Kvant
Câu lạc bộ toán học

Phản song song và hình nón

Кожевников П. А.

Kvant 2017, số 8tr. 35, 36, 38, 43, 44Thẻ UUZ7

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

35

TOÁN HỌC

Nhưng chúng ta cũng hãy nhớ áp suất được tạo ra như thế nào: động lượng của phân tử i trước khi va chạm bình thường với bề mặt của vật sau va chạm đàn hồi sẽ bằng –i, sao cho mỗi phân tử truyền động lượng cho vật i i 2 i. Điều này có nghĩa là hơi nước không quay trở lại thành một giọt sẽ làm mất đi một phần áp suất bên ngoài. Kết quả là, trong quá trình bay hơi vào chân không, không cần thực hiện công để giãn nở hơi. Như vậy, trong phương trình (1) ở mẫu số của vế phải, thay vì L sẽ có giá trị L a, nhỏ hơn L. Ngay cả khi không giải phương trình mới này, người ta có thể thấy cường độ mất khối lượng của giọt nước sẽ tăng lên. Điều này có nghĩa là bây giờ đường cong mới về sự phụ thuộc nhiệt độ của khối lượng giọt nước sẽ thấp hơn đường cong trước đó. Cô ấy được miêu tả trên đường cong màu đỏ hình 2. Nhưng ở đây, bất kỳ học sinh xuất sắc và tỉnh táo nào cũng có thể kêu lên: “Xin lỗi, điều gì sẽ xảy ra khi nhiệt độ của giọt nước đạt tới Tк=273T_{к} = 273 K ?!” Chúng ta cần suy nghĩ nhiều hơn về điều này. Nếu nước của giọt nước hoàn toàn tinh khiết thì giọt nước đó có thể vẫn ở dạng lỏng ngay cả khi được làm lạnh thêm - đây được gọi là trạng thái siêu bền. Nếu có một đốm hoặc điện tích trong đó, quá trình kết tinh có thể bắt đầu. Trong trường hợp này, nhiệt độ của giọt nước sẽ không đổi, do đó sự mất khối lượng có thể được biểu thị bằng một đoạn thẳng đứng. Cân nặng

VÒNG TRÒN

sẽ giảm cho đến khi nhiệt kết tinh được các phân tử bay hơi mang đi. Cuối cùng, khi toàn bộ khối lượng còn lại đã nguội đến nhiệt độ kết tinh, khối lượng và nhiệt độ sẽ tiếp tục giảm do sự thăng hoa của băng. Rõ ràng, quá trình này có thể được mô tả bằng các mối quan hệ tương tự như đối với sự bay hơi của một giọt chất lỏng, thay nhiệt thăng hoa và nhiệt dung của nước đá thay vì nhiệt bay hơi và độ dẫn nhiệt của nước. Biểu đồ tương ứng cho mức giảm “bẩn” như vậy được hiển thị ở hình 2 với đường màu xanh lam. Điều gì xảy ra - giọt nước không thể tự bay hơi hoàn toàn?! Ngay cả Nam tước Munchausen, người nổi tiếng với sự khéo léo, cũng không dám khẳng định rằng mình có thể xé mình thành từng mảnh nhỏ. Tuy nhiên, chúng ta hãy quay trở lại việc phát biểu bài toán. Than ôi, trong vũ trụ thực không có sự trống rỗng tuyệt đối và nhiệt độ không tuyệt đối. Ít nhất có bức xạ nền vi sóng vũ trụ có nhiệt độ T∼3T \sim 3 K. Và ít nhất nó (chưa kể bức xạ của các ngôi sao hay dòng hạt) không cho phép một giọt cô đơn tồn tại mãi mãi. Tuy nhiên, đoạn văn khôi phục lại sự lạc quan. Hơn nữa, khi vào Viện Vật lý và Công nghệ Moscow, bạn sẽ có thể phân tích tất cả các quá trình được thảo luận chi tiết hơn nhiều.

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Phản song song và hình nón

P.KOZHEVNIKOV

HÃY QUAY LẠI BÀI VIẾT CỦA O. IVANOV được in trên tạp chí này và xem lại các cách xây dựng từ bài tập 7 (hình1) và từ bài toán 4 (hình2). Sự giống nhau không chỉ ở bên ngoài: như chúng ta đã thấy, tọa độ lời giải của bài toán này giống nhau, giống như một cặp song sinh. Nhưng hãy nói thêm một chút về

Hình 1

mối quan hệ hình học và đại số của các công trình này. Đầu tiên chúng ta cùng thảo luận cách giải bài tập 7 về mặt hình học. Theo điều kiện, trong hình -

36

KVANT 2017/№8

khi KM và LN phản song song đối với cặp đường thẳng a và b.

Bài tập

Hình 2

ke 1 các đường phân giác l và m của các góc giữa các cặp đường thẳng vuông góc. Các đường thẳng c và d tạo các góc bằng nhau với trục đối xứng (phân giác) l của góc giữa a và b. Các cặp đường thẳng có đặc tính này được gọi là phản song song hoặc phản song song đối với cặp đường thẳng a và b. Đường thẳng a và b thu được từ đường thẳng l bằng cách quay các góc bằng nhau theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ, do đó các góc tương ứng giữa đường thẳng a và c và giữa đường thẳng b và d bằng nhau. Từ đây, theo một tiêu chuẩn quen thuộc, suy ra tứ giác nội tiếp các đường thẳng a, b, c, d. (Lưu ý rằng những lý luận và kết luận này đúng với các cấu hình phản song song khác; hình3.) Không khó để đảo ngược lý luận và

  1. Cho a và b là một cặp đường thẳng cắt nhau, các điểm K, L nằm trên đường thẳng a và các điểm M, N nằm trên đường thẳng b (các điểm K, L, M, N khác nhau). Chứng minh rằng các đường thẳng KN và LM phản song song đối với cặp đường thẳng a và b khi và chỉ khi KM và LN phản song song đối với cặp đường thẳng a và b. 2. Chứng minh rằng nếu đường thẳng c và d phản song song đối với cặp đường thẳng a và b thì ngược lại, đường thẳng a và b phản song song đối với cặp đường thẳng c và d. 3. Cho hai đường thẳng d và da đối xứng qua phân giác l của góc giữa hai đường thẳng a và b. Chứng minh rằng đường thẳng c và d phản song song đối với cặp đường thẳng a và b khi và chỉ nếu c và da song song (hoặc trùng nhau). 4. Cho a và b là một cặp đường thẳng, các điểm K, L, P nằm trên đường thẳng a và các điểm M, N, Q trên đường thẳng b (tất cả các điểm chỉ ra đều phân biệt) (hình4). Bác sĩ-

Hình 4

Hãy nhớ rằng nếu K, L, M, N nằm trên cùng một đường tròn và K, M, P, Q nằm trên cùng một đường tròn thì LN P PQ.

Hình 3

Chứng minh rằng nếu một đường tròn cắt đường thẳng a tại các điểm K và L, đường thẳng b tại các điểm M và N thì cặp đường thẳng KM, LN (cũng như cặp đường thẳng KN, ML) là một cặp phản song song đối với cặp đường thẳng a và b. Vì vậy, ta thu được tiêu chuẩn phản song song sau: Cho a và b là một cặp đường thẳng cắt nhau, các điểm K và L nằm trên đường thẳng a và các điểm M và N trên đường thẳng b (các điểm K, L, M, N khác nhau). Các điểm K, L, M, N cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi

Trong hai bài tập tiếp theo, giao điểm của đường tròn và đường thẳng “thoái hóa” thành tiếp tuyến.

  1. Cho a và b là một cặp đường thẳng cắt nhau, điểm K và L nằm trên đường thẳng a và điểm M trên đường thẳng b. Chứng minh rằng các đường thẳng KM và LM phản song song với cặp đường thẳng a và b khi và chỉ khi đường tròn ngoại tiếp tam giác KLM tiếp xúc với đường thẳng b (hình5). 6. Cho ABCD là một cái bẫy- Hình 5

38

KVANT 2017/№8

  1. Cho hai đối song song với một parabol, một đường tiếp xúc với parabol tại điểm M, đường kia cắt parabol tại các điểm K và L (các điểm K, L, M khác nhau). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác KLM tiếp xúc với parabol tại điểm M (hình9). 10 (S. Markelov, Giải đấu các thành phố, 2004). Một parabol và một đường tròn được cho trên một mặt phẳng có

định nghĩa về các phản song song cho một lớp đường cong K lớn được xác định bởi phương trình có dạng px2qy2rxsyt0px^{2} qy^{2} rx sy t 0

(trong đó hệ số p và q không đồng thời chuyển về 0). 1 Như chúng ta đã thấy, классKкласс^{K} cũng bao gồm sự hợp của bất kỳ cặp đường thẳng phản song song nào y = kx + b, y = –kx + + c. Chúng tôi mời người đọc khái quát hóa các phát biểu mà chúng tôi đã gặp đối với các cặp đường thẳng và parabol. Cụ thể, chúng tôi đề xuất chứng minh các phát biểu sau: Định lý giao. Cho A và B là hai đường cong khác nhau классаKкласса^{K} có bốn điểm chung (hình11). Khi đó những điểm này nằm trên cùng một đường tròn.

Hình 9

Có đúng hai điểm chung của parabol: K và M. Hoá ra các tiếp tuyến của đường tròn và parabol tại điểm M trùng nhau. Các tiếp tuyến của đường tròn và parabol tại điểm K có nhất thiết phải trùng nhau không? Đáp số: Không bắt buộc. Gợi ý. Xét hai phản song song với một parabol, một phản song song m tiếp xúc với parabol tại điểm M, còn một phản song song đi qua M và cắt parabol lần thứ hai tại điểm K (hình10). Khi đó cần có đường tròn đi qua K và tiếp xúc với đường thẳng m tại điểm M.

Hình 11

Tiêu chí phản song song tổng quát. Cho một đường cong A thuộc lớp K, không phải là đường tròn, và các điểm K, L, M, N khác nhau trên đường cong này sao cho A không chứa toàn bộ đường thẳng KM hoặc đường thẳng LN. Các điểm K, L, M, N nằm trên cùng một đường tròn khi và chỉ khi KM và LN phản song song (hình12).

Hình 10

  1. Lập và chứng minh mệnh đề tương tự trong Bài tập 6 cho hai đường thẳng song song của một parabol.

Tương tự, bạn có thể xác định các phản song song đối với các đường cong bậc hai (hình nón) khác - hình elip, hyperbola. Khi làm việc trong một hệ tọa độ hình chữ nhật nhất định, sẽ thu được một và định nghĩa tương tự.

Hình 12

1 Đường cong loại K chính xác là đường cong bậc hai có hướng chính song song với trục tọa độ.

43

Thế Vận Hội

trên cạnh AB – điểm E sao cho 1 AE AL CD. Chứng minh rằng LE = LD. 2 A. Kuznetsov

  1. Ta ký hiệu S n là tổng các ước số tự nhiên của số n. Cho một số tự nhiên N2rbN 2^{r} b, trong đó r và b là các số tự nhiên và b là số lẻ. Biết S N 2 N 1. Chứng minh rằng b và S b là hai số nguyên tố cùng nhau. J. Antalan, J. Driz

  2. Một tam giác đều cạnh 20 được chia bởi ba họ đường thẳng song song thành 400 tam giác đều cạnh 1. Số lớn nhất trong các tam giác này có thể cắt (tại các điểm bên trong) bởi một đường thẳng là bao nhiêu? A. Golovanov

  3. Cho một đồ thị có các đỉnh A1,A2A_{1}, A_{2}, … ...,A2017,B1,B2..., A_{2017}, B_{1}, B_{2}, …, B2017B_{2017} và các cạnh AiBi,AiAi1,BiBi17A_{i} B_{i}, A_{i} A_{i} 1, B_{i} B_{i} 17 (trong đánh số tuần hoàn). Có đúng là tại bất kỳ vị trí ban đầu nào ở các đỉnh của đồ thị, 4 cảnh sát sẽ có thể bắt được tên trộm? (Đầu tiên, mỗi cảnh sát thực hiện một hành động, sau đó là tên trộm, sau đó lại là cảnh sát, sau đó lại là tên trộm, v.v. Động thái này là nhân vật hoặc vẫn ở đỉnh nơi anh ta ở hoặc di chuyển đến một đỉnh liền kề. Mọi người đều thấy những người khác đang ở đâu, cảnh sát có thể phối hợp hành động của họ. Kẻ trộm bị bắt nếu anh ta đến cùng một đỉnh với cảnh sát.) T. Ball, R. Bell, J. Guzman, M. Hanson-Colvin, N. Shonshek

  4. Xem bài toán 6 giải đấu nhỏ.

  5. Trên phần tiếp theo của cạnh AD của hình chữ nhật ABCD, chọn điểm E (hình3) làm điểm D. Tia EC cắt lần thứ hai đường tròn W ngoại tiếp tam giác

Hình 3

ABE tại điểm F. Các tia DC và AF cắt nhau tại điểm P. Đường vuông góc CH hạ xuống đường thẳng l đi qua điểm E song song với đường thẳng AF. Chứng minh đường thẳng PH tiếp tuyến với đường tròn W. A. ​​​​Kuznetsov

  1. Cho hai điểm A và B trên mặt phẳng. Hãy gọi điểm X là điểm giữa vô lý của chúng nếu có một hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng sao cho các điểm A và B có tọa độ không âm trong đó, và hoành độ của điểm X trong hệ này bằng trung bình hình học của hoành độ của các điểm A và B, và tọa độ bằng trung bình hình học của tọa độ A và B. Tìm quỹ tích hình học của tất cả các trung điểm vô lý của các điểm A và B. K. Tyshchuk

GIẢI ĐẤU CAO CẤP

Ngày đầu tiên 1. Xem bài toán 1 giải đấu nhỏ.

  1. Xem bài toán 2 giải đấu nhỏ.

  2. Xem bài toán 4 giải đấu nhỏ.

  3. Xem bài toán M2477 “Bài toán Kvant”.

Ngày thứ hai 5. Có tam thức bậc hai f x sao cho f 1 2017 1 2018 và f 1 2018 1 2017 và hai hệ số của nó là số nguyên không? A. Khrabrov

VẬT LÝ

Các thí sinh tham dự Olympic Vật lý vẫn thi đấu như thường lệ ở hai giải: cấp trên và cấp trung học (ban giám khảo phân chia thí sinh vào các giải tùy theo độ tuổi và lớp). Thế vận hội ở mỗi giải đấu bao gồm hai vòng: lý thuyết và thử nghiệm. Theo chương trình của Olympic Vật lý, người tham gia có thể được tặng bài toán trên

44

KVANT 2017/№8

bất kỳ chủ đề nào có trong chương trình giảng dạy ở trường nâng cao (trong giải cấp cơ sở - ngoại trừ các chủ đề liên quan đến năm cuối cấp). Các tác giả của bài toán gốc (cả lý thuyết và thử nghiệm) có thể gửi chúng đến ủy ban phương pháp luận ([email protected]) - bài toán tốt nhất sẽ được đưa vào bộ cuối cùng và sẽ được xuất bản trên các tạp chí giáo dục sau Thế vận hội. Bài viết được biên soạn trên cơ sở sổ tay phương pháp luận: A.V. Chudnovsky, R.E. Avanesyan, A.B. Akimov, A.I. Bychkov, S.D. Varlamov, V.V. Efimov, A.R. Zilberman, V.I. Plis, G.M. Tarnopolsky. Olympic quốc tế XXIV “Tuymaada”. Vật lý. Chuyến tham quan lý thuyết. Hướng dẫn phương pháp / ed. A.V. Chudnovsky - M.-Yakutsk, 2017.

Chuyến tham quan lý thuyết

GIẢI ĐẤU CAO CẤP

Bài toán 1. Thuyền và sà lan Một chiếc thuyền, kéo đều một sà lan trên một sợi cáp dài, di chuyển cùng với nó chậm hơn A lần so với khi không có nó, với cùng một lực đẩy chân vịt. Nếu trong khi di chuyển bằng sà lan, thuyền tắt máy thì sà lan sẽ đi được quãng đường lớn hơn thuyền B lần trước khi dừng hẳn. Khối lượng của xà lan lớn hơn khối lượng của thuyền bao nhiêu lần? Lực cản của nước tỷ lệ thuận với tốc độ. V. Efimov

Bài toán 2. Thả vào một ống giữa các bình Hai bình cứng giống hệt nhau chứa đầy các khí lý tưởng khác nhau có nhiệt độ T1T_{1} và T2T_{2} (và T1T2),T_{1} T_{2} ), và được nối với nhau bằng một ống hình trụ mỏng nằm ngang có chiều dài L, ở giữa có một giọt thủy ngân cân bằng, không làm ướt thành ống. Thể tích khí trong ống là một phần rất nhỏ thể tích của một bình. Vị trí của bình sẽ như thế nào độ giảm thay đổi nếu nhiệt độ trong cả hai bình tăng cùng một lượng T?

Bài toán 3. Tụ điện và cuộn dây Ban đầu, các tụ điện không tích điện có điện dung C1C_{1} và C2C_{2} và một nguồn emf E lý tưởng được mắc nối tiếp, sau đó tại thời điểm 0 mắc song song với

Một cuộn dây có độ tự cảm L được mắc vào một tụ điện có điện dung C1C_{1}. 1) Tại thời điểm nào t1t_{1} lần đầu tiên dòng điện chạy qua cuộn dây có giá trị cực đại? 2) Tìm dòng điện cực đại I0I_{0} qua cuộn dây. 3) Tại thời điểm nào t2t_{2} lần đầu tiên điện áp trên một tụ điện có công suất C2C_{2} sẽ đạt cực đại? 4) Tìm điện áp cực đại U2U_{2} trên một tụ điện có điện dung C2C_{2}. A.Zilberman

Bài toán 4. Lõi gỗ Nhiều vòng dây mỏng được quấn chặt thành một lớp trên phần hình trụ của một cây bút chì gỗ dài, nhọn, đối xứng trục, và các đầu của nó được khép lại với nhau. Một cây bút chì có dây có thể coi là một hình trụ đồng chất có khối lượng m và tiết diện S. Cẩn thận đặt bút chì hướng xuống một mặt phẳng nằm ngang gồ ghề, một từ trường thẳng đứng đều bên ngoài được kích hoạt bởi cảm ứng B, sau đó dây được làm nguội, chuyển nó sang trạng thái siêu dẫn, sau đó bút chì rời khỏi vị trí cân bằng không ổn định. 1) Tìm góc J0J_{0} của độ lệch của bút chì so với phương thẳng đứng ở vị trí cân bằng ổn định. 2) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của một cây bút chì trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua trục đối xứng của cây bút chì ở vị trí cân bằng ổn định, nếu biết các dao động này có thể xảy ra. A. Chudnovsky

Bài toán 5. Gương phản xạ góc và mảnh thấu kính Hai gương phẳng bán vô hạn vuông góc với nhau và tiếp xúc với nhau bằng các cạnh, tạo thành một gương phản xạ góc. Mảnh lớn nhất của một thấu kính hội tụ mỏng bán kính R có tiêu cự 2r, phân tách chính xác dọc theo một dây cung đi qua một khoảng r tính từ tâm thấu kính, được đặt sao cho trục quang chính của nó vuông góc với gương thứ nhất, đường phân chia song song với gương thứ hai và quang tâm cách xa gương thứ nhất và gương thứ hai ở khoảng cách 5r và