Bài toán M2486—M2489; F2493—F2496

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2486–M2489 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XXXIX. Bài toán F2493–F2496 đã được đưa ra tại Olympic “Các bước kiến ​​thức về Vật lý” (Penza). Tác giả của bài toán này là A. Seitov.

Bài toán M2486–M2489, F2493–F2496

M2486. Nhà phân tích đưa ra dự báo về những thay đổi của tỷ giá hối đoái đối với đồng đô la trong 12 tháng tới: tỷ lệ phần trăm (một con số lớn hơn 0% và nhỏ hơn 100%) sẽ thay đổi trong tháng 10, bao nhiêu trong tháng 11,…, bao nhiêu trong tháng 9. Hóa ra là cứ mỗi tháng anh ta dự đoán chính xác tỷ giá hối đoái sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm, nhưng lại sai về hướng thay đổi (tức là nếu anh ta dự đoán tỷ giá hối đoái sẽ tăng x% thì tỷ giá hối đoái sẽ giảm x% và ngược lại). Hơn nữa, sau 12 tháng, khóa học trùng với dự báo. Cuối cùng thì lộ trình đã thay đổi theo hướng nào? A. Zaslavsky

M2487. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh AB, BC và AC của tam giác ABC lần lượt tại các điểm N, K và M (hình1).

Các đường thẳng MN và MK cắt tia phân giác của góc ngoài B lần lượt tại các điểm R và S. Chứng minh rằng các đường thẳng RK và SN cắt nhau trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC. M. Evdokimov

M2488. Thành phố là một hình chữ nhật ca rô, mỗi ô có một tòa nhà năm tầng. Luật cải tạo cho phép bạn chọn hai ô liền kề ở phía có nhà và phá bỏ ngôi nhà có ít tầng hơn (hoặc cùng số). Đồng thời, số tầng được xây trên ngôi nhà thứ hai cũng giống như ngôi nhà bị phá bỏ. Số lượng nhà nhỏ nhất có thể để lại trong thành phố theo luật cải tạo là bao nhiêu nếu thành phố có kích thước: a) 20 s 20 ô; b) 50 giây 90 ô? M. Murashkin

M2489. Chứng minh rằng với dãy số bất kỳ $a_{0}, a_{1}$, … $, a_{n}$, …, gồm số một và số trừ thì luôn có n và k sao cho $a_{0}$ $a_{1}$ … $a_{k} a_{1}$ $a_{2}$ … $a_{k} 1$ …

$... + a_{n}$ $a_{n} 1$ … $a_{n} k 2017$. I. Mitrofanov

Hình 1

F2493. Trên một bề mặt nằm ngang nhẵn trải dài dọc theo phương thẳng đứng

16

KVANT 2017/№11

một quả bóng nhỏ đàn hồi tuyệt đối đang nhảy dọc theo trục. Tốc độ tối đa của nó là v. Trên cùng một bề mặt nằm ngang, ở khoảng cách tính từ điểm va chạm của quả bóng này, bằng độ cao tối đa mà nó bay được, có một quả bóng tương tự thứ hai. Anh ta được cho một vận tốc nằm ngang v theo hướng thứ nhất. Các quả bóng va chạm sao cho tại thời điểm va chạm, đường đi qua tâm của chúng nằm ngang và trùng hướng với vận tốc của quả bóng thứ hai trước khi va chạm. 1) Tìm độ cao bay tối đa của quả bóng đầu tiên. 2) Tìm chu kỳ chuyển động của quả bóng thứ nhất trước khi chạm vào quả bóng thứ hai. 3) Quả bóng đầu tiên ở độ cao bao nhiêu vào thời điểm quả bóng thứ hai bắt đầu? 4) Tìm vận tốc của quả bóng thứ nhất ngay sau khi chạm vào quả bóng thứ hai. 5) Có thể đặt một bức tường thẳng đứng cách điểm va chạm một khoảng bằng bao nhiêu để sau khi phản xạ từ nó, quả bóng đầu tiên lại chạm vào quả bóng thứ hai? Thời gian tác động có thể được bỏ qua.

F2494. Trong hệ ở hình 2, không có ma sát, lò xo đàn hồi và

Hình 2

những quả bóng nhỏ, không trọng lượng giống hệt nhau và đàn hồi. Phía bên phải của thanh chuyển tiếp trơn tru thành một cung tròn bán kính R nằm trong mặt phẳng thẳng đứng, tại điểm chuyển tiếp có một quả cầu bên phải. Khoảng cách giữa các quả bóng bằng R. Nếu không lấy các quả bóng ra hoặc giữ chúng bằng ngoại lực, hệ được đặt sao cho phần thẳng của thanh ở vị trí thẳng đứng thì ở trạng thái cân bằng, lò xo sẽ ​​nén một lượng R. Từ vị trí như hình hình, quả cầu bên phải bị lệch sao cho góc dịch chuyển dọc theo cung nhỏ và bằng B ( B ≪ 1).

1. Tìm thời gian để quả bóng bên phải lần đầu tiên quay trở lại vị trí ban đầu được ghi trên hình. 2) Tìm độ lớn vận tốc của quả cầu bên phải trên mặt cắt ngang. 3) Tìm độ nén tối đa của lò xo sau khi hai quả bóng chạm vào nhau. 4) Tìm thời gian chuyển động của quả bóng bên trái giữa hai lần chạm bóng đầu tiên. 5) Tìm chu kì dao động của hệ này.

F2495. Trong một ống nằm ngang có chiều dài L, tiết diện không đổi S, bịt kín một đầu, một cột không khí ở nhiệt độ tuyệt đối $T_{0}$ (hình3) bị nhốt trong một chất lỏng có mật độ R. Nếu không khí ở trong

Hình 3

Đun nóng ống đến nhiệt độ tuyệt đối T thì toàn bộ chất lỏng sẽ chảy ra khỏi ống. Ống được vặn về $90\infty$ với đầu mở hướng lên trên, chất lỏng không chảy xuống và nhiệt độ được duy trì không đổi. Áp suất khí quyển $p = R gH_{0}$, trong đó $H_{0} > L$. 1) Tìm chiều dài cột không khí trong ống nằm ngang. 2) Trong ống có bao nhiêu phân tử khí? 3) Tìm áp suất không khí trong ống ở vị trí thẳng đứng. 4) Tìm chiều dài cột không khí trong ống thẳng đứng. 5) Tìm chiều dài tối đa của cột chất lỏng có thể thu được sau khi thêm chất lỏng vào ống thẳng đứng. Bỏ qua hiệu ứng mao dẫn.

F2496. Trong một từ trường đều có cảm ứng bằng B và hướng ra xa chúng ta (hình4), một mạch điện thẳng đứng có hai

Hình 4