Trisector

Trisector

Trong bài toán về phép chia một góc, bạn cần dùng compa và thước để chia một góc đã cho thành ba phần bằng nhau (hoặc tương đương là dựng một góc bằng một phần ba góc đã cho). Như trong tất cả các bài toán xây dựng cổ điển, la bàn và thước kẻ được coi là lý tưởng: với sự trợ giúp của la bàn, bạn có thể dựng các vòng tròn có bán kính bất kỳ (và đặt các đoạn bằng nhau trên một đường thẳng) và với sự trợ giúp của thước kẻ (một mặt và không có đường chia), bạn có thể vẽ các đường thẳng. bài toán này, cùng với hai bài toán xây dựng nổi tiếng khác, nhân đôi khối lập phương và bình phương hình tròn, đã thách thức các nhà toán học từ thời cổ đại. Chỉ đến thế kỷ 19, không có câu nào trong số ba bài toán này được chứng minh là có thể giải được trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, một số góc độ cụ thể có thể được chia thành ba phần. Ví dụ, không khó để thực hiện điều này với một góc vuông.

Bài tập 1. Cho ví dụ về một góc có số đo không phải là bội số của $15\infty$ và có thể chia thành ba phần bằng nhau bằng compa và thước.

Bằng chứng về việc không thể chia ba một góc tùy ý được đưa ra vào năm 1837 bởi nhà toán học người Pháp Pierre Laurent Wantzel. Điều kỳ lạ là, bằng chứng không hề mang tính hình học mà là đại số.

Để đơn giản hóa nó rất nhiều, ý tưởng như sau. Trước tiên, hãy dịch mọi thứ từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số: mọi cách xây dựng bằng la bàn và thước kẻ đều quy về một hệ lời giải tuần tự bao gồm các phương trình tuyến tính và bậc hai (vì đường thẳng được cho bởi phương trình bậc một và đường tròn được cho bởi phương trình bậc hai). Thứ hai, lưu ý rằng việc dựng một góc tương đương với việc dựng hai đoạn thẳng, tỉ số độ dài của chúng bằng cosin của góc này. Từ đó, bằng cách sử dụng công thức cosine cho một góc ba, chúng ta có thể thu được góc A đó có thể chia ba nếu phương trình $x^{3} - 3 x - - 2$ cos A = 0 có thể giải được bằng căn bậc hai và điều này không phải lúc nào cũng đúng.

Bài tập 2. Chứng minh phát biểu “thứ hai” và rút gọn về khối đã cho

phương trình trong ý tưởng chứng minh trên. Có thể chia ba góc $60\infty$ không?

Tuy nhiên, hóa ra là nếu bạn sử dụng các công cụ phi truyền thống để xây dựng bài toán, thì phần chia ba của góc có thể được “xây dựng”. Dưới đây là một số ví dụ về các thiết kế như vậy.

thước đo góc

Nếu ai có một thước đo lý tưởng (hình1) thì hoàn toàn có thể

Hình 1

đo chính xác các góc thì chủ nhân vui vẻ của thiết bị này sẽ có thể dễ dàng chia ba góc bất kỳ. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét các cách nghiêm túc hơn (về mọi khía cạnh) để thực hiện phép chia ba.

Nevsis

Nevsis là một phương pháp xây dựng hình học, mục đích của nó là nội tiếp một đoạn nhất định giữa hai đường cong cho trước sao cho đoạn đó hoặc phần tiếp theo của nó đi qua một điểm nhất định. Để làm điều này, hãy sử dụng thước kẻ để bạn có thể ghi chú. Thước này với một đoạn được đánh dấu trên cạnh của nó được định vị sao cho một trong các đầu của nó rơi vào một trong những đường cong đã cho và cạnh của thước đi qua điểm này. Sau đó, bằng cách xoay thước quanh điểm này và trượt, bạn có thể đạt được

Hình 2