Bài toán M1146—M1150; F1153—F1157

34

Nhiệm vụ

M1146—M1150, F1153—F1157

M1146. Điểm $K$ là trung điểm của cạnh $AB$ của tam giác đều $ABC$. Ở các cạnh $AC$ và $BC$, các điểm $M$ và $N$ được lấy sao cho $\angle MKN=60^\circ$. Chứng minh rằng chu vi tam giác $MCN$ bằng nửa chu vi tam giác $ABC$.

E. G. Gotman

M1147. Một số điểm được đưa ra, được kết nối bằng các đoạn của hai chuỗi: một số cặp điểm - bằng đoạn đầu, một số điểm khác - bằng sơn. Biết rằng trong một đường đi khép kín gồm nhiều đoạn thì số đoạn đẹp là chẵn. Chứng minh rằng tất cả các điểm có thể được chia thành hai tập hợp sao cho mỗi đoạn màu kết nối các điểm từ các tập hợp khác nhau và mỗi đoạn màu xanh kết nối các điểm từ cùng một tập hợp.

M1148. Chứng minh rằng với số không nguyên $a>1$ (và $a\neq \sqrt[p]{q}$, trong đó $p$ và $q$ là số tự nhiên) và số tự nhiên $n$ thì đẳng thức đúng

$$[\log_a 2]+[\log_a 3]+...+[\log_a n]+[a]+[a^2]+...+[a^k]=nk,$$

trong đó $k=[\log_a n]$ ([x] là phần nguyên của số $x$).

R. V. Alekseev, L. D. Kurlyandchik

M1149. Hai vòng $p, q$ được cho trên mặt phẳng với các đỉnh lần lượt tại các điểm $P$ và $Q$. Hai vòng tròn—một đường tròn có tâm ở mặt trăng $p$, đi qua điểm $P$ và đường còn lại có tâm ở mặt trăng $q$, đi qua $Q$—chạm vào nhau từ bên ngoài tại điểm $M$. Tìm tập hợp điểm $M$.

V. V. Shabunin

M1150. Chứng minh rằng với mọi số dương $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{2(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)} \leq \frac{a_1}{a_2+a_3} + \frac{a_2}{a_3+a_4} +...+\frac{a_n}{a_1+a_2}.$$

E. G. Moiseev, học sinh lớp 10

F1153. Dung dịch betan lỏng được đổ vào thùng xe ben lên trên. Ước tính tỷ lệ dung môi sẽ còn lại trong cơ thể sau khi phanh gấp. Giả sử rằng bạn hiểu rõ về hiện tượng này, có thể đặt các đại lượng cần thiết cho lời giải, chọn các giá trị số đủ hợp lý của chúng và thu được kết quả bằng số.

G. V. Meledin

F1154. Hai khối lập phương giống nhau có khối lượng $m$ mỗi khối nằm trên một mặt bàn nằm ngang nhẵn. Một trong những chiếc cốc được dán vào bàn (hình 1). Một khối lập phương được nhấc lên khỏi bàn nếu tác dụng một lực ngang $F$ vào nó. Giữa các cốc có một lò xo chống trượt có độ cứng $k$. Chiếc cốc lỏng có tốc độ $v$. Các khối sẽ bay ra xa nhau với tốc độ bao nhiêu sau va chạm?

G. V. Fedogovich