Olympic Toán quốc tế XXX

57

XXX
Olympic Toán quốc tế

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. VAVILOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. FOMIN

Trải qua hơn 30 năm tồn tại, Olympic Toán quốc tế đã trải qua một chặng đường phát triển đầy ấn tượng. IMO đầu tiên được tổ chức vào năm 1959 tại Romania chỉ có 7 quốc gia tham dự. Olympic năm nay quy tụ các đội đến từ 51 quốc gia; Các đội đến từ Ấn Độ, Bồ Đào Nha và Tonga lần đầu tiên tham gia, trong khi Nhật Bản, Đan Mạch, Nigeria và Bờ Biển Ngà cử quan sát viên văn phòng.

XXX MMO diễn ra tại thành phố cổ Brunswick, lần đầu tiên được nhắc đến trong biên niên sử vào năm 1031. Thành phố này ở Đức không phải ngẫu nhiên được chọn làm địa điểm tổ chức Thế vận hội - xét cho cùng, chính tại đây đã đặt nền móng cho giáo dục phổ thông ở Đức. “Vua của các nhà toán học” Carl Friedrich Gauss và học trò của ông là Richard Dedekind đều là người bản xứ Braunschweig. Cung cấp dữ liệu cho phóng viên vĩ đại của họ, những người tổ chức Thế vận hội đã sử dụng đúng ô mười bảy trong biểu tượng Thế vận hội. Sự thật là khi Gauss 19 tuổi, ông đã giải quyết hoàn toàn câu chuyện cổ xưa bài toán về khả năng dựng các đa giác đều bằng la bàn và thước kẻ. Đặc biệt, ông là người đầu tiên chứng minh được khả năng chế tạo được 17 giác đều.

321 học sinh tham gia Volimpida. Đất nước chúng ta có Dmitry Ivanov (Moscow, trường số 57), Sergey Ivanov (Leningrad, trường số 239), Evgenia Malininkova (Leningrad, trường số 239), Vladimir Ragulin (Trường Vật lý số 18 tại Đại học Quốc gia Moscow), Maria Roginskaya (Leningrad, trường số 239) và Arkady Skopenkov (Trường Vật lý số 18 tại Đại học Quốc gia Moscow). Sự tiến bộ của họ được phản ánh trong bảng hiển thị số điểm nhận được cho mỗi lời giải bài toán, tổng điểm của mỗi kế toán viên và giải thưởng mà họ nhận được. Theo truyền thống, Olympic được tổ chức thành 2 vòng. Trong mỗi loại (thời lượng 4,5 giờ), ba bài toán đã được cung cấp. Tất cả bài toán đều có giá trị 7 điểm.

Huy chương vàng của Olympic này là huy chương thứ ba mà Seryozha Ivanov nhận được tại các Olympic quốc tế. Dima Ivanov nhận huy chương vàng thứ hai. Thành công vượt trội, tuổi trẻ và sự quyến rũ của cô học sinh lớp 9 Zhenya Malininkova đã khiến cô trở thành một trong những học sinh được yêu thích nhất tại Olympic.

Việc kiểm tra công việc rất nghiêm ngặt: không một sai sót hoặc thiếu chính xác nào trong thiết kế của lời giải bài toán được thông qua.

Thế vận hội diễn ra trong thời gian ngắn hơn thường lệ và tràn ngập các chuyến du ngoạn, hội họp, buổi tối thư giãn, trò chơi, khiêu vũ, v.v. Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Nghiên cứu Liên bang Jürgen W. Mellemann, Bộ trưởng Bộ Giáo dục Lower Saxony Horst Horman, thị trưởng Brunswick Đức đã làm rất nhiều việc cho việc này.

58

hard Glogowski và chủ tịch ban giám khảo, Giáo sư Arthur Engel. Thủ tướng Đức Helmut Kohl rất chú trọng đến việc tổ chức MMO.

Khi kết thúc XXX MMO, Giáo sư A. Engel nhiệt liệt chúc mừng các trang web, lưu ý: “Họ thường quên rằng MMO là thành tựu cá nhân. Các quốc gia không cạnh tranh với nhau. Điều này sẽ là vô lý… Việc cộng điểm cho từng quốc gia không bị cấm, nhưng không được quy định chính thức và có chút không công bằng…” Nối những từ này, chúng tôi vẫn sẽ trả lời nhiều câu hỏi và đưa ra tổng điểm cho mười quốc gia đầu tiên: Trung Quốc (237), Romania (223), Liên Xô (217), Đông Đức (216), Mỹ (207), Tiệp Khắc (202), NRB (195), Đức (187), Việt Nam (183), Hungary (175).

Hai kỳ thi Olympic Toán quốc tế tiếp theo được tổ chức tại Trung Quốc và Thụy Điển, và vào năm 1992 - tại Liên Xô.

Đôi lời về quá trình chuẩn bị và thành lập đội ngũ của chúng tôi để tham gia MMO. Thí sinh của đội sẽ là những học sinh đã đạt giải I và II ở vòng chung kết Olympic Toán toàn Liên đoàn, theo đánh giá lời giải của ban giám khảo WMO. Chương trình đào tạo nhóm bao gồm 8-10 bài tập trao đổi qua thư về các chủ đề đặc biệt và hai trại huấn luyện (và đào tạo) trực tiếp: một tuần vào mùa đông và một tháng vào tháng 6 ngay trước đáp số.

Chúng tôi xin chúc mừng những người tham gia Olympic Liên Xô và các giáo viên của họ đã có màn trình diễn thành công tại XXX MMO, chúng tôi chúc họ thành công trong học tập và công việc, sức khỏe tốt, tâm trạng vui vẻ và hạnh phúc hơn.

Bài toán

1. (Philippines). Chứng minh rằng tập {1, 2, …, 1989} có thể biểu diễn dưới dạng hợp của các tập rời rạc từng cặp $A_i$ ($i=1, 2, ..., 117$) sao cho
   a) mỗi tập hợp $A_i$ có 17 phần tử;
   b) $S_1 = S_2 = ... = S_{117}$, trong đó $S_i$ là tổng các số của tập hợp $A_i$.
2. (Úc). Các đường phân giác của các góc $A, B, C$ của một tam giác nhọn $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp nó tại các điểm $A_1, B_1, C_1$ của đường tròn tương ứng. Lấy $AA_1$ cắt các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh $B$ và $C$ của tam giác $ABC$ tại điểm $A_0$. Điểm $B_0$ và $C_0$ được xác định tương tự.

Chứng minh rằng
a) $S_{A_0B_0C_0} = 2S_{AC_1BA_1CB_1}$;
b) $S_{A_0B_0C_0} \geq 4S_{ABC}$.
3. (Hungary). Đặt $n$ và $k$ là các số tự nhiên cố định, $n \geq k$. Tập hợp các điểm $S$ và $n$ của mặt phẳng có các thuộc tính sau:
a) không có ba điểm nào từ $S$ nằm trên cùng một đường thẳng;
b) với bất kỳ điểm $P \in S$ nào cũng có ít nhất $k$ các điểm phân biệt với $S$ có ​​độ dài bằng nhau từ $P$.
Chứng minh rằng
$$\frac{1}{\sqrt{h}} \geq \frac{1}{\sqrt{AD}} + \frac{1}{\sqrt{BC}}.$$

4. (Iceland). Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi có các cạnh $AB, AD$ và $BC$ thỏa mãn đẳng thức $AB=AD+BC$. Bên trong tứ giác này có một điểm $P$ sao cho $AP=h+AD$ và $BP=h+BC$, trong đó $h$ là khoảng cách từ điểm $P$ đến đường thẳng $CD$. Chứng minh rằng
   $$\frac{1}{\sqrt{h}} \geq \frac{1}{\sqrt{AD}} + \frac{1}{\sqrt{BC}}.$$

5. (Thụy Điển). Chứng minh rằng với $n$ số tự nhiên liên tiếp bất kỳ, mỗi số đó không phải là số nguyên tố lũy thừa của số mũ nguyên.

6. (Ba Lan). Hoán vị $(x_1, x_2, ..., x_{2n})$ của các số 1, 2, …, $2n$ được coi là thuận tiện nếu $|x_i - x_{i+1}| = n$ cho ít nhất một giá trị $i \in \{1, 2, ..., 2n-1\}$. Chứng minh rằng với mọi $n$ mọi tích cực chính của tất cả các hoán vị có thể xảy ra đều thuận tiện.