Bài toán M1196—M1200; F1203—F1207

23

Bài tập
M1196—M1200, F1203—F1207

M1196. Một số (ít nhất hai) số khác 0 đã được đưa ra. Bạn được phép xóa hai số a và b bất kỳ và viết các số a+b/2 và b-a/2 của chúng lại với nhau. Chứng minh rằng sau nhiều thao tác như vậy không thể thu được tập số ban đầu.

M1197. Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh AB, điểm N trên cạnh BC, O là giao điểm của hai đoạn CM và AN. Biết rằng AM+AN=CM+CN. Chứng minh rằng AO+AB=CO+CB.

M1198*. Chúng ta hãy gọi một từ là một dòng gồm 10 chữ số 0 và 1. Chúng ta sẽ coi hai từ đồng nghĩa nếu một từ có thể được lấy từ từ kia thông qua một số phép toán thuộc loại sau: một số số trong một hàng bị gạch bỏ khỏi từ, tổng của chúng là số chẵn và các số giống nhau được viết ở vị trí của chúng, nhưng theo thứ tự ngược lại. Số lượng từ không có từ đồng nghĩa tối đa là bao nhiêu?

M1199*. Chứng minh rằng nếu phương trình ax²+(c-b)x+(e-d)=0 có nghiệm lớn hơn 1, thì phương trình ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 có ít nhất một nghiệm.

M1200*. Với k có thể đặt trên đường tròn a) 10; 6) 100; c) n cung sao cho mỗi cung cắt nhau đúng k cung khác?

S. A. Genkin

F1203. Trên sân ga gồ ghề có một container chứa đầy đồng đều có chiều cao H và chiều rộng L, có bánh xe nhỏ ở một bên (hình 1). Khi tàu tăng tốc, container bắt đầu trượt sang phải dọc theo sân ga nếu gia tốc vượt quá a₀. Đoàn tàu phải hãm phanh với gia tốc nhỏ nhất bằng bao nhiêu để container bắt đầu trượt xuống dưới? Bỏ qua chuyển động lăn ma sát.

D. Yu. Grigoriev

F1204. Một khối lò xo nhỏ khối lượng m có thể chuyển động không ma sát bên trong một hình hộp chữ nhật có cùng khối lượng. Chiếc hộp nằm trên một chiếc bàn được phủ một lớp mỏng (hình2). Lực ma sát của hộp trên bàn chỉ phụ thuộc vào vận tốc u của hộp chuyển động trên bàn và bằng F=-γu. Tại thời điểm ban đầu, chiếc hộp đã hoàn thành và khối nằm ở bức tường bên trái của nó và có vận tốc v₀ hướng về bên phải. Khối hộp sẽ tác động bao nhiêu lên hộp nếu chiều dài của hộp L lớn hơn nhiều so với kích thước của khối?

D. Yu. Grigoriev