Bề mặt chất lỏng tích điện

2

ĐÃ TÍNH PHÍ
BỀ MẶT CHẤT LỎNG

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. SHIKIN

Ai trong chúng ta chưa từng quan sát thấy những gợn sóng trên mặt hồ hay “sóng” trong ly… Những kích thích này vô tình phát sinh (do một cơn gió thổi, do một lực đẩy yếu), dần dần biến mất - bề mặt tự do của chất lỏng trở lại trạng thái cân bằng. Nói cách khác, trạng thái cân bằng của bề mặt tự do là ổn định. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Trong một số trường hợp thú vị, biên độ của các dao động nhỏ xảy ra ngẫu nhiên tăng tự phát theo thời gian. Trạng thái như vậy của một hệ động lực (bề mặt tự do của chất lỏng là trường hợp đặc biệt của hệ) được gọi là không ổn định. Nghiên cứu chi tiết về sự phát triển của tính không ổn định là rất thú vị từ quan điểm tìm hiểu tính chất vật lý của hiện tượng cơ bản này. Hóa ra các quá trình xảy ra trong các hệ thống khác nhau phần lớn là giống nhau. Trong bài này chúng ta sẽ xem xét các loại mất ổn định nổi tiếng nhất của bề mặt tự do của chất lỏng.

I. Cơ hội đơn giản nhất để theo dõi sự phát triển tính không ổn định của bề mặt tự do của chất lỏng được cung cấp bằng cách quan sát dòng nước chảy từ vòi nước hoặc tốt hơn là từ một pipet mỏng. Sự không ổn định ở đây thể hiện ở chỗ bề mặt hình trụ nhẵn ban đầu của tia ở một khoảng cách nào đó so với mép của pipet sẽ trở thành “gợn sóng”, và thậm chí thấp hơn nó sẽ vỡ thành những giọt riêng biệt. Một ví dụ về hành vi phản lực như vậy là ở hình 1.

Bản chất của hiện tượng này đã được hiểu vào cuối thế kỷ này nhờ công trình của nhà vật lý nổi tiếng người Anh Lord Rayleigh. Sự phân hủy của lớp vảy xảy ra khi năng lượng của bề mặt căng của xi lanh lỏng $W_\pi$ hóa ra lớn hơn năng lượng $W_\kappa$ của những giọt có thể hình thành từ nó:

$$W_\pi > W_\kappa.$$ (*)

Trong quá trình “chia” tia thành các giọt, lực căng bề mặt đóng vai trò quyết định. Ngoài các lực này, lực hấp dẫn còn liên quan đến bài toán khi tia chảy ra khỏi lỗ. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng hướng dọc theo bề mặt của tia và do đó không tham gia tích cực vào sự phát triển mất ổn định (tình huống thay đổi nếu ranh giới vuông góc với hướng của lực hấp dẫn; chúng ta sẽ nói về trường hợp này sau).

Vì vậy, khoảng trống của hình trụ không được bù bằng $l$, và bán kính của nó là $r_\pi$. Trong trường hợp này, năng lượng bề mặt của hình trụ là

$$W_\pi = 2\pi r_\pi l\sigma,$$

trong đó $\sigma$ là hệ số căng bề mặt. Nếu hình trụ vỡ thành $n$ những giọt gần giống nhau có bán kính $r_\kappa$, thì năng lượng bề mặt của toàn bộ thể tích của những giọt này bằng

$$W_\kappa = 4\pi r_\kappa^2 n\sigma.$$

Tổng thể tích của các giọt bằng thể tích của hình trụ (toàn bộ thể tích chất lỏng sẽ được bảo toàn). Từ điều kiện này, chúng ta có thể tìm thấy mối liên hệ giữa độ rơi và bán kính của hình trụ:

$$\pi r_\pi^2 l = \frac{4}{3} \pi r_\pi^3 n,$$

do đó bất đẳng thức (*) được thỏa mãn khi

$$r_\pi l > 2n \left(\frac{3}{4} r_\pi^2 \frac{l}{n}\right)^{2/3},$$

3

t. đ. hình trụ trở nên không ổn định nếu chiều dài của nó lớn hơn bán kính $r_\pi$ vài lần:

$$\frac{l}{n} > \frac{9}{2} r_\pi.$$

Tại $n=1$ điều kiện này được thỏa mãn cho $l > 4,5$ $r_\pi$.

Một sự xem xét chính xác hơn, sử dụng Rayleigh logic, cho thấy rằng các sự kiện trong một bài toán nhất định phát triển như sau. Trên bề mặt của một ống trụ chất lỏng nhẵn rơi xuống từ lỗ pipet, xuất hiện những dao động yếu vì nhiều lý do ngẫu nhiên. Các bước sóng $\lambda$ tương ứng với những rung động này có thể khác nhau. Nếu $\lambda$ nhỏ hơn một giá trị tới hạn nhất định $\lambda^*$ ($\lambda < \lambda^*$), các dao động sẽ bị tắt dần - chúng phát sinh một cách tự phát và nhanh chóng tắt đi. Tuy nhiên, các dao động “sóng dài” - từ $\lambda > \lambda^*$ - phát sinh theo hướng tỏa tròn, bắt đầu tăng biên độ của chúng. Bước sóng tới hạn, chia toàn bộ tập hợp các dao động có thể thành hai loại khác nhau về chất - ổn định và không ổn định, hóa ra bằng $\lambda^* = 2\pi r_\pi$.

Giá trị này lớn hơn một chút so với giá trị $\lambda^* = 4,5r_\pi$ thu được nhờ sự trợ giúp của các phép tính cơ bản của chúng tôi, nhưng nó tuân theo các nguyên tắc vật lý tương tự về sự xuất hiện của sự mất ổn định. Tại thời điểm biên độ dao động tăng dần tương đương với bán kính của hình trụ chất lỏng, hình trụ bắt đầu tan rã thành từng giọt riêng lẻ. Thời gian phát triển sự mất ổn định có thể được ước tính dễ dàng bằng cách biết tốc độ dòng chất lỏng ra khỏi pipet và đo chiều dài của phần không được thay thế của cột chất lỏng.

II. Sự phân hủy của tia chất lỏng có thể được tăng tốc đáng kể bằng cách đưa thêm lực có nguồn gốc điện vào bài toán.

Nếu có các hạt tích điện giống hệt nhau trong chất lỏng, do lực đẩy Coulomb, chúng sẽ tích tụ ở “đỉnh” của hough, để lại các “thung lũng” của nó (hình 2). Sự phân bố điện tích bề mặt không đồng đều như vậy càng làm mất ổn định tình hình, đẩy nhanh quá trình phát triển mất ổn định.

Việc đưa điện tích vào tia được thực hiện theo sơ đồ ở hình 3. Nguồn điện áp cao $U$ bao gồm giữa thể tích chất lỏng làm đầy bình chứa và bề mặt dẫn điện hình trụ bao phủ tia tới. Kết quả là, toàn bộ cột chất lỏng cho đến ranh giới phân rã của nó thành các giọt sẽ chịu tác động của điện trường đối xứng hướng tâm, có xu hướng phá vỡ tia. Tại sao

Hình 1. Một dòng nước chảy ra từ pipet (đường kính 1,1 mm).
Hình 2. Lực đẩy Coulomb kích thích sự mất ổn định của tia.
Hình 3. Sơ đồ thí nghiệm kích thích sự mất ổn định của tia điện trường.

5

phân rã hoặc biên độ của chúng bắt đầu tăng - phụ thuộc vào sự tương ứng của bề mặt với năng lượng của hạt nhân giọt nước và năng lượng tương tác Coulomb của các proton. Sự khác biệt về bản chất của lực hạt nhân và lực Coulomb dẫn đến thực tế là khi số thứ tự của hạt nhân trong bảng tuần hoàn tăng lên (với sự tăng số lượng proton), năng lượng tương tác điện giữa giọt nước và hạt nhân là lực căng. Kết quả là, có một số lượng tới hạn nhất định của nguyên tố trong hệ thống tuần hoàn của Mendeleev, bắt đầu từ đó hạt nhân trở nên không ổn định - dưới ảnh hưởng của bề mặt của quá trình Coulomb, sự vỡ của hạt nhân nhỏ, tức là phân hạch hạt nhân.

Lý thuyết của Frenkel, Bohr, Wheeler và những cải tiến tiếp theo của nó giúp người ta có thể tìm ra con số tới hạn này - nó tương ứng với vị trí của uranium trong bảng tuần hoàn.

Công thức cổ điển xác định vùng ổn định của một giọt hình cầu chịu tải được Lord Rayleigh đưa ra vào năm 1882:

$$Q^2 < 16\pi r_k^3 \sigma$$

(Q là tổng chất gây ô nhiễm giữa các lực của bề mặt bề mặt năng lượng, giữ cho giọt bán kính $r_k$ ở trạng thái “hình cầu” và lực Coulomb, có xu hướng tạo cho giọt có hình dạng của một gangel (xem hình 5).

IV. Chúng ta hãy xem xét một lựa chọn khác bài toán về độ ổn định của bề mặt chịu tải với năng lượng lỏng - khi bề mặt nằm ngang và có lực hấp dẫn. Trong trường hợp này, lực hấp dẫn đóng vai trò tích cực trong việc hình thành năng lượng đập trong quá trình biến dạng bề mặt tự do của chất lỏng và bài toán về hành vi dao động của bề mặt chất lỏng được nạp trở nên phong phú hơn đáng kể so với các biến thể không có lực hấp dẫn mà chúng tôi đã xem xét trước đây.

Thật thuận tiện khi tìm mô tả về các hiệu ứng cụ thể bằng cách sử dụng một công thức tương đối đơn giản xác định mối quan hệ giữa tần số $\omega$ và bước sóng $\lambda$ của dao động của bề mặt chất lỏng được nạp.

$$\omega^2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \varrho g + \frac{4\pi^2 \sigma}{\lambda^2} - \frac{8\pi^2 \alpha}{\lambda} \right).$$

Thuật ngữ thứ nhất (trong ngoặc đơn) phản ánh ảnh hưởng của lực hấp dẫn (g - gia tốc trọng trường), thuật ngữ thứ hai - lực căng bề mặt, thuật ngữ thứ ba - lực của nguồn gốc điện (α - mật độ bề mặt ô nhiễm).

Công thức (**) lần đầu tiên được Ya thu được. I. Frenkel (1935). (Nhân tiện, rõ ràng là Frenkel đã quan tâm đến các vấn đề ổn định từ năm 1935. Do đó, khi bài toán về sự phân rã của một hạt nhân nặng nảy sinh vào năm 1939, những liên tưởng cần thiết đã nhanh chóng được đưa ra.)

Trong trường hợp $\alpha = 0$ (chất lỏng không bị ô nhiễm) $\omega^2 > 0$ đối với bất kỳ giá trị nào của $\lambda$. Trong những trường hợp này, có những dao động nhỏ không đáng kể trên bề mặt tự do của chất lỏng, được Lord Rayleigh biết đến. Bề mặt chất lỏng ổn định.

Chúng ta hãy xem điều gì xảy ra với dao động của bề mặt chất lỏng được nạp, tức là ở $\alpha \neq 0$. Như có thể thấy từ (**), khi tăng $\alpha$ thì tần số dao động với bước sóng cho trước $\lambda$ giảm và ở một số điểm tới hạn

6

Tại đó bề mặt tích điện kém ổn định nhất. Đại lượng $\alpha^*$ và bước sóng tương ứng $\lambda^*$ được xác định bởi sự tương ứng

$$\left(2\pi \alpha^*\right)^4 = \frac{\rho g}{\sigma}, \quad \frac{2\pi}{\lambda^*} = \left(\frac{\rho g}{\sigma}\right)^{1/2}.$$

Bước sóng $\lambda^*$ được gọi là mao dẫn. Về vấn đề này, chúng ta hãy nhớ lại rằng trong trường hợp hình trụ lỏng và giọt hình cầu, các dao động “nguy hiểm” phát triển ở bước sóng tương đương với kích thước của hình trụ hoặc hình cầu.

Các thí nghiệm được thực hiện gần đây trên bề mặt tích điện của helium lỏng đã xác nhận đầy đủ các dự đoán theo công thức (**). hình 6 cho thấy kết quả của các thí nghiệm đó.

Hành vi tiếp theo của bề mặt chất lỏng tích điện là gì? Nếu trong các trường hợp đã thảo luận trước đây, việc vi phạm các điều kiện tới hạn dẫn đến hiện tượng không chuẩn - sự tan rã của cấu trúc chất lỏng, sự vỡ của một giọt tích điện - thì trong phiên bản “phẳng” bài toán, với sự chuyển đổi cẩn thận sang vùng siêu tới hạn, một trạng thái “tái tạo” mới của bề mặt chất lỏng tích điện sẽ xuất hiện - cái gọi là tinh thể lúm đồng tiền. Một sóng biến dạng đứng được thiết lập trên bề mặt chất lỏng, chất lỏng này có cấu trúc tuần hoàn với chu kỳ đặc trưng bằng bước sóng mao quản $\lambda^*$. Hình ảnh bề mặt tự do của chất lỏng trong trường hợp này được trình bày ở hình 7.

Đương nhiên, với mức tăng thêm $\alpha$, trạng thái tái tạo tĩnh tại của bề mặt chất lỏng tích điện cũng trở nên không ổn định. Mô tả của giai đoạn này phát triển sự vắng mặt thực tế của chính nó do sự phức tạp của việc điều khiển được xác định bởi động lực học của bề mặt trong khu vực $\alpha \gg \alpha^*$. Đối với hoạt động thực sự của bề mặt chất lỏng, ý tưởng chung về điều này được đưa ra bởi hình 8 - đây là bức ảnh chụp bề mặt tự do của đồng lỏng trong điện trường mạnh vuông góc với ranh giới.