Bài toán M1101—M1105; F1113—F1117

29

Bài toán

M1101—M1105, F1113—F1117

M1101. Trên các cạnh AB và AC của tam giác đều ABC còn có các điểm D và E tương ứng sao cho AD=BC=EC và tam giác ADE là đều. Góc ở đỉnh A có thể là bao nhiêu?

V. Chiriac (Romania)

M1102. Chứng minh rằng có n số tự nhiên khác nhau có tổng các lập phương bằng lập phương của một số tự nhiên nếu a) n=3, 6) n=4, c) n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2.

L. D. Kurlyandchik

M1103. a) Trên một mặt phẳng vô hạn được chia thành các ô vuông, có một số lượng nhất định - có lẽ là vô hạn - các hình chữ nhật cỡ 1x2 được tô màu đen sao cho không có hai hình chữ nhật màu đen nào có điểm chung (sau đây gọi là các đỉnh). Chứng minh rằng phần còn lại của mặt phẳng có thể được thay thế bằng các hình chữ nhật này.

6)* Cho có một số hình chữ nhật khép kín có kích thước m×n trên mặt phẳng ca rô không có điểm chung. Chứng minh rằng nếu mn là số chẵn thì phần còn lại của mặt phẳng có thể được thay thế bằng các hình chữ nhật có kích thước 1x2, nhưng nếu mn là số lẻ thì điều này không phải lúc nào cũng thực hiện được.

M. Khovanov, học sinh lớp 10

M1104. Trong tứ diện ABCD, các mặt ABC và BCD vuông góc với nhau, ∠BAC=90°. Chứng minh rằng từ các đoạn có độ dài bằng tích độ dài các cạnh đối diện của tứ diện có thể tạo thành một tam giác vuông.

V. N. Dubrovsky

M1105. Sau vài lần cắt hình chữ nhật, các bề mặt của đa giác lồi đã được biến thành một mặt phẳng. Kết quả là một đa giác mà người ta biết điểm nào trên ranh giới của nó được “dán lại với nhau”, nghĩa là chúng tương ứng với cùng một điểm trên bề mặt của đa giác. Đa giác ban đầu trông như thế nào nếu khi cắt, kết quả là a) một hình chữ nhật có cạnh 1 và √3,
6) một tam giác đều có một góc 120° và các điểm trên mỗi cạnh đối xứng qua điểm giữa của nó được dán lại với nhau.

N. P. Dolbili, M. I. Shtogrin

F1113. Một quả cầu bán kính R có thể quay tự do trên một trục nằm ngang cố định OO′. Dưới quả bóng, ấn vào nó, một cuộn băng cứng thô chuyển động, uốn cong dưới dạng nửa hình trụ có bán kính R (hình 1). Tốc độ vành đai v hướng theo phương ngang và vuông góc với trục OO′. Tốc độ quay được đặt của quả bóng là bao nhiêu?

L. G. Markovich

30

F1114. Diễn viên đóng thế rơi từ độ cao $H=50$ m. Một sợi dây cao su được gắn vào người anh ta, đầu thứ hai của dây được cố định ở điểm xuất phát. Chiều dài và độ cứng của shura được chọn sao cho tốc độ ở gần mặt đất giảm xuống bằng 0. Sau khi hết rung động, diễn viên đóng thế bị treo ở độ cao $h=10$ m so với mặt đất. Tốc độ tối đa của diễn viên đóng thế khi rơi là bao nhiêu? Bỏ qua sự tuân thủ không khí.

D. V. Pavlov

F1115. Một bình kín chứa đầy khí được chia thành hai phần bằng một piston nằm ngang không thể xuyên thủng; khối lượng của bình $m$, khối lượng của piston $M$. Đầu tiên, tàu sẽ kết thúc trên giá đỡ. Sau đó giá đỡ chỉ bị đánh bật ra khỏi gầm tàu. Tàu bắt đầu chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu? Ma sát giữa thành bình và pít-tông.

S. F. Kim, A. I. Latinin

F1116. Hai pipet hóa học giống hệt nhau chứa đầy nước ở cùng mức: một - lạnh, một - nóng. Các pipet được làm trống và các giọt được đếm. Pipet nào sẽ tạo ra nhiều giọt nhất?

A. I. Buzdin

F1117. Ánh sáng từ một nguồn chính xác $A$ được chiếu qua bức tường mờ bằng đèn - một que mỏng trong suốt có bán kính tiết diện $R$ (hình 2); phần bên trong của thanh có bán kính $r(R-r\ll r)$ được làm bằng vật liệu có chiết suất $n_1$, và lớp vỏ bên ngoài được làm bằng vật liệu có chiết suất $n_2$ ($n_2<n_1$). Xác định đường kính của điểm sáng trên màn hình nằm cách đầu bên phải của đèn một khoảng $L$. Nguồn sáng nằm ở trung tâm của đầu bên trái của đèn.

Kích thước của điểm sẽ thay đổi như thế nào nếu nguồn bị loại bỏ dọc theo trục ánh sáng ở khoảng cách $l$ tính từ điểm cuối?

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

Problems

M1101—M1105, P1113—P1117

M1101. There are points $D$ and $E$ on the equal sides $AB$ and $AC$ (respectively) of the isoceles triangle $ABC$ such that $AD=BC=EC$ and the triangle $ADE$ is isosceles. What can be said about $\angle A$?

V. Chiriac (Rumania)

M1102. Prove that there exist $n$ distinct natural numbers whose sum of cubes is the cube of a natural number, if a) $n=3$, b) $n=4$, c) $n$ is any natural number greater than 2.

L. D. Kurlyandchik

M1103. In the infinite plane, divided into equal little squares, there is a certain quantity (perhaps infinite) of black $1\times 2$ rectangles without common sides or vertices.