Giai đoạn khu vực của Thế vận hội Maxwell

50

KVANT 2015/№2

Tôi chọn một đứa trẻ, một người mẹ và một người cha từ ba gia đình khác nhau và đưa họ đi chơi bằng xe trượt tuyết. Hóa ra anh ấy có đúng 3630 cách để chọn đúng ba người. Tối nay có thể có bao nhiêu đứa trẻ? S.Volchenkov

3. Phần kéo dài của các đường trung tuyến $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp của nó lần lượt tại các điểm $A_{0}, B_{0}$ và $C_{0}$. Hóa ra diện tích của hình tam giác $ABC_{0}, AB_{0} C$ và $A_{0} BC$ bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC đều. A. Yakubov 4. Xem bài toán 4 cho lớp 10.

Ngày thứ hai

5. Tam thức vuông f(x) có hai nghiệm khác nhau. Hóa ra với mọi số a và b bất đẳng thức đều đúng

(

)

$f a^{2} + b^{2} \ge f ( 2 ab )$. Chứng minh rằng ít nhất một trong các nghiệm của tam thức này là âm. A. Khrabrov

6. Có một chiếc bình hình bán cầu có nắp phẳng. Có bốn quả cam giống hệt nhau trong một chiếc bình, chạm vào bình và một quả bưởi, chạm vào cả bốn quả cam. Có phải cả bốn điểm tiếp xúc giữa bưởi và cam nhất thiết phải nằm trong cùng một mặt phẳng? (Tất cả các loại trái cây đều là quả bóng.) L. Emelyanov

7. Có 300 số dương được đặt trong một vòng tròn. Có thể nào mỗi số trong số này, ngoại trừ một số, bằng hiệu của các số lân cận của nó? S. Berlov

8. Petya muốn viết ra tất cả các dãy có thể có của 100 số tự nhiên, mỗi dãy chứa số 4 hoặc số 5 ít nhất một lần, và hai số hạng liền kề bất kỳ khác nhau không quá 2. Anh ta sẽ phải viết ra bao nhiêu dãy số? I. Bogdanov

Ấn phẩm được biên soạn bởi N. Agakhanov, I. Bogdanov, P. Kozhevnikov, O. Podlipsky

Giai đoạn khu vực của Thế vận hội Maxwell

Chuyến tham quan lý thuyết

Dữ liệu tham khảo (có thể cần thiết cho bất kỳ bài toán) Gia tốc trọng lực g = 9,8 m $с^{2}$

Mật độ gỗ (thông) $\rho_{д} = 400$ kg $м^{3}$

Mật độ không khí $\rho_{0} = 1,3$ kg $м^{3}$

Mật độ của nước $\rho_{в} = 1000$ kg $м^{3}$

Mật độ băng $\rho_{л} = 917$ kg $м^{3}$

lớp 7

Bài toán 1. Tốc độ ánh sáng Người thí nghiệm Gluck đã nghiên cứu chuyển động của một tia nắng, ban đầu đứng yên, sau đó chuyển động theo một đường thẳng với tốc độ không đổi, và ở cuối đường đi lại đóng băng. Gluck ghi lại tọa độ của chú thỏ vào bảng mỗi phút một lần:

Đúng vậy, anh ấy đã bị phân tâm nhiều lần và bỏ lỡ một số phép đo (có dấu gạch ngang trong bảng). Giúp người thí nghiệm xác định thời điểm chú thỏ bắt đầu di chuyển. Con thỏ di chuyển nhanh như thế nào? Anh ấy đã đi du lịch bao lâu? Ngoài ra, hãy điền vào chỗ trống trong bảng. M. Zamyatnin

Bài toán 2. Con đường nào dài hơn? Trong 1/3 quãng đường đầu tiên ô tô chuyển động với tốc độ $v_{1}$ và trong 1/3 thời gian cuối cùng với tốc độ $v_{3}$. Ở đoạn thứ hai của con đường, tốc độ của anh ta bằng tốc độ di chuyển trung bình dọc theo toàn bộ con đường. Được biết, $v_{1} > v_{3}$. Phần nào ngắn nhất và phần nào dài nhất? Xe ở khu vực nào lâu nhất và ít nhất ở khu vực nào? V. Slobodyanin

Bài toán 3. Hộp đường (1) Đường tinh luyện dạng viên được đóng gói chặt chẽ trong hộp có ghi: “Trọng lượng tịnh (m) 500 g, 168 miếng.” Chiều dài cạnh dài nhất của hộp = 98 mm. Chính xác 4 miếng đường được đặt dọc theo cạnh ngắn nhất của hộp. Mật độ của đường tinh luyện là gì? Ghi chú. “Net” là trọng lượng của sản phẩm không tính đến trọng lượng của bao bì (hộp đựng). S. Karmazin

Bài toán 4. Bằng một chiếc xe đạp Một nhóm du khách gồm 3 người đi từ điểm A đến điểm B, khoảng cách giữa họ L = 22 km. Không có chiếc xe nào đi qua. Nhóm có sẵn một chiếc xe đạp, không quá hai người có thể đi cùng một lúc. Tốc độ đi bộ là $v_{0} = 5$ km/h, khi đi xe đạp với một người tốc độ là $v_{1} = 20$ km/h, và khi đi xe đạp với hai người là $v_{2} = 15$ km/h. Du khách nên hành động như thế nào để đến được điểm B trong thời gian tối thiểu? Tìm thời gian này. S. Varlamov lớp 8

Bài toán 1. Cân bằng Một tấm ván có khối lượng m và hai vật nặng giống hệt nhau có khối lượng 2m, mỗi vật được gắn vào hai khối (hình1) bằng sợi dây nhẹ. Hệ thống đang ở trạng thái cân bằng. Xác định lực căng của ren và lực mà thanh tác dụng lên tải trọng. Không có ma sát trong trục của khối. M. Zamyatin

Bài toán 2. Điều chưa biết trong Người thí nghiệm chưa biết Gluck đã thực hiện một thí nghiệm thú vị về việc nhúng một khối lập phương làm từ một vật liệu chưa biết vào một chất lỏng có mật độ không xác định (hình2). Trong tab-