Прямые на кривых поверхностях

7

ПРЯМЫЕ НА КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

Доктор физико-математических наук
Д. В. ФУКС

Бывают поверхности, с виду весы искривленные, которые тем не менее вмешают в себя цельные прямы. В этой статье мы поговорим о тех поверхностях, на которых эти прямы осьенно много.

Статья состоит из двух частей; первая перед вами, а второй будет на печатана в одном из ближайших номеров журнала. В первой части мы проделаем несколько любопытных геометрических экспериментов, второй адресована любительям более серьезной математики: в ней среди прочего мы попытаемся обозреть все поверхности, через каждую точку которых проходят две лежащие в них прямы.

Часть первая:
гиперболид мастера Самодельника
Поверхность из ботиночных шнуров.
Возьмите два одинаковых объекта и свяжите их дожиной шнуров одинаковой длины, как показано на рисунке 1. Если поднять получившееся сооружение за один обруч, держа этот обруч горизонтально, то шнуры составят поверхность — прямой круговой цилиндр. Если после этого, удерживая шнуры в натянутом состоянии, повернуть один обруч относительно другого (на угол не очень маленький, но и не очень большой — скажем, около четырёх оборота), то шнуры составят новую поверхность—см. рисунок 2. Мы сейчас подробно обсуждим устройство этой поверхности, но сразу заметим главное: она настолько искривлена, что просто трудно поверить, что она сделана из совершенного прямых шнуров.

Эта поверхность называется zunep-bolouodom, и вот почему. Если смотреть на нее сбоку (лучше сказаны, если проектировать ее на плоскость), то мы увидим фигуру, заключенную между двумя ветрами гиперболы (рис. 3). Кроме того, наша поверхность может быть получена путемвращения гиперболы вокруг одной из ее осей симметрии (той, что ее не пересекает) — см. рисунок 4. Пересекая нашу поверхность различными плоскостями, мы также можем получить в течение гиперболу (рис. 5, а, б), как, впрочем, и эллипс (рис. 5, с), парабoly (рис. 5, д), пару пересекающих прямы (рис. 5, e). Все же наша поверхность имеет очень много общERO и заслуживает название «гиперболид». Впрочем, ее передано называют однополостным гиперболoidом, чтобы отличить от двуполостного гипербо-

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

8

лонда, получающегося при врашении гиперболы вокруг другой оси (рис. 6). Двуполостный гиперболид заменяет, главным образом, тем, что состоит (как и гипербола) из двух несоприкасающих частей; мы его в дальнейшем не рассматриваем, и слово « гиперболид» всегда будет ознакомиться у нас однополостный гиперболид.

Сказанное в предыдущем абзаце мы оставим без доказательства, поскольку для нас все это не особенно важно. Кто пожелает воспользоваться гиперболидом, может пойти по пути составления уравнения; уравнение нашего гиперболода в подходящей системе координат имеет вид $x^2+y^2=r^2+a^2z^2$, где $r$ и $a$ зависит от размеров объекта, длин шурков и угла поворота. Для тех, кто не хочет возить с доказательствами, я скажу вещею очередную, в доказательстве, в существии, не нуждающийся: наш гиперболид есть также поверхности врашения прямой относительной другой, скрещивающейся с ней прямой (рис. 7).

Два семейства. Мы уже знаем, что наш гиперболид состоит из прямых. Кстати, в математике прямая, целком содержащая в неплоской по-верхности, называется ее прямолинейной образуошей (или просто образуошей). Поверхность, через каждую точку которого проходит прямолинейная образуошая, называется линейчатой. В частности, наш гиперболид является линейчатой поверхности, но на самом деле верно больше: он является двояколиччатой поверхности, т. е. через каждую точку проходят две различные прямолинейные образуошие.

Понять это нетрудно. Вернемся к нашему опыту с обручами и представим себе, что мы повернули тот же обруч на тот же угол в противоположную сторону. Очевидно, мы получим ту же самую поверхности, но по-другому замошенную образуошии: новые образуошие являются

10

Тогда существует единственная прямая, проходящая через A и не скрещивающая ни с одной из прямых $l_1$, $l_2$.

Доказательство (рис. 11). Проведем плоскость $P_1$ через точку A и прямую $l_1$ и плоскость $P_2$ через точку A и прямую $l_2$. Эти плоскости не параллельны (они имеют общую точку A) и не совпадают (примыles $l_1$ и $l_2$ не лежат в одной плоскости). Линия $l$ пересечения этих плоскостей — искомая прямая: она проходит через A и лежит в одной плоскости с каждой из прямых $l_1$, $l_2$. Единственное такой прямой следует из того же рассудения: она должна лежать в каждой из плоскостей $P_1$ и $P_2$.

Наблюдение 2. Пусть $l_1$, $l_2$, $l_3$ — попарно скрещивающей прямые. Тогда существует единственная прямая, параллельная $l_3$ и не скрещивающая ни с одной из прямых $l_1$, $l_2$.

Доказательство (рис. 12). Проведем через $l_3$ плоскость $P_1$, параллельную $l_1$, и плоскость $P_2$, параллельную $l_2$. Линия пересечения плоскостей $P_1$ и $P_2$ — искомая прямая.

Доказательство теоремы 3. Что образующая второго семейства не скрещивается ни с одной образующей первого семейства, мы уже знаем (теорема 2). Теорема будет доказана, если мы убедимся, что каждой из прямых, не скрещивающихся с $l_1$, $l_2$ и $l_3$ — образующая второго семейства. Нам известно, что через каждой точку образующей $l_3$ проходитровно одна образующая второго семейства и еще одна образующая этого семейства параллельна $l_3$. Но в то же время через каждой точку образующей $l_3$ проходитровно одна прямая, не скрещивающая ни с $l_1$, ни с $l_2$ (наблюдение 1), и еще есть одна прямая, параллельная $l_3$ и не скрещивающая ни с $l_1$, ни с $l_2$ (наблюдение 2). Следовательно, прямые, о которых идет речь в наблюдаемых 1 и 2, являются образующими второго семейства.

Итак, наш гиперболид устроен очень просто: достаточно взять любые три образующие одного семейства и проведсти все прямые, которые не скрещиваются ни с одной из выбранных прямых. В совокупности они и составят наш гиперболид. Возникает интересная идея: взять три произвольные попарно скрещивающие прямые и рассмотреть поверхность, заметаему все прямыми, которые ни с одной из взятых прямых не скрещиваются. Процчем, нет, мы забежали вперед: это же — главная идея второй части статьи! А мы должны вернуться сейчас к нашему гиперболюду.

Teатр теней. Представим себе, что мы находимся в темной комнате и у нас в руках модель гиперболюда, сделанная из тонких спиц. Эти спиц — образующие обихих семейств, расположенные с одинаковой частотой (рис. 8). Мы освещаем модель при помощи точного источника света или параллельным лучом лучей и рассматриваем тени, отбрасываемые на шипами спицами на плоский экран.

Прежде чем вникать в устройство получающей картины, попробуем представить себе чисто умозрительное, какой она могла бы быть*).

*) См. также «Калейдоскоп «Кванта» в предыдущем номере журнала.