lẽ sự lạc hậu về vật lý của tôi đã đóng một vai trò nào đó: tôi quyết định rằng mình không có đủ trình độ học vấn, rằng tôi cần phải đến khoa vật lý để tận dụng nó.

Có lẽ bạn đã không tham gia Thế vận hội?

Có lần tôi tham gia một cuộc thi Olympic toán. Tôi đến đó ít nhiều là tình cờ, bạn bè tôi cũng chỉ đến đó thôi. Đó là vòng thứ hai, tôi chỉ giải được một bài toán, rồi bỏ đi. Tôi đã nhận được giấy chứng nhận cho việc này.

Sau khi tốt nghiệp ra trường, bạn vào học tại Khoa Vật lý của Đại học quốc gia Moscow. Bạn có những lựa chọn khác để lựa chọn con đường cuộc sống của mình không?

Vâng, nhìn chung tôi quan tâm nhiều hơn đến nhân văn. Nhưng cha dượng của tôi, một nhà sử học nổi tiếng, Giáo sư Boris Fedorovich Porshnev, đã mạnh mẽ can ngăn tôi đi theo con đường nhân đạo. Thực tế là anh ấy đã thuyết phục tôi vào khoa vật lý.

Bạn coi ai là giáo viên của mình? Đồng nghiệp nào ảnh hưởng đến bạn nhiều nhất?

Giáo viên của tôi là Sergei Vasilievich Fomin. Ông làm việc vào những năm 50 tại Khoa Toán, Khoa Vật lý, Đại học quốc gia Moscow. Vào năm thứ hai, tôi bắt đầu quan tâm đến các tần số nhất định của toán học bài toán, đặc biệt là các tần số đại số. Sau đó tôi quay sang nhà đại số nổi tiếng Igor Rostislavovich Shafarvich. Tôi đã học với anh ấy một thời gian và thậm chí còn quyết định chuyển sang ngành cơ khí. Nhưng khi tôi muốn làm điều này, Giáo sư Anatoly Alekseevich Blasov, người đứng đầu khoa tôi theo học, đã không làm tôi thất vọng. Để kiểm tra xem tôi có thực sự là một nhà toán học hay không, anh ấy đã cho tôi một bài toán bài toán. Tôi giải quyết nó khá nhanh chóng. Nhưng Blasov không muốn hiểu bằng chứng này, vì nó không trực tiếp như anh ta muốn mà là gián tiếp. Cuối cùng tôi cũng thuyết phục được anh ấy, anh ấy đồng ý để tôi đi. Nhưng sau đó Sergei Vasilievich Fomin bắt đầu làm việc với tôi. Anh ta

và khuyên tôi không nên chuyển sang Cơ học và Toán học. Sau đó tôi cùng anh vào khoa Toán của Khoa Vật lý.

— Bạn gặp khó khăn gì trên con đường trở thành nhà khoa học?

— Tôi cảm thấy rất khó khăn vì không được học toán đầy đủ. Tôi biết rất ít văn học đặc biệt. Sau khi tốt nghiệp Khoa Vật lý, tôi bị cuốn hút bởi ngôn ngữ toán học từ khá lâu. Vì vậy, tôi không được các nhà toán học ngay lập tức coi là một nhà toán học mà đúng hơn là một nhà vật lý, vì ngôn ngữ của tôi có phần mơ hồ đối với họ. Lúc đầu, một số câu hỏi của tôi trên các bài toán được các nhà toán học viết lại, thậm chí có khi không có tài liệu tham khảo. Trong số các nhà toán học, tôi nhận ra rõ ràng rằng công việc của tôi không hề nghiêm ngặt. Tôi đã phải thừa nhận quan điểm này. Thật kỳ lạ, tôi đã thành công trong việc này khi tôi chứng tỏ được năng lực của mình trong các lĩnh vực toán học hiện đại khác, chứ không phải trong những lĩnh vực mà tôi chủ yếu tham gia vào thời điểm đó.

— Sự hấp dẫn như vậy được tạo ra đến mức bạn luôn đi theo con đường khó khăn nhất: bạn đến khoa vật lý, vì vật lý là môn tệ nhất đối với bạn, và sau đó bạn bắt đầu học toán vì bạn không có đủ ngôn ngữ toán học. Đây là gì - một đặc điểm tính cách?

— Không, rõ ràng là tôi bắt đầu quan tâm đến toán học ở Khoa Vật lý vì đơn giản là tôi có thiên hướng toán học lớn. Như tôi đã nói, sở thích này xảy ra vào năm thứ hai của tôi. Tuy nhiên, sau đó tôi bắt đầu quan tâm đến cơ học lượng tử và vật lý lượng tử. Làm ơn, bạn có thể nói rằng, nói chung, tôi đã đi theo con đường sở thích của mình, con đường ít trở ngại nhất trong cuộc đời tôi. Và có lẽ tôi thực sự đã vào được khoa vật lý nhờ một thủ thuật nào đó: tôi thậm chí còn đạt điểm C môn vật lý trong chứng chỉ ở trường của mình.

— Các tác phẩm đầu tiên của bạn (cũng như nhiều tác phẩm bên ngoài) liên quan đến nghiên cứu cơ bản và được các nhà toán học lý thuyết quan tâm chủ yếu. Mặt khác, bạn là một nhà toán học ứng dụng nổi tiếng. Làm thế nào để bạn dung hòa toán học “thuần túy” với vật lý và các vấn đề ứng dụng?

Tôi nghĩ thật may mắn khi được vào khoa vật lý.

Tôi có thiên hướng khái quát hóa, về các công thức toán học và tổng quát. Lớp vật lý của tôi là nguồn bài toán toán học đối với tôi; điều này đã có tác động tích cực tổng thể đến công việc của tôi. Trong những năm sinh viên, tôi đã tự đặt ra cho mình một số vấn đề liên quan đến vật lý lý thuyết. Cho đến bây giờ, tôi vẫn chưa thể giải quyết được tất cả các vấn đề. Tôi nghĩ rằng cách tìm kiếm toán học bài toán gần ranh giới với vật lý lý thuyết này là một cách hay. Mặt khác, nó có thể đánh giá các kết quả cuối cùng về mặt ứng dụng của chúng vào vật lý hoặc một số lĩnh vực ứng dụng khác. Trong đại số, và đặc biệt là lý thuyết số, có những tiêu chí để đánh giá bài tập nói chung. Ví dụ: bài toán được đặt cách đây bao lâu, ai giải được và không giải được, yếu tố thể thao hoặc thứ gì đó. Nếu bạn cũng có thể giải quyết được nó, điều đó có nghĩa là bạn đã có sự tiến bộ nghiêm trọng. Nhưng trong toán học liên quan đến ứng dụng, tiêu chí đó, ở một mức độ nhất định, chính xác là ứng dụng, độ rộng của các ứng dụng có thể. Ở đây, trực giác phải được xác định, người ta phải cảm thấy bài toán nào, được giải bởi một nhà toán học nhất định, có thể hữu ích. Vâng, trong trường hợp này, kiến thức về vật lý và các vấn đề vật lý là điều cần thiết. Tôi sẽ đưa ra một ví dụ về một nhà toán học như Ludwig Dmitrievich Faddeev. Ông cũng tốt nghiệp Khoa Vật lý. Bài toán, thứ mà anh ấy bắt đầu đọc hoặc không đọc trước, sau đó nhận được tiếng vang rộng rãi nhờ các tác phẩm của anh ấy chứ không chỉ của anh ấy. Faddeev thường là một trong những người đầu tiên giải được các bài toán cấp bách trong toán học. Đây là những bài toán như phương trình Kortever-Defries*) hoặc lý thuyết tán xạ nghịch đảo bài toán. Faddeev bằng cách nào đó cảm nhận được chính xác những vấn đề nào sẽ phát triển trong tương lai. Và điều này phần lớn là do hình ảnh bên ngoài của anh ấy.

*) Phương trình vi phân mô tả sóng trên vùng nước nông, lời giải trong đó (được gọi là soliton) có tính chất toán học rất thấp.

— Gần đây, với tư cách là một chuyên gia toán học, bạn đã tham gia xây dựng một dự án xử lý bộ phận khẩn cấp của Nhà máy điện hạt nhân Chernovl. Bạn có thể nói gì với chúng tôi về điều này?

— Rõ ràng, con người có một số khả năng tiềm ẩn mà khoa học vẫn chưa thể giải thích được. Nhà ảo thuật đưa ra giả thuyết về một người đàn ông, và anh ta treo chắc chắn bằng ngón tay và ngón chân giữa hai chiếc ghế. Điều này cho thấy tiềm năng hoàn toàn phi thường vốn có ở một con người. Tôi luôn ngạc nhiên về tiềm năng to lớn của con người và các nhà khoa học của chúng tôi trong chiến tranh. Bất chấp những mất mát to lớn, đất nước sau chiến tranh tỏ ra hùng mạnh hơn trước. Rõ ràng, ở đây cũng đang diễn ra một khoảnh khắc thôi miên hàng loạt: sự căng thẳng khổng lồ đã tiếp thêm sức mạnh cho con người.

Chúng tôi gặp phải tình huống tương tự khi đang giải quyết vấn đề Nhà máy điện hạt nhân Chernovl sau vụ nổ. Đó thực sự là một công việc căng thẳng và hiệu quả, điều mà tôi vẫn tin - công việc đó có thể được thực hiện trong hai, ba năm, nhưng không phải trong hai tháng mà chúng tôi đã hoàn thành nó. Hơn nữa, không chỉ chúng tôi, những nhà toán học, mà còn tất cả những người có liên quan đến việc này, tất cả các nhà khoa học thuộc các chuyên ngành khác đã đến, đều bị cuốn vào làn sóng bùng nổ lớn này. Sức mạnh đến từ đâu - công việc diễn ra cực kỳ nhanh chóng. Không có rào cản sinh học nào đòi hỏi sức mạnh chính của nhà khoa học để vượt qua trong cuộc sống hàng ngày. Chẳng hạn, khi chúng tôi suy nghĩ kỹ và đề xuất bất kỳ thử nghiệm nào, chẳng hạn như vào buổi sáng, tôi đã liên hệ với các tổ chức và cùng ngày, thử nghiệm đã được thực hiện tại Nhà máy điện hạt nhân Chernovl. Tất nhiên, chúng tôi biết rất rõ mỗi thí nghiệm tốn kém như thế nào, mỗi người dành bao nhiêu giờ chụp X-quang cho thử nghiệm này hay thử nghiệm kia. Điều này tạo ra sự căng thẳng phi thường. Một ví dụ khác là đồng nghiệp của tôi V.P. Myasnikov gọi cho tôi lúc ba giờ sáng để thông báo rằng “lỗ hổng” trong bằng chứng mà tôi phát hiện đã được đưa ra - tùy chọn “giữ”. Hoặc những nhân viên trẻ của tôi đã nán lại với tôi vào những buổi tối sau lần lắp đặt thực sự cuối cùng, rằng họ không thể làm việc được nữa, họ đi nghỉ (đó là thời gian nghỉ phép và tôi đã giam giữ tất cả), họ bị thay thế bởi những người khác. Chưa bao giờ trong đời tôi trải qua sự căng thẳng dữ dội như vậy. Khi các vấn đề dịch vụ liên quan đến carcophagus đang được giải quyết và cần phải chịu trách nhiệm lời giải, mọi người đều tưởng tượng hậu quả của một lựa chọn sai lầm có thể nghiêm trọng như thế nào. Thời hạn rất gấp rút vì carcophagus được tạo ra với tốc độ cực nhanh và đôi khi mô hình toán học của chúng tôi không thể theo kịp. Và khi thiên nhiên dạy dỗ và buộc bạn phải làm lại thì đó là một trải nghiệm cay đắng và đắt giá. Vì vậy, công việc hoàn toàn phi thường, căng thẳng và căng thẳng. Và trong trường hợp cuối cùng, không chỉ các phép tính liên quan trực tiếp đến trạm này được thu được, mặc dù chúng tôi chỉ thực hiện các phép tính cho nó. Tuy nhiên, nhờ kết quả của mô hình toán học, chúng tôi đã thu được những mô tả về những hiệu ứng bất ngờ đối với cơ học, đôi khi mâu thuẫn với những giả định của các đồng nghiệp vật lý của chúng tôi.

— Trong các nhiệm vụ ứng dụng, chẳng hạn như mô hình hóa hoạt động của một hệ thống phức tạp (chẳng hạn như nhà máy điện hạt nhân mất kiểm soát), thí nghiệm trên máy tính được sử dụng. Những kỹ thuật này đã được sử dụng chưa?

— Đáng lẽ thí nghiệm trên máy tính đáng lẽ phải được áp dụng trước khi sự kiện đáng buồn này xảy ra. Như người ta nói, một người Nga có nhận thức sâu sắc - một thí nghiệm máy tính như vậy vừa được thực hiện; anh ta trực tiếp chỉ ra rằng một vụ nổ sắp xảy ra. Sau khi vụ nổ xảy ra, một thí nghiệm trên máy tính hiển thị một trong những biến thể có thể có của hoạt động của lò phản ứng sẽ không còn thực hiện được nữa, vì vậy chúng tôi phải xem xét tất cả các phương án. Rốt cuộc, mục tiêu của chúng tôi là đưa ra những khuyến nghị nhất định. Ví dụ, tính toán của chúng tôi cho thấy rằng không cần thiết phải đặt một khối bê tông (gối) bên dưới carcophagus. Một số tiền khổng lồ đã được chi ra, lúc đầu nó có vẻ là lớn nhất

nhau theo cùng một thứ tự.
Cauchy đã chứng minh rằng trường hợp như vậy là không thể xảy ra nếu chúng ta đang nói về hai khối đa diện lồi.
Định lý Cauchy. Hai khối đa diện lồi có các cặp cạnh bằng nhau, được sắp xếp theo cùng một thứ tự, bằng nhau.
Để chứng minh định lý này (được nêu dưới đây) về ngựa, Cauchy đã đề xuất một phương pháp mới, mà theo Viện sĩ A. D. Aleksadrov, “là một trong những lập luận hay nhất mà hình học biết đến”. Để ca ngợi điều này, lập luận thực sự xuất sắc này đã trở thành một trong những phương pháp tiêu chuẩn trong lý thuyết khối đa diện để chứng minh các định lý duy nhất tương tự khác.

Giả thuyết Euler
Câu hỏi liệu hình dạng của một bề mặt đa diện có được xác định duy nhất bởi các cạnh của nó hay không, hay liệu bề mặt đó có thể thay đổi bằng cách nào đó, bất chấp sự bất biến của các mặt của nó, đã được các nhà toán học quan tâm từ lâu trước Cauchy.
Euler vĩ đại cũng cân nhắc câu hỏi về tính duy nhất. Năm 1766, ông đưa ra giả thuyết: “Một hình không gian khép kín không cho phép thay đổi cho đến khi nó bị phá vỡ”. Euler coi “hình không gian đóng” là cái mà ngày nay thường được gọi là bề mặt đóng. Vì vậy, giả định của Euler không chỉ áp dụng cho các bề mặt đa diện. Nhưng liên quan đến khối đa diện, niềm tin vào tính đúng đắn của giả thuyết này là vững chắc nhất. Sự tự tin này dựa trên kinh nghiệm hàng thế kỷ trong việc giải quyết các khối đa diện và, theo cách riêng của nó, đã đạt được niềm tin vào một tiên đề.

khối đa diện đơn giản
Câu hỏi về tính bất biến của một bề mặt đa diện đã được chứng minh là một vấn đề khó giải quyết, nhưng trước khi chúng ta có thể hiểu nó, cần phải làm rõ một số khái niệm. Các điều kiện ở đây của một khối đa diện không được hiểu là một vật thể được giới hạn bởi các đa giác như đã được thực hiện ở trường, mà là một bề mặt bao gồm các đa giác này; trong trường hợp này, chúng ta sẽ đề xuất rằng khối đa diện của chúng ta được dán lại với nhau từ một số hữu hạn các đa giác hữu hạn sao cho mỗi cạnh của bất kỳ mặt nào của nó chỉ có một và được dán một mặt*). Một khối đa diện với những điều kiện như vậy được gọi là khối đóng. Điều kiện đóng cửa là điều kiện tự nhiên. Bất kỳ khối đa diện nào được học trong khóa học ở trường đều được công nhận; paramids và chất rắn Platonic được đóng lại. Một hộp đựng bưu kiện bằng gỗ dán thông thường nhưng không có nắp thì không thể coi là một khối đa diện khép kín. Nhưng một khi bạn đóng nắp vào nó, bạn sẽ có một khối đa diện khép kín.

Chúng ta cũng sẽ đề xuất rằng khối đa diện của chúng ta, như các nhà toán học nói, là một hình cầu tôpô. Một hình cầu tôpô là một bề mặt khác với hình cầu “tròn” thông thường hiện nay, giống như lỗ cong của một quả bóng xì hơi khác với một quả cầu phồng lên. Nói cách khác, chúng tôi đề xuất rằng khối đa diện của chúng tôi, nếu được làm bằng cao su, có thể phát triển mà không bị rách hoặc dính vào một quả cầu tròn thông thường. Các điều kiện gọi một khối đa diện như vậy là đơn giản. Tất cả các khối đa diện lồi, kể cả các khối đa diện “trường học”, đều đơn giản, giống như cả hai khối đa diện trong Hình 1, 2. Trên hình 3 có một ví dụ về một khối đa diện không đơn giản mà là một khối đa diện ba mặt.

Một khối đa diện có thể rất “xoắn”, điều này đôi khi gây khó khăn cho việc nhận biết liệu nó có đơn giản hay không. Điều đáng chú ý hơn nữa là bạn có thể nói về một khối đa diện dù nó đơn giản hay không mà không cần nhìn vào nó. Hãy tưởng tượng rằng ai đó cho chúng ta biết số tất cả các đỉnh B, số tất cả các cạnh P và số tất cả các mặt Γ của một khối đa diện X chưa biết. Sau đó, trừ đi số φ(X), được gọi là đặc tính Euler của khối đa diện,

*) Thật không dễ dàng để đưa ra một định nghĩa toán học chặt chẽ về khối đa diện, bao gồm cả các khối đa diện nhỏ, và chúng ta sẽ không làm điều này ở đây.

đường viền $X$ , theo công thức
$\varphi(X) = B - P + \Gamma,$
chúng ta có thể tự tin nói liệu khối đa diện $X$ có đơn giản hay không. Một khối đa diện sẽ đơn khi và chỉ khi đặc tính Euler của nó bằng 2. Đối với các khối đa diện không đơn giản, đặc tính Euler không vượt quá 0. Đặc biệt, đối với khối đa diện giao dịch (xem hình 3), đặc tính Euler bằng 0.

Tính linh hoạt của khối đa diện

Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng rằng chúng ta đã dán một khối đa diện từ các đa giác bằng bìa cứng lại với nhau bằng băng dính (tất nhiên là hữu hạn, khép kín, đơn giản). Rõ ràng là do sự kết nối linh hoạt ở mỗi cạnh, nên bất kỳ hai mặt kết nối nào cũng có thể được xoay tương đối với nhau xung quanh một cạnh chung, giống như các trang sách, chúng có thể… nếu chúng không được kết nối với các cạnh khác.

Khi các mặt được dán lại với nhau thành một khối đa diện, câu hỏi đặt ra: liệu có thể thay đổi và biến dạng khối đa diện một cách không liên tục để trong quá trình biến dạng, tất cả các mặt của nó không thay đổi và chỉ các góc khác thay đổi? Nếu một biến dạng như vậy xảy ra đối với một khối đa diện nhất định thì chúng ta gọi khối đa diện đó là linh hoạt, còn nếu không, chúng ta gọi nó là không linh hoạt.

Do đó, sự uốn cong của một khối đa diện, nếu có thể, gắn liền với sự thay đổi ở các góc khác. Và, mặc dù bản thân mỗi cặp cạnh liền kề với cạnh được tự do lựa chọn góc khác nhau của riêng mình, nhưng rất có thể sự tự do này bị lãng phí khi kết hợp với các cạnh khác. Có thể loại “lý luận hợp lý” này đóng vai trò là sự hỗ trợ của Euler cho giả thuyết rằng các khối đa diện khép kín là không linh hoạt.

Câu hỏi về khả năng uốn cong của các khối đa diện đơn giản đã được giải quyết chỉ hai thế kỷ sau Euler. Ở thời đại của chúng ta, chỉ mười năm trước, người ta đã phát hiện ra rằng về khối đa diện Euler đã đúng trong giả định của mình… và sai. Đúng bởi vì, như đã được thành lập vào năm 1975, “hầu hết” các khối đa diện đơn giản đều không linh hoạt. Tuy nhiên, “gần như tất cả” không có nghĩa là tất cả các khối đa diện, nhưng theo một nghĩa nào đó, chúng là “một tổ chức lớn áp đảo”. Hai năm sau, vào năm 1977, nhà hình học người Mỹ R. Connelly đã xây dựng những ví dụ đầu tiên về khối đa diện linh hoạt và từ đó bác bỏ giả thuyết của Euler (xem «Kvant», 1978, số 9, trang 14, cũng như trang đầu tiên và trang thứ tư của trang bìa số này).

Có thể việc phát hiện ra các khối đa diện có thể uốn cong dường như không gây ngạc nhiên cho ai đó, đặc biệt nếu anh ta nhớ lại cơ chế hoạt động của các nhạc cụ, chẳng hạn như đàn accordion có nút. Nhưng sự liên kết này không giảm đi ở đây. Thực tế là các cơ chế “hoạt động” nhờ vào sự tạo nếp của vật liệu tạo ra chúng. Nếu chúng ta mehani được lắp ráp từ các tấm rắn nối với nhau bằng bản lề cửa nhỏ thì sẽ không thể chơi nhạc cụ. Những cơ chế như vậy, rất dễ hiểu, không thể bị nén hay mở rộng.

Tuy nhiên, một khối đa diện uốn cong được cũng không phù hợp với cơ học, mặc dù vì một lý do khác. Thực tế là bộ sưu tập các khối đa diện có thể uốn cong được biết đến hiện nay có một đặc tính hơi bất ngờ: thể tích chứa trong khối đa diện không đổi trong quá trình uốn, tức là khối đa diện “không thở”. Một giả thuyết nảy sinh rằng điều này luôn đúng - thể tích này không thay đổi khi khối đa diện bị uốn cong.

Lưu ý thêm rằng, do định lý Cauchy, một khối đa diện linh hoạt không thể lồi.

Thật vậy, khả năng uốn cong của một khối đa diện nhất định có nghĩa là có những khối đa diện khác được dán lại với nhau từ cùng một mặt theo cùng một thứ tự, nhưng không bằng khối đa diện này do các góc khác hơi khác nhau một chút. Hơn nữa, nếu khối đa diện ban đầu là lồi thì khối đa diện khác chỉ có các góc khác nhau cũng phải lồi. Và cái này

mâu thuẫn với định lý Cauchy, theo đó hai đa giác lồi như vậy phải bằng nhau.

Bổ đề Cauchy về đa giác lồi

Để chứng minh định lý Cauchy, sẽ rất hữu ích khi xem xét cẩn thận cách mọi thứ hoạt động với đa giác. Không phải ngẫu nhiên mà tựa đề công trình của Cauchy về định lý đa giác lại có từ “đa giác”. Hãy tưởng tượng một đa giác phẳng được tạo thành từ các thanh có khớp nối bản lề ở hai đầu. Trong trường hợp hình tam giác, độ dài của các thanh xác định các góc giữa chúng (đặc điểm thứ ba của hình tam giác) và cấu trúc cứng nhắc. Chúng ta bắt gặp ứng dụng thực tế của thực tế hình học hiển nhiên này ở mọi bước: trong các kết cấu thanh chịu tải trọng đáng kể (đặt giàn, cần cẩu, sàn kết cấu, v.v.), các phần tử hình tam giác có mặt để đảm bảo độ cứng.

Trong trường hợp đa giác có số cạnh lớn, độ dài các cạnh không xác định các góc của nó và do đó, bản thân đa giác đó không xác định. Tuy nhiên, Cauchy đã thu hút sự chú ý đến một thực tế hóa ra lại rất cần thiết trong việc chứng minh định lý của ông.

Đặt $A = A_1A_2...A_n$ và $B = B_1B_2...B_n$ là $n$ -giác lồi và đặt $A_1A_2 = B_1B_2, ..., A_{n-1}A_n = B_{n-1}B_n, A_nA_1 = B_nB_1$ là. Chúng ta hãy gán dấu “+” hoặc “-” cho mỗi đỉnh $A_i$ của đa giác đầu tiên, tùy thuộc vào đó là $\angle A_i > \angle B_i$ hay $\angle A_i < \angle B_i$ . Nếu $\angle A_i = \angle B_i$ thì đỉnh $A_i$ vẫn không được đánh dấu. Trước khi chuyển sang bổ đề Cauchy, chúng ta lưu ý rằng các đa giác không bằng nhau có ít nhất bốn đỉnh được đánh dấu, mặt khác (rất dễ chứng minh) các đa giác $A$ và $B$ bằng nhau và không có đỉnh nào không được đánh dấu.

Bổ đề 1. Cho hai đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau.

Có các cặp góc không bằng nhau. Sau đó, khi đi qua các đỉnh của đa giác, hiệu các góc tương ứng đổi dấu ít nhất bốn lần.

Rõ ràng là số lần đổi dấu khi đi qua các đỉnh của đa giác phải là số chẵn và không bằng 0. Vì vậy, để chứng minh bổ đề cần chứng minh số lần đổi dấu không bằng hai. Hãy để chúng tôi trình bày ý tưởng của bằng chứng.

Giả sử số lần đổi dấu là hai. Sau đó, đa giác $A$ được chia thành hai đường đứt nét: một đường gãy $A_iA_{i+1}...A_j$ có các đỉnh được bù bằng dấu “+” và không có đỉnh nào được bù bằng dấu trừ; đường gãy còn lại - $A_jA_{j+1}...A_i$ , ngược lại, có các đỉnh được bù bằng dấu “-” và không có đỉnh nào được bù bằng dấu “+” (hình 4).

Do đó, đường gãy $A_iA_{i+1}...A_j$ có thể được lấy từ đường đứt nét $B_iB_{i+1}...B_j$ tương ứng của đa giác $B$ , làm tăng các góc của đa giác sau. Tiếp theo, mỗi cái đều hoàn hảo, do sự biến dạng của đường gãy như vậy nên hợp âm kết thúc phải tăng lên, tức là $A_iA_j > B_iB_j$ . (Tôi không xây dựng một bằng chứng về thực tế này

thật tẻ nhạt và chúng ta bỏ qua nó.)

Mặt khác, đường gãy thứ hai $A_jA_{j+1}$ của đa giác $A$ được lấy từ đường gãy tương ứng $B_jB_{j+1}$ của đa giác $B$ do giảm các góc. Trong trường hợp này, hợp âm cuối sẽ giảm. Vì vậy, mặt khác, $A_iA_j < B_iB_j$ . Hai bất đẳng thức trái ngược nhau cho thấy giả định đúng hai lần đổi dấu là không đúng. Do đó, có ít nhất bốn lần đổi dấu, đó là điều cần chứng minh.

Bổ đề 1, vừa được thảo luận, sẽ được yêu cầu để chứng minh định lý Cauchy, nhưng theo một phiên bản khác - đối với trường hợp đa giác lồi trên một hình cầu. Nó được xây dựng và chứng minh theo cách tương tự như trên: bạn chỉ cần làm rõ các khái niệm liên quan.

Định nghĩa đa giác cầu cũng tương tự như định nghĩa đa giác phẳng. Cần phải nhớ rằng, trước hết, cạnh của đa giác cầu là góc giữa các tiếp tuyến vẽ với hai cạnh tại điểm giao nhau của chúng, tức là tại đỉnh của đa giác. Rõ ràng, góc giữa các cạnh bằng góc tuyến tính của góc nhị diện tạo bởi các mặt phẳng của các đường tròn lớn tương ứng (hình 5). Thứ ba, đa giác cầu lồi là đa giác nằm trên mặt cầu ở một cạnh của mỗi đường tròn lớn chứa cạnh đối diện của đa giác của chúng ta.

Bổ đề cơ bản Cauchy

Giả sử hai đa giác thỏa mãn các điều kiện của định lý Cauchy thì không bằng nhau. Khi đó trong số các góc nhị diện tương ứng phải là các cặp không bằng nhau. Hãy đánh dấu cạnh của một trong các đa giác của chúng ta bằng dấu “+” hoặc dấu “—”, tùy thuộc vào góc nhị diện của cạnh này lớn hơn hay nhỏ hơn góc nhị diện tương ứng DF của đa giác. Tất nhiên, không phải tất cả các cạnh đều phải được đánh dấu, vì trong số các góc nhị diện tương ứng cũng có thể có các cặp góc bằng nhau.

Chúng ta hãy chọn một số đỉnh O của đa giác mà các cạnh được đánh dấu bằng dấu này hoặc cách tiếp cận khác và mô tả từ nó, cũng như từ tâm,

quả cầu $S$ . Trong trường hợp này, chúng ta lấy bán kính nhỏ sao cho hình cầu $S$ , đi qua các cạnh và mặt của khối đa diện tiến đến đỉnh trung tâm $O$ , không chạm vào bất kỳ cạnh và mặt nào khác của khối đa diện. Rõ ràng là các mặt của khối đa diện tạo thành một góc đa diện có đỉnh $O$ được cắt trên mặt cầu $S$ một đa giác lồi (hình cầu) $M$ có các góc bằng các góc nhị diện của khối đa diện. Nếu bạn vẽ một hình cầu $S'$ có cùng bán kính tại đỉnh tương ứng $O'$ của một khối đa diện khác, thì một đa giác $M'$ sẽ được cắt trên đó, các cạnh của nó bằng các cạnh tương ứng của đa giác $M$ . Sự bằng nhau của các cạnh tuân theo các điều kiện của định lý Cauchy: các mặt bằng nhau theo cặp phải hội tụ tại các đỉnh tương ứng của khối đa diện.

Đây là lúc Bổ đề 1 phát huy tác dụng. Chúng ta đã giả định rằng định lý duy nhất Cauchy là sai; điều này có nghĩa là ít nhất một cạnh được bù bằng dấu “+” hoặc “-”, và theo Bổ đề 1, nếu các cạnh lệch tiếp cận một đỉnh nào đó thì số lượng dấu thay đổi đối với các cạnh khi đi quanh đỉnh này ít nhất là 4.

Có vẻ như vẫn còn một chặng đường dài để đi từ nhận xét đơn giản này đến việc chứng minh định lý. Nhưng ở đây Cauchy tìm ra một động thái dí dỏm bất ngờ, sau đó việc chứng minh trở thành vấn đề kỹ thuật. Hóa ra tuyên bố sau đây là đúng.

Bổ đề 2. Cho một số cạnh của một khối đa diện lồi kín được bù bằng dấu + hoặc -. Chúng ta hãy chọn tất cả các đỉnh của khối đa diện mà ít nhất một cạnh lệch tiếp cận. Sau đó, trong số các đỉnh đã chọn, một đỉnh như vậy sẽ luôn được tìm thấy khi đi ngang qua đỉnh mà một cặp cạnh lân cận gặp và khi đi ngang qua mặt tương ứng và ngược lại (hình 7).

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\Gamma_n$ số mặt $n$ -giác giác của khối đa diện, $n \geqslant 3$ . Sau đó

$\Gamma = \Gamma_3 + \Gamma_4 + \Gamma_5 + \Gamma_6 + \dots$

(1)

Rõ ràng là khi đi qua $n$ -giác, số lần đổi dấu không quá $n$ , và nếu $n$ lẻ thì không quá $n-1$ . Đó là lý do tại sao

$N \leqslant 2\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 4\Gamma_5 + 6\Gamma_6 + 6\Gamma_7 + \dots$

(2)

Vì mỗi cạnh thuộc hai mặt nên

$2P = 3\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 5\Gamma_5 + 6\Gamma_6 + \dots$

(3)

Chúng ta hãy viết lại công thức Euler dưới dạng

$4B - 8 = 4P - 4\Gamma.$

(4)

Chúng ta hãy thay thế các tương ứng (3) và (1) thành (4):

$4B - 8 = 2(3\Gamma_3 + 5\Gamma_5 + \dots) - 2(2\Gamma_3 + 2\Gamma_4 + 2\Gamma_5 + \dots) = 2\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 6\Gamma_5 + \dots$

(5)

Theo (5), hệ số $\Gamma_n$ bằng $2(n-2)$ và do đó,

Teorema Aleksandrova
về sự đầy đủ

Khi công trình của Cauchy được xuất bản, mối quan tâm khoa học của các tác giả đã ở rất xa lĩnh vực này. Sau đó, các kết quả toàn cầu về lý thuyết đa giác đã thu được bằng cách biểu diễn thang hình học của Viện sĩ A. D. Aleksandrov. Năm 1939, A.D. Aleksandrov đã chứng minh một định lý về các điều kiện để một đa giác lồi có thể được dán lại với nhau từ một sự phát triển nhất định.

Chúng ta hãy nhìn vào hình 8, trên đó có thể dễ dàng nhận ra sự phát triển nổi tiếng của khối lập phương. Khó hơn nhiều khi thấy rằng sự phát triển được trình bày trên hình 9 cũng là sự phát triển của một khối lập phương - các đỉnh được đánh dấu giống hệt nhau trên hình xác định sự lắng đọng của các đỉnh và các cặp cạnh được dán (hình 9, 6). Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là các đa giác quét không nhất thiết phải trùng với các mặt của đa giác thu được từ nó. Trong trường hợp này, mặt của đa giác có thể được tạo thành từ một hoặc nhiều phần của đa giác phát triển khác nhau. Cũng lưu ý rằng không phải mọi đỉnh của đa giác được quét đều phải là đỉnh của đa giác; nó có thể được “ẩn” bên trong một cạnh hoặc bên trong một mặt của đa giác.

Chúng ta hãy thực hiện một sự phát triển tùy ý, nghĩa là lấy một số đa giác lồi được cắt ra khỏi giấy và cho biết chúng ta sẽ dán cạnh nào của mỗi đa giác đó vào cạnh nào của đa giác kia. Tất nhiên, các mặt được dán phải

có cùng độ dài. Chúng ta sẽ dán các đa giác theo hướng dẫn về thứ tự dán (trong trường hợp này được phép gộp các đa giác quét). Câu hỏi đặt ra: từ sự phát triển nào mà đa giác lồi có thể thu được theo cách này? Để làm điều này, phải đáp ứng hai điều kiện:

(I) đối với sự phát triển, công thức Euler đúng (B-P+G=2);
(II) tổng các góc phẳng được tạo thành trong quá trình dán ở một đỉnh không vượt quá 360°.

Ý nghĩa của định lý Aleksaidrov sẽ làm bạn ngạc nhiên vì sự đơn giản của nó: điều kiện (I) và (II) là cần và đủ để có thể dán một đa giác lồi từ các đa giác phát triển (có thể là cả đa giác phát triển).

Phát triển những ý tưởng làm cơ sở cho định lý này, A. D. Aleksaidrov đã xây dựng hình học bên trong của các bề mặt lồi - một trong những lý thuyết quan trọng nhất trong hình học hiện đại.

Hãy quay lại quá trình quét ở hình 9,a. Hơn nữa, không cần nhìn vào hình 9,b, sau khi kiểm tra sự thỏa mãn điều kiện của Aleksaidrov đối với nó, chúng ta có thể khẳng định rằng một số đa giác lồi có thể được dán lại với nhau từ quá trình phát triển này. Có bao nhiêu đa giác lồi khác nhau có thể được dán lại với nhau từ một mạng? Vì các mặt của đa giác không cố định nên định lý Cauchy không trả lời được câu hỏi này đáp số. A.D. Aleksaidrov chứng minh một định lý, một mặt, kế thừa định lý Cauchy, mặt khác, bổ sung hoàn hảo cho định lý về tính đủ của chính ông: nếu một đa giác lồi có thể được dán lại từ một sự phát triển thì chỉ có một.

Hơn nữa, từ sự phát triển này, không thể có được bất kỳ bề mặt lồi nào khác, không chỉ bề mặt đa giác mà còn cả bề mặt cong. Định lý thành công này của Aleksaidrov đã được sinh viên trẻ S.P. Olovyanshinkov* của ông thu được vào năm 1941.

*) Sergei Olovyanshinkov - người đoạt giải Olympic toán học đầu tiên (1934). Tệp đính kèm

A. D. Aleksaidrov.

Để khái quát hóa đầy đủ nhất định lý Cauchy cho trường hợp các bề mặt tùy ý, chứ không chỉ các bề mặt đa giác, câu hỏi này phải còn chưa được giải quyết trong một thời gian. Giả sử một bề mặt lồi kín tùy ý được làm bằng một vật liệu mỏng, dẻo nhưng không linh hoạt. Có thể, trong khi vẫn duy trì tính lồi, có thể thu được từ nó một bề mặt có hình dạng hình học khác không? Nếu bề mặt ban đầu là một đa giác lồi thì điều này là không thể - đây là trường hợp của định lý duy nhất Cauchy-Aleksaidrov-Olovyanshinkov.

Sự khái quát hóa cuối cùng của định lý Cauchy cho trường hợp các bề mặt tùy ý cũng được đưa ra vào năm 1949 bởi đại diện của trường Aleksaidrov, nhà hình học Liên Xô, viện sĩ A.V. Pogorelov. A.V. Pogorelov đã chứng minh rằng mọi bề mặt lồi kín đều không thể thoát được

Năm tháng đã để lại dấu ấn trên số phận khó khăn của chàng trai tài năng. Năm 1941, ông tốt nghiệp Đại học Leningrad và vào học cao học dưới sự hướng dẫn của A.D. Aleksaidrov. Nhưng ông sớm ra mặt trận và bị thương vào mùa thu năm 1941. Trong bệnh viện, ông viết một bài báo tổng quát hóa định lý Cauchy. Trở lại mặt trận, S.P. Olovyanshinkov định cư vào tháng 12 năm 1941 trên “Nevsky Piglet” - đầu cầu nổi tiếng với những trận chiến đẫm máu.