Bài toán M2762—M2765; F2769—F2772

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2762 (cho n tùy ý) đã được đề xuất tại Olympic Zhautykov quốc tế lần thứ 19. Bài toán F2769-F2772 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga LVI dành cho học sinh môn vật lý.

Bài toán M2762–M2765, F2769–F2772

M2762. Tổng của n 100 số thực khác 0 (không nhất thiết phải phân biệt) bằng 0. Đối với mỗi cách chọn một số (ít nhất một) số này, tổng của các số đã chọn đã được tính toán và tất cả các tổng thu được được viết thành một dòng theo thứ tự không tăng. Số đầu tiên trong dòng là S. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của số thứ hai trong dòng. A. Golovanov

M2763. Cho một số tự nhiên k t 2. Chứng minh rằng các số tự nhiên có tổng các chữ số chẵn thì khi chia cho k đều có tất cả các số dư có thể. P. Kozlov, I. Bogdanov

M2764. Trong tam giác nhọn ABC, vẽ các đường cao BE và CF (Hình 1). Cho phép

Cơm. 1

O là tâm của đường tròn ngoại tiếp. Trên cạnh BC chọn các điểm M và N sao cho BM CN. Đường thẳng BE cắt đường tròn (MBF) lần thứ hai tại điểm P và đường thẳng CF cắt đường tròn (NCE) lần thứ hai tại điểm Q. Chứng minh rằng các đường thẳng PF, QE và AO cắt nhau tại cùng một điểm. Lưu Đồng (Việt Nam)

M2765*. Cho 101 đồng xu và hai cái cân. Trong một lần cân, bạn có thể so sánh trọng lượng của hai đồng xu. Hãy gọi đa số là tập hợp con gồm 51 đồng xu có cùng trọng lượng. Với số lần cân ít nhất có thể xác định được với sự đảm bảo rằng liệu có đa số trong số các đồng xu đã cho hay không? K.Knop

F2769. Bức tường bên của một bể cá có thành mỏng hình khối (au a u a) đã bị vỡ. Họ quyết định ép bức tường mới (a u a) bằng kẹp lò xo. Lò xo thứ nhất có độ cứng k được cố định ở giữa gân trên của vách mới, lò xo thứ hai có độ cứng k được cố định ở giữa gân dưới. Sau đó, bể cá được chuyển đến một bức tường thẳng đứng (Hình 2). Tất cả các bề mặt nơi bức tường mới tiếp xúc với bể cá đều phẳng và mịn. Tường mới cứng chắc, bao phủ hoàn toàn các tường bên và đáy liền kề và song song với mặt phẳng tường. Lực ma sát tại điểm tiếp xúc của tường với bàn là không đáng kể.