Заключительный этап LVI Всероссийской олимпиады школьников по физике

39

ОЛИМПИАДЫ

11 (6–8 класс). Клетки прямоугольной таблицы m u n покрашены в три цвета: синий, красный, зеленый. За один ход можно выбрать три клетки, образующие уголок, и одновременно перекрасить их следующим образом: синие клетки – в красный цвет, красные – в зеленый, зеленые – в синий. При каких m и n можно сделать таблицу одноцветной, независимо от первоначальной раскраски? О.Манжина

12 (6–8 класс). а) Есть 54 уголка, которые представляют собой два отрезка длины 1, соединенные в концах под прямым углом. Из них собрали каркас куба с ребром длины 3, каждая грань которого разбита на единичные квадраты. Докажите, что если каждый уголок находится целиком на одной из граней куба, то на каких-то двух гранях уголков поровну. б) Та же задача для 96 уголков и куба с ребром длины 4. А.Грибалко

13 (8 класс). На клетчатом поле 111 u 111 находится невидимый корабль 11 u 11. Разрешается производить выстрел в любую клетку. Если выстрел попал в корабль, то он считается уничтоженным и игра заканчивается. Если же выстрел был неточен, то после него корабль смещается на одну клетку по горизонтали или по вертикали (в пределах

доски). Можно ли за несколько выстрелов гарантированно уничтожить корабль? А.Грибалко

14 (8 класс). Вневписанная окружность с центром в точке $I_{a}$ касается катета AB прямоугольного треугольника ABC в точке $A_{0}$. Вневписанная окружность с центром в точке $I_{c}$ касается катета CB в точке C 0. Прямые $I_{a} A 0$ и $I_{c} C 0$ пересекают гипотенузу AC в точках $A_{1}$ и $C_{1}$, а друг друга – в точке P. Докажите, что середина AC лежит на вневписанной окружности треугольника $A_{1} PC_{1}$. Д.Швецов

15 (8 класс). Внутри равностороннего треугольника отметили 2022 точки и выписали все расстояния от этих точек до сторон треугольника. Могут ли выписанные числа образовывать в некотором порядке арифметическую прогрессию? А.Грибалко

16 (6–8 класс). На столе по кругу лежат 20 неразличимых на вид монет. Известно, что ровно две из них фальшивые. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые тоже, но они легче настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, лежат фальшивые монеты рядом или нет? А.Грибалко, К.Кноп, Н.Чернятьев

Подробную информацию о турнире можно найти на сайте tursavina.ru Публикацию подготовил А.Грибалко

Заключительный этап LVI Всероссийской олимпиады школьников по физике

Теоретический тур

9 класс

Задача 1. Отрыв См. задачу Ф2765 «Задачника «Кванта». Задача 2. Аквариум на пружинах См. задачу Ф2769 «Задачника «Кванта». Задача 3. Холодильник В тонкостенном цилиндрическом сосуде с внутренним радиусом R под поршнем находится столб воды высотой $h_{1}$ при температуре $t_{0} 0 q C$. Поршень и дно цилиндра теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки пропорциональна площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды: N D S ’ t, где D – известная константа. Цилиндр вертикально ставят в холодильник, начальная температура в котором $t_{1} 0 q C$. Далее температуру в холодильнике изменяют так, что поршень цилиндра перемещается с постоянной скоростью. Лед, образующийся в цилиндре, не мешает свободному движению поршня. Более того, лед не всплывает над поверхностью воды, а упирается в пор-

42

КВА НT 2023/№9

Рис. 5

положительный заряд с постоянной поверхностной плотностью V. Центр непроводящего шара радиусом $R = r_{1}, r_{2}$ совпадает с центром кольца (рис.5). Шар равномерно заряжен по объему положительным зарядом Q. 1) В каких пределах изменяется модуль электрического поля на поверхности шара? 2) При каких значениях V вектор напряженности результирующего поля в точках на поверхности шара, удаленных от плоскости кольца на расстояние больше чем 0,1R, можно считать направленным вдоль оси вращения системы? Заряд Q считайте известным. Примечание. Ответы на каждый из вопросов задачи должны быть упрощены с учетом приближения $R = r_{1}, r_{2}$. Г.Расторгуев

Задача 3. Кружатся диски См. задачу Ф2772 «Задачника «Кванта». Задача 4. Адиабатическая анизотропия См. задачу Ф2771 «Задачника «Кванта». Задача 5. Туда-сюда На плоской доске, образующей с горизонтом угол D 30,0 q, находится маленькая шайба (рис.6). Коэффициент трения между

стижением основания доски соответственно. 2) Определите скорости шайбы u и $v_{1}$ в верхней точке траектории и прямо перед повторным достижением основания доски соответственно. 3) Определите время t, через которое шайба повторно достигает основания доски. Примечание. Ответ на каждый из вопросов задачи должен быть как рассчитан, так и выражен аналитически через заданные в условии величины. А.Уймин

Победители олимпиады

9 класс

Рис. 6

шайбой и доской P tg D. Вблизи основания доски шайбе сообщают скорость $v_{0} 8,00$ м с, и она движется по доске, пока снова не достигнет основания. Основание доски горизонтальное. Известно, что в моменты старта и повторного достижения основания доски вектор скорости шайбы образовывал углы $M_{0} 60,0 q$ и $M_{1} 159,3 q$ соответственно с положительным направлением оси y, направленной вверх по доске. Ускорение свободного падения g 9,80 м $с^{2}$. Шайба не вращается. 1) Определите ускорения шайбы $a_{0}$ и $a_{1}$ в момент старта и прямо перед повторным до-

Агеев Я. – Московская область, Авдеев Ф. – Москва, Кривощёков Е. – Алтайский край, Сируляев А. – Москва, Сиволапов А. – Московская область, Айрапетян В. – Московская область, Рыбаков В. – Санкт-Петербург, Науменя А. – Калининградская область, Руковчук П. – Московская область, Шнейдерман М. – Москва, Лаврентьев В. – Санкт-Петербург, Смекалин С. – Приморский край;

10 класс

Быстров М. – Московская область, Гаранов И. – Москва, Снигирь К. – Москва, Кротков Я. – Москва,