Các phép biến đổi hình học

50

Toán 8-10

Các phép biến đổi hình học

Phần I: Chuyển động

Ghi chú được xuất bản được gửi đến các học sinh lớp tám, nhưng chắc chắn nó sẽ hữu ích cho những học sinh lớp chín và mười đã sẵn sàng thi đấu tại Thế vận hội hoặc lên xe buýt.

E.G.GOTMAN

Các phép biến đổi của mặt phẳng - chuyển động và độ tương tự - trong nhiều trường hợp cho phép bạn giải quyết hình học bài toán một cách kinh tế và tinh tế. Trong hai năm qua, «Kvant» đã đề cập đến chủ đề này hai lần (xem số 12 năm 1986 và số 8 năm 1987). Tất nhiên, chúng tôi không cho rằng người đọc đã quen thuộc với những bài viết này và trước tiên sẽ trình bày thông tin lý thuyết cần thiết cho lời giải bài toán.

Chúng ta hãy nhớ lại các định nghĩa cơ bản.

Chuyển động là một phép biến đổi của mặt phẳng trong đó khoảng cách giữa ảnh của hai điểm bất kỳ bằng khoảng cách giữa hai điểm đó. Chúng ta hãy nêu bật ba loại chuyển động đặc biệt.

Phép quay quanh một điểm O với một góc α là một phép biến đổi trong đó điểm O biến thành chính nó và một điểm A tùy ý, khác với O, biến thành một điểm A’ sao cho OA’=OA và góc giữa OA và tia OA’ không theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bằng α. Bằng cách nhấn mạnh rằng lượt của chúng ta luôn là lượt ngược chiều kim đồng hồ; Giả sử vòng quay 30° theo chiều kim đồng hồ đối với chúng ta là vòng quay 330°.

Truyền song song sang vectơ α là một phép biến đổi trong đó một điểm A tùy ý đi vào

51

điểm $A'$ sao cho vectơ $\overline{AA'}$ bằng $\bar{a}$.

Đối xứng cơ bản với trục $l$ là một phép biến đổi trong đó điểm tùy ý $A$ đi đến điểm $A'$, đối xứng $A$ so với đường thẳng $l$. Các điểm của đường thẳng $l$ không chuyển động trong quá trình biến đổi này.

Rõ ràng, phép quay quanh một điểm, sự tịnh tiến song song và tính đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa các điểm và do đó là chuyển động. Chúng ta không coi đối xứng trung tâm là một loại chuyển động riêng biệt: đó là trường hợp đặc biệt của phép quay - phép quay quanh đối xứng một góc $180^\circ$.

Chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau: $R_O^a$ - xoay quanh điểm $O$ theo một góc $\alpha$, $T_a$ - dịch song song sang vectơ $a$, $S_l$ - đối xứng trục với trục $l$. Bằng $E$ chúng ta biểu thị một phép biến đổi điểm (trong đó tất cả các điểm được biến đổi thành chính nó). Ví dụ: dịch song song sang vectơ 0 là phép biến đổi hành động điểm: $T_0 = E$. Tương tự như vậy, xoay (xung quanh bất kỳ điểm nào) theo $360^\circ$ sẽ trả tất cả các điểm về vị trí ban đầu: $R_O^{360^\circ} = E$. Hãy nói thêm rằng nó luôn là $R_O^{a+360^\circ} = R_O^a$, vì vậy nên đặt các góc quay với độ chính xác là $360^\circ$. Thông thường, ký hiệu $R_O^a$ giả định $0 \leqslant \alpha < 360^\circ$.

Rõ ràng là với bất kỳ chuyển động đối xứng nào, các tia thẳng hàng sẽ biến thành các tia đồng thời. Cũng rõ ràng rằng đối với bất kỳ sự truyền song song nào, một tia tùy ý sẽ biến đổi thành một tia đồng thời với nó. Tình hình sẽ khác khi rẽ.

Định lý 1. Khi quay, góc tạo bởi một tia bất kỳ và ảnh của nó bằng góc quay.

Bằng chứng. Trong trường hợp cụ thể khi điểm bắt đầu của một tia cho trước trùng với tâm $O$ của phép quay, phát biểu này là hiển nhiên. Nếu điểm bắt đầu của một tia cho trước $k$ khác với $O$ thì từ điểm $O$ chúng ta vẽ một tia $h$, đồng thời với tia $k$ (hình 1). Vì bất kỳ chuyển động nào cũng biến đổi các tia đồng thời thành các tia đồng thời nên hình ảnh của các tia $k'$ và $h'$ $k$ và $h$ cũng là

Hình 1.

đồng đạo diễn. Do đó, góc giữa $k$ và $k'$ bằng góc giữa $h$ và $h'$, tức là bằng góc quay.

Định lý đơn giản này có thể được sử dụng một cách hiệu quả cho lời giải bài toán.

Bài tập

1. Trên các cạnh $AC$ và $BC$ của tam giác $ABC$ tất cả các tam giác đều $ACB_1$ và $BCA_1$ đều được dựng. Chứng minh rằng các đoạn $AA_1$ và $BB_1$ bằng nhau. Tìm góc giữa các đường thẳng $AA_1$ và $BB_1$.

Gợi ý. Đảm bảo rằng bằng cách xoay vectơ điểm $C$ theo $60^\circ$ đoạn $B_1B$ có thể được kết hợp với đoạn $AA_1$ (tam giác $ABC$ được coi là hướng dương *).

2. Trên các cạnh $AC$ và $BC$ của tam giác $ABC$, tất cả các hình vuông $ACA_1A_2$ và $BCB_1B_2$ của nó đều được dựng. Chứng minh rằng a) các đoạn $AB_1$ và $A_1B$ bằng nhau và vuông góc; b) tâm của các hình vuông dựng được và trung điểm của các đoạn $AB$ và $A_1B_1$ là các đỉnh của tam giác $A'B'C'$. Nếu không thì

*) Về mặt danh nghĩa, tam giác $ABC$ được coi là có hướng dương nếu đường truyền các đỉnh của nó theo thứ tự $A, B, C$ xảy ra ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại có hướng âm. (Điều đáng chú ý là các hình tam giác $ABC$ và $ACB$, không khác nhau về mặt hình học, được định hướng theo hướng ngược lại.)

53

theo số lượng điểm cố định: khi được truyền song song sang một vectơ khác 0, tất cả các điểm đều thay đổi vị trí, tức là không có điểm cố định; với một phép quay khác 0 thì chỉ có một điểm cố định - tâm quay. Phép biến đổi đồng nhất làm cho tất cả các điểm trên mặt phẳng cố định.

Thành phần chuyển động

Bản chất không tầm thường của Định lý 2 thường thể hiện nhất trong tình huống xem xét chuyển động loại một, từ cách xây dựng mà không rõ đó là chuyển động quay hay chuyển động song song. Một ví dụ về chuyển động như vậy là sự kết hợp của hai hoặc nhiều chuyển động thuộc loại thứ nhất.

Thành phần của hai phép biến đổi được gọi là phép biến đổi thu được nếu bạn áp dụng phép biến đổi đầu tiên lần đầu tiên, sau đó là phép biến đổi thứ hai. Thành phần của phép biến đổi $F$ và $G$ được biểu thị bằng ký hiệu $G \circ F$. (Do đó, phép biến đổi $G \circ F$ bao gồm việc áp dụng $F$ trước rồi đến $G$; thứ tự ký hiệu này được chứng minh bằng thực tế là nếu $A$ là một điểm tùy ý thì $G \circ F(A) = G(F(A))$.) Rõ ràng, sự kết hợp của hai chuyển động loại một là chuyển động loại một. Theo quan điểm này, một hệ quả không mong muốn xuất hiện từ Định lý 2.

Hệ quả 1. Thành phần của hai phép quay là phép quay, phép dịch song song hoặc phép biến đổi giống hệt nhau.

Chúng ta sẽ xác định rõ tuyên bố này bằng cách chỉ ra khi nào khả năng nào trong ba khả năng này được thực hiện.

Hình 3.

Định lý 3. Giả sử $R_{a_1}^{a_1} u R_{a_2}^{a_2}$ là hai phép quay, $0 < a_1 < 360^\circ$ và $0 < a_2 < 360^\circ$, và gọi $F = R_{a_2}^{a_2} \circ R_{a_1}^{a_1}$ là thành phần của chúng. 1) Phép biến đổi $F$ giống hệt nhau khi và chỉ khi $O_1 = O_2$ và $a_1 + a_2 = 360^\circ$. 2) Nếu $a_1 + a_2 = 360^\circ$ nhưng $O_1 \neq O_2$ thì $F$ là truyền song song. 3) Nếu $a_1 + a_2 \neq 360^\circ$ thì $F$ là phép quay qua một góc $a_1 + a_2$ quanh một điểm nào đó.

Chúng tôi để lại việc chứng minh định lý này cho người đọc, giới hạn ở việc mô tả cách xây dựng tâm $O$ của phép quay thu được trong trường hợp 3).

Nếu $O_1 = O_2$ thì $O$ giống với $O_1$ và $O_2$. Hãy để $O_1 \neq O_2$. Chúng ta hãy lợi dụng thực tế rằng $O$ là một điểm cố định của bố cục $F$. Hãy để $R_{a_1}^{a_1}(O) = O'$; sau đó $R_{a_2}^{a_2}(O') = O$ (hình 3). Theo đó, $O_1 O' = O_1 O$ và $O_2 O' = O_2 O$, do đó các điểm $O$ và $O'$ đối xứng với đường thẳng tương đối $O_1 O_2$. Xét rằng $\angle OO_1 O' = a_1$ và $\angle O' O_2 O = a_2$, chúng ta thu được kết quả sau. Nếu $O_1 \neq O_2$ và $a_1 + a_2 < 360^\circ$ thì tam giác $OO_1 O_2$ có hướng khác nhau và $\angle OO_1 O_2 = 180^\circ - \frac{a_1}{2}$, $\angle O_1 O_2 O = 180^\circ - \frac{a_2}{2}$.

Bài tập 3. Chứng minh thành phần của phép tịnh tiến song song và phép quay là phép quay cùng một góc. Tìm tâm của vòng quay này.

4. Chứng minh rằng tổ hợp của một số chẵn trục đối xứng là một phép tịnh tiến song song, một phép quay hoặc một phép biến đổi giống hệt nhau.

Như chúng ta đã thấy, thành phần của hai phép quay chỉ là một phép biến đổi thực sự nếu tâm của các phép quay trùng nhau. Hóa ra thành phần của ba phép quay có thể là cùng một phép biến đổi ngay cả trong trường hợp tâm của các phép quay khác nhau. Ví dụ: nếu $ABC$ là một tam giác đều có hướng âm thì $R_{C}^{120^\circ} \circ (R_{B}^{120^\circ} \circ R_{A}^{120^\circ}) = R_{C}^{120^\circ} \circ R_{C}^{240^\circ} = \angle R_{C}^{360^\circ} = E$.

Hãy tự rút ra các phát biểu sau đây từ Định lý 3: