Задачи 1—4

10

КВАНТ 2023/№9

будущие физики-экспериментаторы. Самым талантливым из них (по мнению самого Кирхгофа) был русский физик Александр Григорьевич Столетов (1839– 1896), основавший первую в России научную физическую лабораторию при Московском университете. Он дважды работал в лаборатории Кирхгофа (еще в Гейдельберге) и под его руководством подготовил докторскую диссертацию по электрическим и магнитным свойствам веществ. Кирхгоф был дважды женат. Первый раз он женился в 30-летнем возрасте, когда стал профессором Гейдельбергского университета. Но в 1869 году жена умерла, оставив пятерых детей (от четырех до четырнадцати лет). И Кирхгоф был вынужден сам воспитывать детей. Положение осложнялось тем, что в это время он уже потерял подвижность. Второй раз Кирхгоф женился в 1872 году. Жена окру-

жила его и его детей вниманием и заботой, обеспечив ему возможность еще 15 лет успешно продолжать теоретические работы, преподавать, писать научные статьи и учебники и руководить кафедрой математической физики. Кирхгоф скончался в Берлине 17 октября 1887 года. Память о нем сохраняется в названиях улиц в Берлине, Гейдельберге и Бад-Дюркнхайме, а также в именах лунного кратера и астероида. Но главная память – законы, которым научная общественность присвоила имя Кирхгофа и внесла во все серьезные учебники физики, химии и электротехники. Восстанавливается память о нем и в его родном бывшем немецком Кёнигсберге, ныне российском городе Калининграде, и в Балтийском федеральном университете имени Иммануила Канта.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: [email protected]. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

1. Чему может равняться сумма наименьшего и наибольшего из углов одного треугольника? Укажите множество возможных значений.

Е.Бакаев

2. У Фелониуса Грю живут 33 миньона, все они весят одинаково. Однажды один из них стащил у Грю банан и съел его, но Грю не знает, кто это сделал. У него есть большие чашечные весы без гирь, на которых он может взвешивать любое количество миньонов. Однако если миньоны оказываются на одной чаше весов, они ссорятся и больше на одну чашу одновременно их ставить нельзя. Как Грю за четыре взвешивания найти воришку, если после съеденного банана он весит больше остальных?

А.Грибалко

3. Каменщик выложил стенку без дырок и полостей из одинаковых кирпичей 1 u 1 u 2. Но некоторые кирпичи он положил вдоль, некоторые поперек, некоторые вертикально, т.е. длинное ребро кирпича параллельно одному из трех направлений. Могло ли оказаться, что кирпичей каждого из трех типов поровну, если размеры стенки: а) 3 u 8 u 10; б) 3 u 9 u 10?

М.Евдокимов

4. Таблица 100 u 100 заполнена целыми числами. Для каждой пары 1 d i d 100, 1 d j d 100 найдется прямоугольник i u j с нулевой суммой чисел. Какое наименьшее количество нулей может быть в таблице?

Е.Бакаев

13

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

телей $s_{n}^{2} 1$ и $s_{n} 2$ следует, что $s_{n} 2$ – целое число.

Периодичность последовательностей Сомоса

Пусть $m p_{1} J^{1} p_{2} J^{2}$ … $p_{l} J^{l}$ – каноническое разложение числа m на простые множители. Тогда периодичность последовательности по модулю m равносильна тому, что последовательность периодична по каждому из модулей вида $p_{i} J^{i} (i 1, 2,$ …, l). Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением модулей, которые являются степенями простого числа. Задача 13. Последовательность ^ $a_{n}$ периодически повторяется по каждому из модулей $p_{i} J^{i} (i 1, 2,$ …, l). Докажите, что последовательность ^ $a_{n}$ будет периодической и по модулю $m p_{1} J^{1} p_{2} J^{2}$ … $p_{l} J^{l}$. Попробуем выяснить, как ведет себя произвольная последовательность Сомос-4 по модулю p J, где p – простое число и J t 1. Будем далее предполагать, что ^ $s_{n}$ – это целочисленная последовательность. Если все элементы последовательности делятся на простое p, то от ^ $s_{n}$ имеет смысл перейти к последовательности $s_{n} p^{k}$, где k – максимально возможная степень p, на которую делятся все числа $s_{n}$. Такой переход равносилен изменению начальных условий, рекуррентное соотношение, задающее последовательность, при этом не изменится. Эту операцию можно проделать для всех простых чисел p. В итоге получится последовательность, все элементы которой не имеют общих делителей. Будем называть такие последовательности примитивными. Теорему 2 мы докажем в следующей, немного более общей формулировке. Теорема 6. Пусть p – простое число, J t 1 и ^ $s_{n}$ – примитивная последовательность Сомос-4, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (1), в котором DE, p 1. Тогда остатки, которые элементы последовательности ^ $s_{n}$ дают при делении на p J, периодически повторяются. Из равенства (32) следует, что для того, чтобы значение величины T было коррек-

^

`

СОМОСА

тно определено по модулю p J J t 1, достаточно, чтобы в последовательности ^ $s_{n}$ нашлось три подряд идущих члена $s_{n} 1, s_{n}, s_{n} 1$, взаимно простых с p. Оказывается, что для примитивных последовательностей (при дополнительном условии на коэффициент E ) это всегда возможно. Следующее утверждение представляет собой модификацию леммы 1. Лемма 2. Пусть p – простое число и ^ $s_{n}$ – примитивная последовательность Сомос-4, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (1) с целыми коэффициентами такими, что DE, p 1. Тогда в этой последовательности всегда можно выбрать три подряд идущих элемента, взаимно простых с p. Доказательство. Отметим сначала, что в последовательности ^ $s_{n}$ не может быть двух подряд идущих элементов, кратных p. Действительно, если $p s_{n} 2$ и $p s_{n} 1$, то из уравнения (1) и условия E, p 1 следует, что $p s_{n}$. Повторяя это рассуждение, мы получаем, что все элементы последовательности ^ $s_{n}$ делятся на p. Таким образом, сделанное предположение противоречит условию примитивности последовательности ^ s n . Если найдутся два числа, кратные p, у которых номера отличаются на три, то снова приходим к противоречию. Действительно, если $p s_{n} 2$ и $p s_{n} 1$, то из уравнения (1) и условия E, p 1 следует, что $p s_{n}$. Значит, два подряд идущих элемента $s_{n}$ и $s_{n} 1$ делятся на p, что, как мы уже доказали, невозможно. Предположим, что в последовательности ^ $s_{n}$ найдутся два элемента, кратных p и идущих через один. Если $p s_{n} 2$ и $p s_{n}$, то из уравнения (1) и условия D, p 1 сле- дует, что $p s_{n} 1 s_{n} 1$. Тогда p делит $s_{n}$ и один из соседних элементов, что снова приводит к противоречию: на p делятся либо два соседних элемента последовательности, либо два элемента, номера которых отличаются на три. Из доказанных утверждений следует, что номера двух элементов последователь-