Задачи М1196—М1200; Ф1203—Ф1207

23

Задание
M1196—M1200, Ф1203—Ф1207

M1196. Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешаетсястерть любые два числа a и b и записать вместе их числа a+b/2 и b-a/2. Доказите, что после нескольких таких операций нельзя получить исходный набор чисел.

M1197. В треугольнике ABC точка M лежит на стороне AB, точка N — на стороне BC, O — точка пересечения отрезков CM и AN. Известно, что AM+AN=CM+CN. Доказите, что AO+AB=CO+CB.

M1198*. Наозовем словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова будем считать синонимами, если одно можно получить из другого нескольких операций следующего вида: из слова вычеркивается несколько подряд и душих цифр, сумма которых четна, и на их место вписываются те же цифры, но в обратном порядке. Каково максимальное число слов, среди которых нет синонимов?

M1199*. Доказите, что если уравнение ax²+(c-b)x+(e-d)=0 имеет корень, большей 1, то уравнение ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 имеет хотя бы один корень.

M1200*. Для каких k можно расположить на окружности a) 10; 6) 100; в) n дуг так, чтобы каждая из них пересекаласьровно с k другими?

С. А. Генкин

Ф1203. На шероховатой железнодорожной платформе стоит равномерно заполненный контейнер высотой H и шириной L, имеющий с одной стороны маленькие колеса (рис. 1). При разгоне поезда контейнер начинает сползать вправо по платформе, если ускорение разгона превышает a₀. С каким минимальным ускорением должен затормить поезд, чтобы контейнер начал сползать впевно? Треннем качения пренебречь.

Д. Ю. Григорьев

Ф1204. Небольшой пругий брусок массой m может двигаться без трения внутри прямогольной коробки такой же массы. Коробка находится на столе, покрытом тонким слоем масса (рис. 2). Сила трения коробки о стол зависят только от скорости u движения коробки по столе и равна F=-γu. В начальной момент времени коробка поконтся, а брусок находится у ее левой стены и имеет скорость v₀, направленную вправо. Сколько ударов о коробку совершит брусок, если длина коробки L много больше размеров бруска?

Д. Ю. Григорьев