Lời giải bất đẳng thức không nghiêm ngặt

59

Lời giải bất đẳng thức không nghiêm ngặt

I. G. GABOVICH, P. I. GORNSTEIN

Bài viết này sẽ thảo luận về lời giải của bất đẳng thức không nghiêm ngặt $f(x) \geq 0$, hay nói đúng hơn là lời giải này khác với lời giải của bất đẳng thức không nghiêm ngặt tương ứng $f(x) > 0$ như thế nào.

Theo quan điểm đa phần, tình huống rất đơn giản: nghiệm của bất đẳng thức $f(x) > 0$ là hợp của một số khoảng hữu hạn hoặc vô hạn*, và để thu được lời giải của bất đẳng thức $f(x) \geq 0$, bạn cần cộng các đầu của chúng vào các khoảng này.

Trong một số trường hợp, quy tắc này cho kết quả chính xác. Ví dụ, điều này sẽ xảy ra trong trường hợp bất đẳng thức tuyến tính:

*) Nói đúng ra, điều này đúng nếu $f(x)$ là một hàm liên tục được xác định trên tất cả các dòng hoặc trên một số liên của các khoảng.

giải bất đẳng thức không nghiêm ngặt
$ax + b > 0$

tập $(-b/a; \infty)$ xảy ra và nghiệm của bất đẳng thức không nghiêm ngặt
$ax + b \geq 0$

là tập hợp $[ -b/a; \infty)$, thu được từ tập hợp trước đó bằng cách thêm phần cuối của khoảng $-b/a$. Nhưng trong trường hợp bất đẳng thức bậc hai, quy tắc của chúng ta trở nên sai sót. Ví dụ đơn giản nhất: giải bất đẳng thức
$-x^2 > 0$

sẽ có một tập rỗng và nghiệm của bất đẳng thức
$-x^2 \geq 0$

không phải là một tập rỗng như người ta nghĩ, mà là một tập hợp gồm một điểm $x = 0$. Mặt khác, điều này chỉ xảy ra nếu biệt thức của tam thức bình phương ở vế trái của bất đẳng thức bằng 0; ví dụ: nếu tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ có hai lần

60

Các nghiệm nhân $x_1$ và $x_2$ ($x_1 < x_2$) và $a > 0$, sau đó giải bất đẳng thức
$$ax^2 + bx + c > 0$$
quá trình phi thống nhất $(-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$ sẽ xảy ra và giải pháp cho sự bất bình đẳng
$$ax^2 + bx + c \geq 0$$
— thống nhất $(-\infty; x_1] \cup [x_2; \infty)$.

Có chuyện gì vậy? Nếu tại các điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm trên trục $Ox$ mà hàm số $f(x)$ đổi dấu, tức là đồ thị của nó đi từ một phía của trục $Ox$ sang một cạnh khác thì “quy tắc” nêu trên là đúng; ví dụ: đối với hàm $f(x)$, đồ thị của hàm này được hiển thị trong hình 1, nghiệm của bất đẳng thức $f(x) > 0$ là giải tích $(a; b) \cup (c; d)$ và nghiệm của bất đẳng thức $f(x) \geq 0$ là giải bất đẳng thức $[a, b] \cup [c, d]$. Đối với hàm có đồ thị được hiển thị trên hình 2, bất đẳng thức $f(x) > 0$ có lời giải $(a, b)$ và bất đẳng thức $f(x) \geq 0$ có lời giải $[a, b] \cup \{c\}$! Một ví dụ khác: hàm $y = f(x)$ được xác định tại $x \geq a$ và có đồ thị như trong hình 3. Khi đó bất đẳng thức $f(x) > 0$ có lời giải $(b, c)$, và bất đẳng thức $f(x) \geq 0$ có lời giải $\{a\} \cup [b, c]$!

Nếu $A$ là hợp của các khoảng thì tập hợp thu được từ $A$ bằng cách cộng các đầu của khoảng vào tập $A$ được gọi là tập đóng của tập $A$ và được ký hiệu là $\bar{A}$. Những điều trên có thể được đưa ra dưới dạng sau: nếu $A$ là lời giải của $f(x) > 0$ bất đẳng thức và $B$ là lời giải của $f(x) \geq 0$ bất đẳng thức, thì $B$ chứa $\bar{A}$, nhưng có thể không trùng với nó.

Làm thế nào người ta có thể giải bất đẳng thức esterome $f(x) \geq 0$ khi biết chính xác lời giải các bất đẳng thức $f(x) > 0$?

Rất đơn giản: bạn cần thêm vào lời giải các bất đẳng thức nghiêm ngặt $f(x) > 0$ tất cả các phương trình lời giải $f(x) = 0$.

Đối với nhận xét rất quan trọng này, chúng tôi sẽ bổ sung thêm một nhận xét rất quan trọng nữa, có thể hữu ích trong thực tế: nghiệm của bất đẳng thức $f(x)g(x) \geq 0$ là sự thống nhất lời giải của hệ bất đẳng thức
$$\begin{cases} f(x) \geq 0, \\ g(x) \geq 0; \end{cases}$$

(Tương tự như vậy đối với sự bất bình đẳng $f(x)g(x) \leq 0$.) Bây giờ chúng ta hãy xem một số ví dụ (một số ví dụ được lấy từ các kỳ thi cạnh tranh của các năm khác nhau).

Ví dụ 1. Giải bất đẳng thức
$$\sqrt{-25x^2+15x-2}(8x^2-6x+1) \geq 0.$$

Hãy giải bốn bất phương trình:
$$\sqrt{-25x^2+15x-2} \geq 0;$$
lời giải: $\frac{1}{5} \leq x \leq \frac{2}{5}$.
$$\sqrt{-25x^2+15x-2} \leq 0;$$
lời giải: $x = \frac{1}{5}$ và $x = \frac{2}{5}$.
$$8x^2-6x+1 \geq 0;$$
lời giải: $x \leq \frac{1}{4}$ và $x \geq \frac{1}{2}$.
$$8x^2-6x+1 \leq 0;$$
lời giải: $\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{2}$.

Sau khi ký hiệu bốn tập hợp tương ứng tìm được bằng $A, B, C, D$, chúng ta có thể nói rằng nghiệm của bất đẳng thức ban đầu là tập hợp $(A \cap C) \cup (B \cap D)$. Thực hiện các thao tác trên, ta được

Đáp số: $$\left[ \frac{1}{5}; \frac{1}{4} \right] \cup \left\{ \frac{2}{5} \right\}.$$

Ví dụ 2. Giải bất đẳng thức
$$\sqrt{x^2-7,5x+14}\log_2|x-3| \leq 0.$$

(Về phần kết xem trang 66)