МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
Платные весы
А.ГРИБАЛКО, А.ЗАСЛАВСКИЙ
ОСЕНЬЮ 2022 ГОДА НА ТУРНИРЕ городов была предложена (немного в другой формулировке) следующая задача. Задача 1. Есть 8 внешне одинаковых монет, из которых одна фальшивая. Все настоящие монеты весят одинаково, а фальшивая отличается от них по весу неизвестно в какую сторону. Есть чашечные весы, за каждое взвешивание на которых надо уплатить одну монету. При этом если уплачена настоящая монета, весы показывают правильный результат, а если фальшивая – случайный. Можно ли найти и не потратить 5 настоящих монет? Решение. Пусть монетам присвоены номера от 1 до 8. Заплатим за первое взвешивание монету 8 и положим на одну чашу монеты 1 и 2, а на другую – 3 и 4. Если чаши остались в равновесии, то эти четыре монеты настоящие. Действительно, если монета 8 настоящая, то весы показывают верный результат и, значит, фальшивая монета не может быть среди взвешиваемых. Если же монета 8 фальшивая, то вообще все остальные монеты настоящие. Тогда вторым взвешиванием сравним монеты 1 и 5, заплатив монетой 7. Если весы в равновесии, то монета 5 тоже настоящая, в противном случае фальшивой может быть либо монета 5, либо монета 7, т.е. монета 6 заведомо настоящая. Пусть теперь в первом взвешивании одна из чаш, например с монетами 1 и 2, перевесила. Тогда монеты 5, 6, 7 точно настоящие. Сравним теперь монеты 1 и 2, заплатив за взвешивание монетой 4. Если весы в равновесии, то монеты 1 и 2 настоящие. Если же одна из них перевесила, то настоящими являются более легкая монета и монета 3. Во всех случаях мы получаем пять заведомо настоящих монет. Найти приведенное решение не очень сложно, но у читателей может возникнуть вопрос: почему в условии задачи даны именно числа 8 и 5? Понять это можно, решив следующее упражнение.
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230902
Упражнение 1. Сколько настоящих монет можно найти, если вначале есть 4, 5,…, 9 монет?
Из упражнения 1 видно, что если вначале есть монет, то можно найти хотя бы n 3 настоящие монеты, а при это становится невозможным. Естественно предположить, что и при «потеряно» будет не меньше четырех монет. В связи с этим возникает следующий вопрос. Задача 2. Для каждого k найдите наибольшее n, при котором можно из имеющихся вначале n монет найти n k настоящих. Прежде чем решать эту задачу, рассмотрим более простой ее аналог, когда известно, в какую сторону вес фальшивой монеты отличается от веса настоящей. Для определенности предположим, что фальшивая монета легче настоящей. Аналогично разбирается случай, когда фальшивая монета может быть как легче, так и тяжелее настоящей, но для каждой из имеющихся монет известно, в какую сторону от настоящей может отличаться ее вес. Сделаем несколько предварительных замечаний. 1. При планировании очередного взвешивания можно считать, что во всех предыдущих взвешиваниях были уплачены настоящие монеты. Действительно, если, руководствуясь этим предположением, мы определили какие-то монеты как настоящие, то эти монеты будут настоящими и в случае, когда фальшивая монета была когда-то уплачена. 2. За каждое взвешивание надо платить подозрительной монетой (т.е. такой, про которую еще не ясно, фальшивая она или настоящая). Действительно, если про какую-то монету точно известно, что она фальшивая, то дальнейшие взвешивания вообще не нужны, а если монета заведомо настоящая, то, заплатив вместо нее подозрительную, мы по предыдущему замечанию сможем определить не меньше новых настоящих монет, но сохраним уже имеющуюся. 3. Число сделанных взвешиваний не может превышать . Действительно, после k взвешиваний у нас останется всего n k монет, среди которых может оказаться фальшивая. Посмотрим теперь, как меняется число подозрительных монет при очередном взве-
- Отчего корпус виолончели намного больше, чем у скрипки? 12. Зачем полый корпус скрипки, виолончели, гитары делают фигурным? 13. Почему струнные музыкальные инструменты надо перенастраивать после внесения с мороза в теплое помещение? 14. Если струна музыкального инструмента начинает издавать ненормально низкий звук, настройщик увеличивает ее натяжение. Как этим способом удается добиться нужной частоты колебаний? 15. Гитарист перебирает струны и отпускает их, после чего каждая струна свободно колеблется и звучит на своей частоте. А вот скрипач постоянно ведет смычком по струне, как же она тогда колеблется? 16. Для чего смычки струнных инструментов перед игрой натирают канифолью?
Микроопыт
Потрите мокрым пальцем по ободку бокала или стакана. При определенной скорости обращения вы можете заставить стакан «петь». Что вызывает этот звук? Как он изменится, если налить в стакан воду?
Любопытно, что…
…по легенде, в незапамятные времена около древнеегипетского города Фивы каждое утро на рассвете огромная статуя, известная под именем колосса Мемнона, издавала тон ля первой октавы, и музыканты приходили к ней настраивать свои инструменты. …Пифагор экспериментально обнаружил связь между высотой музыкального тона и длиной струны либо флейты, его издающих, и что гармоничность совместного звучания определяется простым рациональным отношением длин этих инструментов. Так Пифагор открыл первый закон математической физики. …нотный стан, заслуга изобретения которого в начале XI века принадлежит итальянскому монаху Гвидо д’Ареццо, – это первый в истории график, так как на нем по вертикали указывается изменение высоты звука, а по горизонтали слева направо – течение времени. …наиболее существенный вклад в решение задачи о колеблющейся струне внес Леонард Эйлер, начиная с его работы года «Опыт новой теории музыки», в которой он придал проблеме музыкальной гаммы точный смысл. …Бетховен, оглохнув, слушал игру на рояле, приставив к нему одним концом свою трость, другой конец которой держал у зубов. …Альберт Эйнштейн любил играть не только на скрипке, но также исполнял на рояле произведения Баха, Вивальди и Моцарта. По словам современников, он легко переносил негативные оценки своих научных теорий, однако очень обижался, если кто-то критиковал его стиль игры на скрипке. …первый отечественный электромузыкальный инструмент – терменвокс – был сконструирован году российским физиком Львом Терменом. Высотой и громкостью звука в этом устройстве можно было управлять, меняя положение рук исполнителя относительно антенн прибора. …в XX веке произошла самая настоящая революция в средствах записи, передачи и воспроизведения музыки. От механических инструментов – шарманок и музыкальных часов – через граммофоны, магнитофоны – до цифровых аудиоустройств. Как, например, встроенный в наушники микрокомпьютер с искусственным интеллектом или программа, подбирающая для пользователя музыку, похожую на ту, что он слушал ранее.
Что читать в «Кванте» о союзе физики и музыки
(публикации последних лет)
- «Алло! Вы меня слышите?» – 2015, Приложение №1, с.111; 2. «Аплодисменты здесь тихие» – 2016, №3, с.34; 3. «Почему плохо кричать против ветра» – 2020, №5, с.25; 4. «Бум и шшш…» – 2022, №11 12, с.42.
Материал подготовил А.Леонович
36
Рис. 2. Сигнал и его клиппирование
КВАНТ 2023/№9
В этой статье будет рассказано, как мы сделали настоящую педаль гитарного эффекта своими руками. Мы выбрали эффект дисторшн – искажение). Этот эффект меняет вид исходного сигнала, а точнее его форму (рис.2). Оригинальный сигнал, он же исходный, представляет собой обычную синусоиду. Далее происходит клиппирование, т.е. искажение исходного сигнала. Амплитуда обработанного сигнала превышает допустимое значение напряжения. Синусоида теперь будто не влезает в окошко. Сигнал искажается, набор частот увеличивается. Звук получается более агрессивным. Существует два вида клиппирования: жесткое клиппирование – результат эффекта дисторшн, и мягкое – результат эффекта овердрайв – перегруз).
Создание нашей педали началось с поиска подходящей схемы. На просторах интернета мы раздобыли инструкцию по созданию педали эффекта Fuzz (рис.3). Первую плату пришлось забраковать, так как один из транзисторов оказался неисправным, к тому же мы придумали, как значительно упростить схему, используя вместо транзисторного каскада микросхему. Вторая попытка увенчалась успехом, конструкция заработала и нам удалось услышать теплый хрустящий перегруз (клиппированный сигнал). Но теперь нас не устраивал внешний вид схемы (рис.4), и мы решили перенести ее с картонки на настоящую монтажную (печатную) плату. Печатная плата (рис.5) была изготовлена химическим негативным методом, а точнее –
Рис. 4. Первый прототип платы на картонке
Рис. 3. Модифицированная схема педали гитарного эффекта Fuzz
37
ЛАБОРАТОРИЯ
Рис. 5. Плата в процессе изготовления методом лазерно-утюжной технологии
более удобным для домашних условий методом лазерно-утюжной технологии. Первым делом мы спроектировали трафарет будущей печатной платы в системе автоматизированного проектирования Altium Designer. Далее был напечатан полученный рисуноктрафарет нашей платы на глянцевой бумаге от журнала на лазерном принтере (отсюда слово «лазерный» в названии метода). На заранее подготовленный лист стеклотексто-
Рис. 6. Готовая педаль
«КВАНТА»
лита с помощью утюга был перенесен рисунок с трафарета. Подготовка стеклотекстолита заключалась в очистке поверхности абразивом и последующем обезжиривании. Далее следовал перенос тонера с трафарета на поверхность заготовки, после чего бумагу удалили водой и ватным диском. Процесс травления проходил в растворе перекиси водорода и лимонной кислоты с добавлением поваренной соли, которая является катализатором в данной реакции. Процесс занял около 30–40 минут. В результате вся лишняя медь была вытравлена, а то, что было под рисунком, осталось нетронутым. Получился проводящий рисунок, который и является схемой. Дальнейший монтаж элементов оказался сплошным удовольствием. После того, как мы убедились в работоспособности схемы, пришло время создания корпуса. Мы решили выполнить его в черном цвете и выбрали квадратную форму. В качестве материалов были использованы дерево и пластик, поэтому внутренности педали непременно нужно было экранировать. Для этого мы обклеили корпус изнутри алюминиевой клейкой лентой. Во избежание наводок и появления паразитной емкости отдельные куски ленты были соединены друг с другом проводником (каплей припоя). Так была создана наша любимая Фузик- 2000 (рис.6).