XXIX и XXX Международные олимпиады школьников «Туймаада»

43

ОЛИМПИАДЫ

Бахвалов А. – Московская область, Чайка М. – Москва, Прохоров П. – Москва, Прохорченко М. – Московская область, Жиганов Г. – Свердловская область;

11 класс

Потапов Е. – Москва (10 класс), Бобков В. – Москва (10 класс), Душанин А. – Московская область, Доля В. – Московская область, Ившин А. – Московская область, Мякутин И. – Москва, Ершов А. – Московская область, Гаврилов Д. – Московская область, Бурцев Р. – Московская область.

Публикацию подготовил В.Слободянин

XXIX и XXX Международные олимпиады школьников «Туймаада»

ER

T IO NA

NA L O

$LY M P I A_{D}$ ”

T UY

MA A

D

A ”

В июле прошлого, 2022 года Международная олимпиада «Туймаада» по физике, математике, информатике и химии проходила дистанционно, а в июле нынешнего, 2023 года – снова в очном формате. Участники олимпиады по физике соревновались, как обычно, в двух лигах: старшей и младшей (жюри распределяет участников по лигам в зависимости от их возраста и класса). Согласно программе олимпиады по физике, участникам могут быть предложены задачи на любые темы, содержащиеся в углубленной школьной программе. Авторы оригинальных задач (как теоретических, так и экспериментальных) могут присылать их методической комиссии ([email protected]) – лучшие задачи войдут в итоговый комплект и будут опубликованы после олимпиады в образовательных журналах. Статья подготовлена на основании следующих методических пособий:

IN T

Физика

А.В.Чудновский, Р.Е.Аванесян., С.Д.Варламов, А.И.Власов, М.М.Ермилов, А.И.Манаков. XXIX Международная олимпиада «Туймаада». Физика. Теоретический тур. Методическое пособие под ред. А.В.Чудновского – М.-Якутск, 2022; А.В.Чудновский, Р.Е.Аванесян, А.Б.Акимов, С.Д.Варламов, А.И.Власов, М.М.Ермилов, В.В.Ефимов, С.И. Кошоридзе. XXХ Международная олимпиада «Туймаада». Физика. Теоретический тур. Методическое пособие под ред. А.В. Чудновского – М.- Якутск, 2023.

44

КВА НT 2023/№9

Ниже представлены теоретические задачи для старшей лиги.

Теоретический тур 2022 года

Задача 1. Центр масс загружаемой платформы Платформа массой M 2000 кг и длиной L 80 м движется без трения с начальной скоростью $v_{0}^{1}$ м с. Когда платформа уже на 3 4 своей длины проехала загрузочный люк, тот открылся и из него начал сыпаться щебень с расходом $P^{100}$ кг с. Найдите скорость $v_{c} t$ центра масс системы, состоящей из платформы и высыпавшегося щебня, в зависимости от времени после открытия люка. Приведите ответ в общем виде и для указанных численных данных. А.Манаков, А.Чудновский

Задача 2. Раскручивание резинового кольца Тонкое кольцо из резины плотностью $U^{1500}$ кг $м^{3}$ надели на шершавый цилиндр немного большего диаметра так, что кольцо растянулось и в нем возникло механическое напряжение T 6 кПа. До какой максимальной линейной скорости v можно раскрутить кольцо, вращая цилиндр вокруг своей оси? Другие тела с кольцом не взаимодействуют. А.Чудновский

Задача 3. Адиабатное падение тяжелого поршня Тяжелый поршень начинает адиабатное падение в вертикальном цилиндре, заполненном одноатомным идеальным газом (над поршнем вакуум). Отношение начальной силы давления газа на поршень к силе тяжести поршня является малой величиной M 0 01.

1. Оцените отношение $h H_{min} H_{0}$ минимальной высоты $H_{min}$ поршня над дном сосуда к начальной высоте $H_{0}$. 2) Оцените отношение $P p_{max} p_{0}$ максимального давления $p_{max}$ газа в цилиндре к начальному $p_{0}$. 3) Оцените отношение $t T_{max} T_{0}$ максимальной температуры $T_{max}$ газа в цилиндре к начальной $T_{0}$. А.Власов

Задача 4. Нагрев электромоста Из разных кусков нихромовой проволоки, покрытой одинаковой изоляцией одной и той же толщины, изготовили пять резисторов, соединили их по мостовой схеме (рис.1) и

Рис. 1

подключили к источнику постоянного напряжения. В каждом из четырех описанных ниже опытов найдите разность между максимальной и минимальной температурами резисторов, если температура центрального резистора в тот же момент времени была выше комнатной на ’ $T_{5}^{10}$ мК. В качестве ответа укажите численные значения, округленные до целого числа милликельвинов. 1) Диаметры всех кусков проволоки одинаковы, а длины пропорциональны номерам резисторов. Измерение всех температур производится через малое время после замыкания цепи. 2) Диаметры всех кусков проволоки одинаковы, а длины пропорциональны номерам резисторов. Измерение всех температур производится через большое время после замыкания цепи. 3) Длины всех кусков проволоки одинаковы, а диаметры пропорциональны номерам резисторов. Измерение всех температур производится через малое время после замыкания цепи. 4) Длины всех кусков проволоки одинаковы, а диаметры пропорциональны номерам резисторов. Измерение всех температур производится через большое время после замыкания цепи. С.Варламов

46

КВА НT 2023/№9

амплитуду А колебаний груза после увеличения числа свободных витков на ’ N? 1. Оцените (приблизительно) время t, прошедшее с момента освобождения первого из изначально скрепленных витков до момента завершения колебаний с амплитудой A. А.Власов

Задача 4. Урановый шар Урановый шар теплопроводностью k и радиусом R, помещенный в поток воды при температуре $T_{0}$, облучается потоком нейтронов так, что в результате реакции деления ядер выделяется объемная мощность q. Найдите зависимость установившей температуры T шара от расстояния r до его центра. А.Чудновский

Задача 5. Газовый тройник Маленький симметричный тройник соединяет три одинаковых сосуда с разреженным гелием. Все трубки тройника симметрично заполнены пористым материалом, пронизанным множеством параллельных каналов, диаметр которых много меньше длины свободного пробега молекул. В центре тройника имеется свободное от пористого материала небольшое пространство. Попадание молекулы в канал с любой стороны означает, что у молекулы есть определенная вероятность вылететь из этого канала назад через то же отверстие и дополнительная к ней вероятность вылететь через противоположное отверстие этого канала, причем эти вероятности не зависят от температуры и одинаковы для всех каналов. Изначально гелий во всех трех сосудах имел давление $p_{0}$ и некоторую одну и ту же температуру. Затем, поддерживая прежнюю температуру в первом сосуде и внутри тройника, повысили температуру во втором сосуде в два раза, а в третьем – в три раза. Какие давления $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ и $p_{4}$ установятся соответственно в трех сосудах и в свободном пространстве внутри тройника через большое время? С.Варламов

Задача 6. Заряженные многогранники 1) На гранях непроводящего куба с ребром a равномерно распределены заряды q, 2q, 3q, 4q, 5q и 6q, причем сумма зарядов на каждой паре противоположных граней равна 7q. Найдите модуль напряженности $E_{1}$ электрического поля в центре куба. 2) По одной грани правильного тетраэрда равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью $V_{1}$, а по остальным трем граням – с поверхностной плотностью $V_{3}$. Найдите модуль напряженности $E_{2}$ электрического поля в центре тетраэдра. С.Варламов, М.Ермилов

Задача 7. Растекание потока На круглую пластину, имеющую малую толщину h и изготовленную из материала с удельным сопротивлением U, падает однородный поток заряженных частиц общей силой тока $I_{0}$. Цилиндрическая граница пластины заземлена и имеет нулевой потенциал. Найдите потенциал $M_{0}$ в центре пластины и тепловую мощность $P_{0}$, выделяющуюся в пластине. М.Ермилов

Задача 8. Ртутное зеркало телескопа Знаменитый американский физик-экспериментатор Роберт Вуд в 1908 году построил оригинальный телескоп-рефлектор. На дне колодца в одном из коровников он установил в качестве зеркала телескопа вращающееся вокруг вертикальной оси блюдо со ртутью и наблюдал звездное небо через отверстие в крыше. С помощью такого зеркала в одном из своих опытов он получил на фотопластинке изображение Луны диаметром d 3 5 см. С какой угловой скоростью Z в этом опыте вращалось блюдо со ртутью? Лунный диск с Земли виден под углом J 0 5 q. Ускорение свободного падения g 9 8 м $с^{2}$. В.Ефимов

Публикацию подготовили А.Чудновский,

Ю.Григорьев, Е.Неустроев

49

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 1

жирной линии он распадается на пять прямоугольников размером 1 u 3. 4. Поскольку разных фигурок разное количество, какая-то фигурка использована больше остальных. Назовем ее главной. Если фигурок любой другой формы хотя бы на две меньше, то каждый пленник видит, какая фигурка главная. Если все нарисуют ее, среди них будут и угадавшие верно. Пусть это не так и, например, главная фигурка – квадрат, следующая по числу – круг, причем кругов ровно на один меньше, чем квадратов. Тогда пленники с квадратами на лбу будут видеть одинаковое количество кругов и квадратов и не смогут определить наверняка главную фигурку (остальные, как и раньше, будут видеть, какая фигурка главная, и могут нарисовать ее). Для этого случая есть несколько спасительных алгоритмов. Первый – из двух кандидатов в главные фигурки назвать ближайшую по часовой стрелке. Докажем, что хоть кто-то угадает. Будем учитывать только квадраты и круги, игнорируя остальных пленников. Может ли после каждого квадрата по часовой стрелке следовать круг? Нет, так как квадратов больше. Тот пленник с квадратом, после которого по часовой стрелке следует квадрат, угадает и всех спасет. Работает и противоположный алгоритм: из двух кандидатов в главные фигурки называть не ту, которая ближе всего по часовой стрелке. Для доказательства тоже рассмотрим лишь круги и квадраты. Как минимум в одном месте после пленника с квадратом следует по часовой стрелке пленник с кругом. Этот пленник с квадратом верно нарисует свою фигурку.

Калейдоскоп «Кванта»

Вопросы и задачи

1. Предмет, стоящий на трех ножках, не будет дрожать на любом, даже кривом полу, а стоящий на четырех – может трястись. А поскольку во время концертов рояль передвигают по сцене, то его устойчивость, отсутствие вибрации играют существенную роль.

РЕШЕНИЯ

2. Волны от двух ветвей камертона интерферируют на погашение. 3. Частоту камертона легко определить по высоте его тона, проигрывая ноты на музыкальном инструменте, например на баяне, и сравнивая их высоты. 4. Колебания воздуха внутри барабана, возбуждаемые первой мембраной, действуют на вторую. Но ее колебания сначала тормозят воздух в барабане, а значит, и первую мембрану, которая приостанавливается, затем начинает снова колебаться, но уже в противотакт с соседкой, отбирая у нее энергию. Мембраны меняются ролями, пока колебания не затухнут. 5. Язык удлинили, при этом увеличив его массу. Ударяя по колоколу, он начинал двигаться медленнее и уже не в фазе с самим колоколом. Звон был восстановлен. 6. Звук, порождаемый шагами марширующих солдат и оркестром, требует некоторого времени на свое распространение. Скорость же звука в воздухе на много порядков меньше скорости света. 7. Волны, излучаемые басами и барабанами, имеют большую длину волны и, дифрагируя, могут огибать более длинные объекты по сравнению с волнами, излучаемыми флейтами и кларнетами. 8. Звуковые волны, излучаемые разными источниками, некогерентны, поэтому они не интерферируют и не сливаются. 9. Высота тона зависит также от того, насколько сильно вдувается в трубу воздух, подобно тому, как в струне она обуславливается силой ее натяжения. 10. На скрипке можно извлекать множество звуков, зажимая струны в тех или иных местах пальцами, тем самым меняя их длину. В арфе или пианино длина струн неизменна, но зато в них достаточно велико число струн различной длины. 11. Струны виолончели длиннее, массивнее и не так туго натянуты, как у скрипки, поэтому колеблются они медленней, чем скрипичные. Эти невысокие длинноволновые музыкальные тона требуют большего резонирующего объема. 12. Чтобы набор собственных частот инструмента был как можно богаче. 13. Струны на морозе уменьшаются в длине. 14. При натяжении струны увеличивается сила упругости. А это приводит к росту частоты колебаний. 15. Смычок то сцепляется со струной, то отрывается от нее. В моменты скольжения она может свободно колебаться. 16. Чтобы увеличить трение смычка о струну и улучшить условия возбуждения ее колебаний.

56

КВАНТ 2023/№9

сумма всех чисел в таблице по модулю 3 не меняется. Если хотя бы одно из чисел m или n делится на 3, то возьмем таблицу, в которой одно число равно 1, а все остальные – нули. В конце мы должны получить таблицу из одинаковых чисел, т.е. сумма чисел должна стать кратна 3. Но в начальной позиции сумма равна 1, поэтому сделать это не получится. Пусть оба числа m и n не делятся на 3. Докажем, что в этом случае таблицу всегда можно сделать одноцветной. Вычислим сумму чисел в исходной позиции. Заметим, что какой бы остаток при делении на 3 она ни давала, можно заполнить таблицу либо нулями, либо единицами, либо двойками и получить сумму с тем же остатком. Это позволяет сразу выбрать цвет, в который мы будем перекрашивать таблицу. Сначала перекрасим в нужный цвет нижнюю строку, используя уголки, которые занимают в ней одну клетку. После этого аналогично перекрасим вторую снизу строку, затем третью и т.д. до предпоследней. Для покраски верхней строки будем действовать следующим образом. Возьмем уголок, занимающий левую верхнюю клетку и две клетки в предпоследней строке, и перекрасим его несколько раз, чтобы левая верхняя клетка стала нужного цвета. Затем возьмем уголок, занимающий вторую клетку в верхней строке и те же две клетки в предпоследней, и с его помощью вернем этим двум клеткам нужный цвет. В итоге мы перекрасим верхнюю левую клетку, не испортив раскраску предыдущей строки. Двигаясь так слева направо, перекрасим все клетки верхней строки, кроме последней, а она автоматически окажется нужного цвета. 12. а) Предположим, что на всех гранях разное количество уголков. На каждой грани 24 единичных отрезка, из которых 12 принадлежат только этой грани. Значит, каждая грань содержит от 6 до 12 уголков. На этом отрезке семь чисел, их сумма равна 6 7 8 9 10 11 12 63, а так как всего уголков 54, то «лишним» является число 9. Поставим каркас куба на стол так, чтобы внизу оказалась грань, на которой 12 уголков. Они покрывают целиком ребра этой грани, поэтому нижний ряд из 12 вертикальных отрезков на боковых гранях составлен из 12 уголков, горизонтальные стороны которых находятся над этим рядом. Тогда и второй ряд на боковых гранях составлен таким же способом, а значит, и третий тоже. Но это означает, что на всех боковых гранях по девять уголков. Противоречие. б) Поставим каркас куба на стол одной гранью к

нам. Покрасим все вертикальные отрезки в синий цвет, все отрезки, которые идут слева направо, – в красный, а все, которые идут спереди назад, – в зеленый. Каждый уголок состоит из отрезков двух разных цветов. Пусть сине-зеленых уголков x, сине-красных – y, а краснозеленых – z. Тогда всего на каркасе x y синих отрезков, y z красных и z x зеленых, а так как отрезков всех цветов поровну, то x y y z z x. Значит, x y z, т.е. уголков всех типов поровну, а именно, по 96: 3 32. Предположим, что на всех гранях разное количество уголков. На каждой грани 40 единичных отрезков, из которых 24 принадлежат только этой грани. Значит, каждая грань содержит от 12 до 20 уголков. Из доказанного выше следует, что на парах противоположных граней количества уголков должны принадлежать одной из пар 12, 20, 13, 19, 14, 18 или 15, 17. Рассмотрим две грани с самым маленьким количеством уголков. Они находятся в разных парах, поэтому имеют общее ребро. Без ограничения общности будем считать, что это ребро синее. На этих двух гранях не больше 13 14 27 уголков, каждый из них содержит один синий отрезок. При этом они должны содержать все внутренние синие отрезки граней и общее ребро, а это суммарно 28 отрезков. Противоречие. 13. Можно. Пронумеруем строки поля числами от 1 до 111 снизу вверх, а столбцы – слева направо. Начнем с 11-й строки и будем двигаться вверх, делая в каждой строке десять выстрелов в столбцы 11, 21, …, 101. Предположим, что, действуя так, мы не попадем в корабль. Выстрелы по одной строке мы делаем с шагом 10, а корабль перемещается только на одну клетку, поэтому для каждой строки есть хотя бы один выстрел, который производится в столбец, где находится корабль. В такой момент для выстрела по 11-й строке корабль должен быть полностью выше этой строки, а для выстрела по 101-й строке – полностью ниже. Значит, есть две соседние строки, для которых при таком выстреле корабль сначала находится выше первой из них, а потом ниже второй. Для этого корабль должен сместиться вниз не менее 11 раз. Тогда такие выстрелы не могут быть произведены в один столбец, поскольку в один и тот же столбец делается каждый десятый выстрел. Значит, выстрел по второй строке должен быть правее, причем хотя бы на 20 клеток, однако для этого корабль должен сместиться еще хотя бы десять раз по горизонтали, а за это время мы перейдем уже на строку выше. Противоречие.