Về chứng minh cơ bản của định lý Feuerbach

9

CHÚNG TA

theo góc $90\infty$ nên B = ( - y, x ). Khi đó vectơ vận tốc của con kiến ​​( x ¢, y ¢ ) tỷ lệ với vectơ AB ( - y - x, x - y ). Ta thu được hệ phương trình vi phân x ¢ = k ( - y - x ),

VIẾT

Chúng ta sẽ không giải được hệ này (nó không dễ lắm), nhưng hệ ở Bài tập 7 có thể giải được.

Mọi thứ trở nên đơn giản biết bao khi bạn biết cách giải phương trình vi phân! Tôi đã tìm thấy lời giải, chèn dữ liệu cần thiết vào đó và trả lời tất cả các câu hỏi. Vậy thì tại sao chúng ta lại làm mọi thứ trở nên khó khăn như vậy trong bốn phần đầu tiên? Có thực sự là vô ích? Không, không vô ích! Trong thực tế, nhiều bài toán dẫn đến các phương trình vi phân rất phức tạp không thể giải được một cách rõ ràng. Tuy nhiên, cần phải biết các thuộc tính của lời giải. Trong trường hợp này, các nhà khoa học buộc phải phân tích tính chất của lời giải mà không có công thức chính xác. Khoa học này được gọi là lý thuyết định tính của phương trình vi phân. Chính nhờ điều này mà chúng tôi đã vượt qua được các ranh giới.

Bài tập 10. Lấy hệ phương trình vi phân về quỹ đạo của con kiến ​​từ Bài tập 7 và thử giải.

Các tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban biên tập, đặc biệt là V.M. Tikhomirov, vì cuộc thảo luận đầy cảm hứng về nội dung bài viết.

y¢ = k(x - y), trong đó k = v

(

$2 x^{2} + y^{2}$

)

.

HỌ VIẾT CHO CHÚNG TÔI

Về chứng minh cơ bản của định lý Feuerbach

I. KUSHNIR, O. CHERKASSKY

Hãy nhớ rằng trong bất kỳ tam giác nào, trung điểm của các cạnh, đáy của các đường cao, cũng như trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh đều nằm trên cùng một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn chín điểm hoặc đường tròn Euler (ví dụ, xem bài viết của I. Sharygin và A. Yagubyants “Vòng tròn chín điểm và đường Euler” trong «Kvant» Số 8, 1981). Một trong những kết quả đẹp nhất của hình học cổ điển được coi là định lý Feuerbach, trong đó phát biểu rằng một đường tròn chín điểm tiếp xúc với một đường tròn nội tiếp một tam giác và ba đường tròn ngoại tiếp (Hình 1). Hầu hết các cách chứng minh định lý Feyebrach đã biết đều phức tạp và không cơ bản (sử dụng phép nghịch đảo, v.v.). Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một bằng chứng cơ bản rất ngắn gọn dựa trên các công thức nổi tiếng và các phép tính đơn giản. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu sau cho các phần tử của tam giác ABC này: a, b,

Hình 1

c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB, R và r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp, I là tâm nội tiếp (tức là tâm của đường tròn nội tiếp), O là tâm của đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm (tức là giao điểm của các đường cao). Như đã biết, bán kính của đường tròn Euler bằng R 2 và tâm E của nó là trung điểm của đoạn OH. Phát biểu của định lý Feuerbach về sự tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp và đường tròn chín điểm sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh rằng IE = R 2 - r. Đẳng thức này tương ứng với tiếp tuyến trong của các đường tròn đang xét (trên thực tế có thể chứng minh rằng R 2 luôn không nhỏ hơn r).

10

KVANT 2017/№11

Xét tam giác OHI (hình 2). Đoạn IE là đường trung bình của tam giác này

Hình 2

à. Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có

$4 IE^{2} 2 OI^{2}$

$2 IH^{2}$

$OH^{2}$.

Hãy sử dụng các công thức nổi tiếng:

$OI^{2} R^{2}$

$IH^{2} 4 R^{2}$

2 Rr,

1 2 a 2

$2 r^{2}$

$OH^{2} 9 R^{2}$ a

2

$b^{2}$

$b^{2}$

$c^{2}$,

$c^{2}$.

Kết hợp cả 4 công thức, ta được

$4 IE^{2} 2 R^{2}$

8 R

2

4 Rr

$4 r^{2}$

$4 IE^{2} R^{2}$ a

2

$b^{2}$

$c^{2}$

2

2

9R a

4 Rr

$b^{2}$

$c^{2}$

,

$4 r^{2}$, từ

2 IE R, đó là những gì được yêu cầu!

2 r,

Xin độc giả chú ý!

Nhà xuất bản của Trung tâm Giáo dục Toán học Thường xuyên Moscow (MCCME) đã xuất bản hai cuốn sách trong bộ “Thư viện «Kvant». Cuốn sách “Những câu chuyện về Cực đại và Tối thiểu” của V.M. Tikhomirov (số 56, ấn bản thứ ba) kể về lịch sử các phương pháp tìm số lượng lớn nhất và nhỏ nhất; lời giải trong số nhiều bài toán đáng chú ý ở mức tối đa và tối thiểu, thuộc về các nhà toán học vĩ đại của các thời đại trước, là phác thảo; nói về nguồn gốc của nhiều ý tưởng đặt nền móng cho phân tích hiện đại; giải thích mối liên hệ giữa cực trị bài toán và các vấn đề của tự nhiên;

Người đọc có thể, bằng cách sử dụng các công thức tương tự cho tâm của đường tròn ngoại tiếp, chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc chín điểm với các đường tròn ngoại tiếp bằng cách sử dụng cùng một sơ đồ.

Từ người biên tập, định lý Feuerbach với vẻ đẹp của nó đã thu hút sự chú ý của nhiều người yêu thích hình học và do đó có nhiều cách chứng minh khác nhau. Tạp chí «Kvant» cũng đã đề cập đến định lý này nhiều lần. Ví dụ, trong các bài viết của V. Dubrovsky “Momen quán tính trong hình học” (số 7, 1984), V. Protasov “Xung quanh định lý Feuerbach” (số 9, 1992), V. Dubrovsky và V. Senderov “Bẫy cho một tam giác” (số 3, 1999), V. Protasov “Các vòng tròn tang: từ Tebo đến Feuerbach” (số 1). 4, 2008). Không giống như nhiều bằng chứng nổi tiếng, lý do do I. Kushnir và O. Cherkassky đưa ra thực sự có vẻ minh bạch và dễ tiếp cận. Tất nhiên, một khó khăn đáng kể - việc chứng minh các công thức được sử dụng - vẫn còn ẩn giấu ở đây. Tuy nhiên, những công thức này đã được biết đến và có trong nhiều nguồn. Công thức cho $OI^{2}$ thường được sử dụng và được gọi là công thức Euler, công thức tính độ dài đoạn IH có sẵn, ví dụ, trong bài viết đã đề cập của V. Dubrovsky, và trong bài viết của A. Zaslavsky, D. Kosov và M. Muzafarov “Quỹ đạo của các điểm đáng chú ý của tam giác Poncelet” (Số 2, 2003) có một công thức chung để thu được công thức cho độ dài IX và OX cho các điểm X tùy ý.

tri thức, công nghệ và kinh tế. Cuốn sách dành cho học sinh trung học, giáo viên, học sinh, giáo sư. Từ V.B. Cuốn sách “Định lý Abel trong các bài toán và lời giải” của Alekseev (số 137), người đọc sẽ học cách giải các phương trình đại số bậc ba và bậc bốn với một ẩn số, đồng thời sẽ làm quen với hai nhánh quan trọng của toán học hiện đại - lý thuyết nhóm và lý thuyết hàm biến phức. Cuốn sách được nhiều độc giả quan tâm đến toán học nghiêm túc quan tâm và có thể dùng làm cẩm nang cho công việc của vòng tròn toán học.

Người chạy nước rút và người ở lại

A. MINEEV

Dù bạn là vận động viên chạy nước rút, dù bạn là người ở lại, Ba lần vô địch, Chúng tôi sẽ không trượt, chúng tôi sẽ không tụt lại phía sau, Chúng tôi vẫn sẽ đuổi kịp. Bài hát

HÃY HỎI CÂU HỎI NÀY: Tốc độ và sức mạnh tối đa mà vận động viên điền kinh phát triển khi chạy là bao nhiêu? Hãy sử dụng dữ liệu từ các kỷ lục thế giới hiện tại (phần - điền kinh, chạy) và xây dựng biểu đồ về sự phụ thuộc tốc độ của những vận động viên chạy giỏi nhất thế giới vào quãng đường chạy. Ở đó chúng ta cũng sẽ vẽ đồ thị thời gian đua trên trục x. hình 1 hiển thị kỷ lục chạy của nam và nữ ở các cự ly 100 m, 200 m, 400 m, 800 m, 1609 m (1 dặm), 2 km, 3 km, 5 km, 10 km, 20 km, 25 km, 30 km và 100 km. Dữ liệu chạy marathon được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Nhìn vào những đường cong này, bạn có thể nhận thấy một số đặc điểm quan trọng: i dành cho người chạy nước rút (khoảng cách 100–200 mét), tốc độ chạy đạt 10 m/s; Vì thế

Hình 1. Sự phụ thuộc của tốc độ tối đa và thời gian chạy vào khoảng cách của nam (M) và nữ (W)

tốc độ cao có thể được duy trì trong 20–30 giây; i đối với người ở lại (1–10 km), tốc độ chạy trung bình là khoảng 6–7 m/s; với tốc độ này họ có thể chạy trong nửa giờ; tôi là vận động viên chạy cự ly siêu dài

14

KVANT 2017/№11

tốc độ 7 m/s: 3 MJ = 1500 s = 25 phút. 2 kW

Người ở lại và người chạy marathon. Vai trò của quá trình oxy hóa chất béo

Tổng năng lượng dự trữ trong mô mỡ của một vận động viên nặng 75 kg là hơn 300 MJ và còn rất lâu nữa mới bị cạn kiệt. Nhưng phải mất rất nhiều thời gian để làm cạn kiệt đáng kể lượng mỡ dự trữ của bạn. Bất cứ ai đang cố gắng giảm cân đều có thể xác nhận điều này. Trong khoảng cách của người ở lại, công suất tiêu thụ là 1–1,5 kW và mức tiêu thụ năng lượng là 4–5 MW cho mỗi giờ chạy. Người giữ kỷ lục tiêu thụ khoảng 5000 kcal năng lượng (ª 20 MJ) mỗi ngày. Nếu chúng ta giả sử rằng một nửa năng lượng này có thể bị tiêu hao trong quá trình chạy thì chỉ còn lại 10 MJ năng lượng. Như có thể thấy từ ước tính của chúng tôi, năng lượng này được tiêu tốn trong khoảng hai giờ chạy nhanh. Ở hình 1, giá trị này tương ứng với thời gian của một cuộc đua marathon. Thật vậy, những vận động viên chạy marathon, chưa kể những vận động viên chạy cự ly dài hơn, buộc phải bổ sung năng lượng dự trữ trong quá trình chạy bằng hỗn hợp giàu carbohydrate. Người chạy marathon có phải uống nước không? Chắc chắn. Vì cần 2,3 MJ để làm bay hơi một lít nước nên một giờ chạy tương ứng với sự bay hơi của khoảng 2 lít nước. Nhưng có cần thiết phải thay thế hoàn toàn lượng nước thất thoát hay không? Không, nó nguy hiểm. Nước có thể không có thời gian để cơ thể người chạy hấp thụ trong quá trình chạy và việc bổ sung bài toán lượng nước bị mất sẽ được quyết định sau khi về đích. Các nhà vô địch chạy bộ của con người so sánh với tốc độ di chuyển của các loài động vật có vú khác như thế nào? Hãy đối mặt với nó - rất tầm thường. Theo nhiều cách, đây là cái giá phải trả cho việc đi thẳng và chạy bằng hai chân. Bốn chân chạy nhanh hơn. Nhà vô địch trong số đó là báo gêpa, loài có tốc độ chạy tối đa được ghi nhận là 35 m/s trong 10 giây. Rất có thể, anh ta không cần nhiều hơn để đi săn thành công. Thời gian còn lại anh ta nghỉ ngơi hoặc di chuyển với tốc độ “bay” thấp hơn đáng kể và tiết kiệm hơn.

tăng tốc tìm kiếm nạn nhân tiếp theo. Và cấu trúc cơ thể của báo gêpa phù hợp hơn để chạy nhanh và khối lượng cơ tương đối cao hơn. Những kẻ chạy nước rút nhanh nhất là những kẻ săn mồi (chẳng hạn như mèo) và động vật móng guốc. Hình dáng của một người so với nền của họ được hiển thị trong hình 3. Và trong hình 4 được hiển thị

Hình 3. Vận động viên chạy nước rút: sự phụ thuộc của tốc độ chạy tối đa của động vật có vú vào trọng lượng cơ thể

Hình 4. Người ở lại: sự phụ thuộc của tốc độ chạy dài hạn tối đa của động vật có vú vào trọng lượng cơ thể

thông tin liên quan dành cho người ở lại - những người có khả năng chạy nhanh và lâu dài. Từ hình này người ta có thể thấy con người thua kém động vật đến mức nào, đặc biệt là ở khả năng chạy nước rút.