Задачи М2762—М2765; Ф2769—Ф2772

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача M2762 (для произвольного n) предлагалась на 19-й Международной Жаутыковской олимпиаде. Задачи Ф2769-Ф2772 предлагались на заключительном этапе LVI Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2762–М2765, Ф2769–Ф2772

M2762. Сумма n 100 ненулевых вещественных чисел (не обязательно различных) равна нулю. Для каждого из способов выбрать несколько (не менее одного) из этих чисел подсчитали сумму выбранных чисел и все полученные суммы выписали в строку в невозрастающем порядке. Первое число в строке равно S. Найдите наименьшее возможное значение второго числа в строке. А.Голованов

M2763. Дано натуральное число k t 2. Докажите, что натуральные числа с четной суммой цифр дают все возможные остатки при делении на k. П.Козлов, И.Богданов

M2764. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BE, CF (рис.1). Пусть

Рис. 1

O – центр описанной окружности. Точки M и N выбраны на стороне BC так, что BM CN. Прямая BE пересекает окружность (MBF) вторично в точке P, а прямая CF пересекает окружность (NCE) вторично в точке Q. Докажите, что прямые PF, QE и AO пересекаются в одной точке. Люу Донг (Вьетнам)

M2765*. Даны 101 монета и двухчашечные весы. За одно взвешивание можно сравнить веса двух монет. Назовем большинством подмножество из 51 монеты одинакового веса. За какое наименьшее количество взвешиваний можно с гарантией определить, существует ли среди данных монет большинство? К.Кноп

Ф2769. У кубического тонкостенного аквариума ( a u a u a ) разбилась боковая стенка. Новую стенку ( a u a ) решили прижать пружинными фиксаторами. Первую пружину жесткостью 2k закрепили у середины верхнего ребра новой стенки, а вторую пружину жесткостью k – у середины нижнего ребра. После этого аквариум придвинули к вертикальной стене (рис.2). Все поверхности в местах контакта новой стенки с аквариумом плоские и гладкие. Новая стенка жесткая, полностью перекрывает прилегающие боковые стенки и дно и параллельна плоскости стены. Сила трения в месте контакта стенки со столом пренебре-