Bài toán M2474—M2477; F2481—F2484

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2476 đã được tổ chức tại Olympic Toán học Quốc tế Romania lần thứ VIII và bài toán M2477 tại Olympic Quốc tế XXIV “Tuymaada”. Tác giả bài toán F2481–F2484 – D. Alexandrov.

Bài toán M2474–M2477, F2481–F2484

M2474. Các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn x y y z z x x y z. Chứng minh rằng chúng là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó. V. Người gửi

M2475. Cho hình vuông ABCD. Bình phương biến thiên KLMN được sắp xếp sao cho K nằm trên đoạn AD, B nằm trên đoạn LM và C nằm trên đoạn MN (xem hình). Tìm quỹ tích giao điểm T của đường thẳng AL và DN. V. Rastorguev

M2476. Các đồ thị $G_{1}$ và $G_{2}$ của hàm bậc hai $f_{1} x p_{1} x^{2} q_{1} x r_{1}$ và $f_{2} x p_{2} x^{2} q_{2} x r_{2}$, và $p_{1} 0 p_{2}$, được vẽ trên mặt phẳng tọa độ. Các đồ thị $G_{1}$ và $G_{2}$ cắt nhau tại hai điểm A và B. Bốn tiếp tuyến của $G_{1}$ và $G_{2}$ vẽ tại các điểm A và B tạo thành một tứ giác lồi trong đó có thể nội tiếp một đường tròn. Chứng minh rằng đồ thị $G_{1}$ và $G_{2}$ có chung một trục đối xứng. A. Zaslavsky

M2477. Có 25 chiếc mặt nạ, mỗi chiếc có màu sắc riêng. k nhà thông thái chơi một trò chơi: họ được cho xem tất cả các mặt nạ, sau đó họ đồng ý với nhau, sau đó họ được đeo mặt nạ theo cách mà mỗi người trong số họ nhìn thấy mặt nạ của những người khác (nhưng không biết ai đang đeo chúng) và không nhìn thấy mặt nạ của mình. Không có hình thức tương tác nào được phép trong trường hợp này. Tất cả các nhà hiền triết đồng thời gọi tên một màu, cố gắng đoán màu mặt nạ của họ. Họ có thể đồng ý trước với mức tối thiểu bao nhiêu để ít nhất một người trong số họ chắc chắn đoán đúng? S. Berlov

F2481. Một hòn đá được ném với vận tốc $v_{0} = 17$ ms theo góc $A = 60 \infty$ so với phương ngang. Với tốc độ góc nào thì vectơ vận tốc của hòn đá quay t = 1 s sau khi ném? Lấy g = 10 m $с^{2}$, bỏ qua sức cản của không khí. Biểu thị kết quả bằng radian trên giây và làm tròn đến phần mười gần nhất.

F2482. Có một quả cầu đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn

18

KVANT 2017/№8

Thực ra? Được biết, tốc độ của Sasha không vượt quá 80 km/h.

Gọi khoảng cách ban đầu giữa các tay đua là l. Hãy xem xét chuyển động của họ từ quan điểm của Egor, người lái xe chậm nhất. Có hai lựa chọn khả thi cho vị trí ban đầu của người lái. 1) Khoảng cách (theo hướng di chuyển) từ Vova đến Egor là l, và từ Sasha đến Egor là 2l. Sau đó, trước khi gặp Yegor, Vova phải đi một quãng đường l với tốc độ $v_{2} - v_{1}$, còn Sasha trong cùng thời gian đó, với tốc độ $v - v_{1}$, phải đi quãng đường 2l, 5l, 8l… tùy theo tốc độ của anh ta. Vì theo điều kiện $v_{2} - v_{1} = 10$ km h, thì $v - v_{1} = 20, 50, 80$ … km h. Điều này có nghĩa là v = 30 hoặc 60 km h. Tốc độ cao hơn mâu thuẫn với điều kiện bài toán. 2) Khoảng cách từ Vova đến Egor là 2l, và từ Sasha đến Egor l. Sau đó, trước khi gặp Yegor, Vova phải đi quãng đường 2l với tốc độ $v_{2} - v_{1}$, còn Sasha trong cùng thời gian đó, có tốc độ $v - v_{1}$, phải đi quãng đường 4l, 7l, 10l, 13l… tùy theo tốc độ di chuyển. Vì $v_{2} - v_{1} = 10$ km h, nên $v - v_{1} = 20, 35, 50, 65$ … km h. Do đó, v = 30, 45, 60 hoặc 75 km h. Tốc độ cao hơn mâu thuẫn với điều kiện bài toán. Kết hợp các tập hợp giá trị thu được sẽ cho các giá trị sau về tốc độ có thể có của Sasha:

v = 30, 45, 60 hoặc 75 km/h.

M. Zamyatnin

F2470. Ba tảng băng trôi nhỏ 1, 2 và 3 trôi nổi trong đại dương mặn, như minh họa trong hình (không chia tỷ lệ ở mọi nơi). Mỗi người trong số họ có hình dạng của một hình chữ nhật song song. Có một người đứng trên tảng băng trôi 1. Diện tích bề mặt của các mặt trên của tảng băng trôi bằng nhau và chiều cao của các phần bề mặt lần lượt bằng $h_{1} = 5$ cm, $, h_{2} = 10$ cm và $h_{3} = 12$ cm. Khi một người chuyển từ

tảng băng trôi 1 chồng lên tảng băng trôi 2, khi đó ở trạng thái cân bằng bề mặt của tảng băng trôi 1 và 2 có cùng độ cao so với mực nước. Sau đó, người đó chuyển từ tảng băng thứ 2 sang tảng băng thứ 3. Xác định độ cao của các phần bề mặt của mỗi tảng băng trôi khi trạng thái cân bằng được lập lại.

Đối với mỗi tảng băng trôi, lực hấp dẫn tác dụng lên nó cộng với trọng lượng của người (nếu người đó đứng trên tảng băng trôi) được cân bằng bởi lực Archimedes tác dụng lên phần dưới nước của tảng băng trôi. Lực Archimedes bằng $F_{Арх} = R gV$, trong đó R là mật độ của nước, g là gia tốc trọng trường, V là thể tích phần dưới nước của tảng băng trôi. Thể tích của phần dưới nước này có thể được biểu thị bằng công thức V = SH, trong đó S là diện tích mép trên của tảng băng trôi, H là chiều cao của phần dưới nước. Theo điều kiện bài toán diện tích mặt trên của tất cả các tảng băng trôi đều giống nhau. Theo đó, khối lượng của mỗi tảng băng trôi cộng với khối lượng của một người (nếu một người đang đứng trên tảng băng trôi) tỷ lệ thuận với chiều cao của phần dưới nước của tảng băng trôi. Vì vậy, khi một người di chuyển từ tảng băng thứ nhất sang tảng băng thứ hai, tảng băng thứ hai chìm xuống nước nhiều như tảng băng thứ nhất nổi lên. Khi một người di chuyển từ tảng băng thứ nhất sang tảng băng thứ hai, bề mặt của hai tảng băng này ở cùng mức độ. Điều này có nghĩa là tảng băng thứ nhất nổi 2,5 cm và tảng băng thứ hai chìm 2,5 cm. Độ cao của các phần bề mặt của tảng băng trôi so với mực nước biển lần lượt là 7,5 cm, 7,5 cm và 12 cm. Khi người di chuyển từ tảng băng thứ hai sang tảng băng thứ ba thì chiều cao phần bề mặt của tảng băng thứ hai trở về giá trị ban đầu là 10cm, còn tảng băng thứ ba bị nhấn chìm.

20

KVANT 2017/№8

Có thể thấy chỉ có trường hợp thứ ba thỏa mãn điều kiện bài toán. Như vậy, vôn kế nối vào phần trung tâm của mạch điện có điện trở thấp, hai vôn kế còn lại có điện trở cao. Điện áp 24 V được hiển thị bằng vôn kế đầu tiên, và hai vôn kế còn lại hiển thị điện áp 0 V và 12 V. Có thể lời giải 2 Hãy sử dụng “phương pháp chồng chất”, dựa trên nguyên lý xếp chồng. Xét mạch của hai mạch phụ (hình 3), mỗi mạch chỉ chứa một pin,

các vị trí có thể có của vôn kế có điện trở thấp. Hóa ra vôn kế thứ ba có điện trở nhỏ hơn, vôn kế thứ nhất biểu thị điện áp 24 V, hai vôn kế còn lại biểu thị điện áp 0 V và 12 V. Có thể lời giải 3 Giả sử vôn kế bên phải biểu thị điện áp 24 V. Khi đó, vôn kế ở giữa hiển thị 36 V, và vôn kế ở bên trái hiển thị 0 V. Điều này rõ ràng là không thể xảy ra, vì vôn kế ở bên trái nhất thiết phải hiển thị điều gì đó, vì nó được kết nối với pin có suất điện động cao hơn.

Hình 3

và EMF của pin kia được coi là bằng 0 (trong trường hợp chung, điện trở trong của các nguồn được loại bỏ khỏi mạch được bao gồm trong các phần tương ứng của mạch và số lượng mạch phụ bằng số lượng nguồn trong mạch ban đầu). Điện áp (hoặc dòng điện) yêu cầu trong các phần của mạch được tìm bằng cách tính tổng các điện áp (dòng điện) trong phần này trong tất cả các mạch phụ. Phương pháp này chỉ phù hợp với các mạch không chứa các phần tử phi tuyến. Trong các mạch phụ, số chỉ của vôn kế được tính toán rất đơn giản - sử dụng định luật Ohm cho một phần mạch, có tính đến các điện trở đã biết của các phần mạch. Trong trường hợp này, bạn cần nhớ dấu của các đại lượng đã tính. Đối với mỗi mạch, hãy điền vào bảng chỉ số vôn kế để biết các khả năng khác nhau.

Bây giờ giả sử rằng điện áp 24 V được hiển thị bằng vôn kế trung bình. Trong trường hợp này, vôn kế bên phải hiển thị 12 V và vôn kế bên trái cũng hiển thị 12 V. Nhưng bất kể vị trí nào trong mạch chúng ta đưa vôn kế có điện trở thấp hơn vào, tổng đại số của các dòng điện tại nút trong đó cả ba vôn kế được kết nối đều không thể bằng 0 với số chỉ vôn kế như vậy. Thật vậy, chúng ta hãy tính toán lượng chỉ định để có các phương án khả thi cho vị trí của vôn kế có điện trở thấp hơn. Đặt nó a) ở bên trái: $12 2 - 24 - 12 \pi 0$; b) ở giữa: $12 - 12 - 24 2 \pi 0$; c) ở bên phải: $12 - 24 - 12 2 \pi 0$. Tùy chọn cuối cùng vẫn còn: điện áp 24 V được hiển thị bằng vôn kế bên trái. Khi đó vôn kế ở giữa chỉ 12 V, và vôn kế bên phải chỉ 0 V. Trong trường hợp này