Về phép nhân

47

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

Về phép nhân

A. SAVIN

Nó phụ thuộc vào bạn là ai, nhưng BẢNG NHÂN rất khó đối với tôi. Tất nhiên, “hai lần hai là bốn” và “năm năm là hai mươi lăm” rất dễ nhớ, nhưng “bảy tám” hay “chín sáu” thì không thể nào vừa với đầu tôi được. Tôi tính toán những công việc “khó” gần như thế này: “năm tám là bốn mươi, và hai lần tám là mười sáu, nghĩa là tổng cộng là năm mươi sáu.” Nhưng giáo viên yêu cầu phải trôi chảy đáp số, và bảng phải được “khoan” thuộc lòng. Điều này không chỉ quen thuộc với tôi - không phải vô cớ mà trong hàng trăm năm qua, học sinh từ các quốc gia khác nhau, mỗi quốc gia bằng ngôn ngữ riêng của họ, đã gọi nó là “dấu nhân”. (Nhân tiện, trong số học sinh của tôi - sinh viên vật lý và công nghệ - có những người biết rất mù mờ.) Cuối cùng, tôi đã học được bảng. Sau đó, hóa ra người cần nó không phải là giáo viên mà là chính tôi: với sự trợ giúp của nó, hóa ra có thể nhân bất kỳ số nào và khá nhanh chóng. Vì vậy, tôi đã sống nhiều năm với niềm tin hoàn toàn rằng nếu không có bảng cửu chương thì không thể nhân các số một cách nhanh chóng. Sự tự tin này càng được củng cố bởi những gì tôi học được về các phương pháp nhân ở Ấn Độ, Trung Quốc và Châu Âu trong thời Phục hưng… Và rồi một ngày nọ, tôi tình cờ gặp “phương pháp nhân của nông dân Nga,” vốn phổ biến ở Nga hai thế kỷ trước, và ngạc nhiên khi phát hiện ra rằng nông dân Nga biết cách nhân các số mà không cần sự trợ giúp của bảng cửu chương! Chỉ cần họ có thể nhân và chia cho hai, cũng như cộng các số là đủ. Đây là cách họ đã làm điều đó. Hãy viết một trong các số ở bên trái, số thứ hai ở bên phải trên một dòng. Chúng ta sẽ chia số bên trái, nhân số bên phải với 2,

Xuất bản năm «Kvant» số 2, 1992.

và ghi kết quả vào một cột như trong Hình 1. Nếu tại một thời điểm nào đó bạn phải chia một số lẻ cho 2 thì hãy loại bỏ phần còn lại. Khi còn lại một số từ số bên trái, $вычеркнем_{Рис.} 1$ tất cả các dòng trong đó có số chẵn ở bên trái. Hãy cộng tất cả những gì còn lại ở bên phải. Số kết quả là tích của hai số chúng ta đã bắt đầu! Tất nhiên lúc đầu tôi không tin vào những gì mình đọc và thành thật nhân 13 và 17 theo công thức gợi ý. Kết quả đúng là đáp số: 221. Tôi đổi chỗ các số và nhân chúng lại. Đáp số không thay đổi - lại 221 (Hình 2). Tôi không tin vào mắt mình: nó trông quá giống một trò ảo thuật, giống như những ví dụ nổi tiếng về những hành động sai cho kết quả $ре-^{Рис.} 2$ đúng, chẳng hạn như phép “rút gọn” các phân số được hiển thị trong Hình 3.

Hình 3

Nhưng phương pháp này hóa ra lại hoàn toàn chính xác! Trước khi đọc tiếp, hãy thử nhân nhiều cặp số theo cách này để cảm thấy thoải mái và tin tưởng hơn vào tính đúng đắn của nó. Bạn đã đếm chưa? Bây giờ tôi sẽ chứng minh rằng đây thực sự là một phương pháp nhân luôn cho kết quả đúng. Trong hai số trước của tạp chí của chúng tôi, các bài báo của I. Yaglom “Hệ thống số” và “Hai trò chơi với các trận đấu” đã được xuất bản, trong đó các câu chuyện chi tiết -

49

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

nước: có lẽ sẽ rất tốn kém nếu lấy giấy và bút để tính xem 8 chiếc bánh có giá 70 kopecks mỗi chiếc là bao nhiêu, hoặc để làm điều này, hãy thò tay vào túi của bạn để lấy một cuốn sổ, trên bìa là “bàn Pythagore” (Hình 7).

Hình 8

Hình 7

Nó thực sự rất cổ xưa - hơn hai nghìn năm trước, người Pythagore đã nhân các con số với sự trợ giúp của nó. (Gần đây, nhà toán học Tashkent A. Azamov đã nhận thấy tính chất kỳ lạ của nó: nếu bốn số của bảng này nằm ở các đỉnh của một hình vuông, tâm của nó cũng là một số trong bảng Pythagore, thì số ở tâm hình vuông bằng trung bình số học của các số ở các đỉnh của nó. Vì vậy, đối với các số được tô sáng trong Hình 7, chúng ta có: 42 = ( 25 + 48 + 63 + 32 ) 4.) Trải qua hàng nghìn năm phát triển của toán học, nhiều cách nhân số đã được phát minh ra. Nhà toán học người Ý cuối thế kỷ 15 và đầu thế kỷ 16, Luca Pacioli, trong chuyên luận về số học, đã đưa ra 8 phương pháp nhân khác nhau. Theo tôi, đây là hai trong số đó thú vị nhất. Trong số đầu tiên, được gọi là “lâu đài nhỏ” (Hình 8), các chữ số của số trên, bắt đầu từ số cao nhất, lần lượt được nhân với số dưới và viết vào một cột với số 0 cần thiết được thêm vào, sau đó kết quả được cộng lại. Ưu điểm của phương pháp này so với phương pháp thông thường là các chữ số của các chữ số quan trọng nhất được xác định ngay từ đầu và điều này có thể quan trọng đối với các phép tính sơ bộ. Phương pháp thứ hai có một cái tên lãng mạn không kém: “ghen” (hay “nhân lưới”). Một mạng được vẽ vào đó các kết quả của các phép tính trung gian được nhập vào (trên thực tế, các số được yêu cầu từ bảng nhân). Mạng này là một hình chữ nhật được chia thành các ô vuông, mỗi ô được chia bằng một đường chéo (Hình 9). “Một mạng lưới như vậy trên-

Hình 9

Luca Pacioli viết. Chúng ta hãy nhân các số 567 và 3984 theo cách này. Chúng ta viết một thừa số ở đầu bảng và một thừa số khác ở bên trái. Sau đó, trong