ОЛИМПИАДЫ
Избранные задачи XXVIII Турнира имени А.П.Савина
1 (7–8 класс). По кругу выстроили 28 учеников и случайным образом раздали им номера от 1 до 28. Каждый ответил «Да» или «Нет» на вопрос «Делится ли твой номер на номер соседа слева?». Верных ответов оказалось больше, чем неверных. Какое наибольшее количество учеников могло ответить «Да»? А.Шаповалов
2 (5–8 класс). Какое наименьшее число коней можно поставить на шахматной доске так, чтобы на любую свободную клетку можно было переместить одного из них, сделав не более двух ходов? М.Евдокимов
3 (7–8 класс). У Малыша было 100 осей на подставке, на каждую из которых было надето по 20 колец. При этом на 50 осях были только белые кольца, а еще на 50 – только черные. Пришел Карлсон и все перемешал в произвольном порядке. Докажите, что Малыш сможет восстановить порядок, используя дополнительно еще одну ось, если перемещать кольца можно только по одному между осями, а на каждую ось можно надеть максимум 20 колец. В.Новиков
Назовем ежом фигуру, состоящую из семи кубиков (центрального и шести соседних с ним). Оказалось, что в каждом еже белых кубиков больше, чем черных. Докажите, что и в каком-то кубе 2 u 2 u 2 белых кубиков больше, чем черных. М.Евдокимов
7 (6–8 класс). В лесу нечетное количество домов, некоторые из них соединены дорожками. В каждом доме живет гном. Гномы считаются соседями, если их дома соединены дорожкой. Однажды гномы совершили обмены и переехали в другие дома. При этом оказалось, что снова в каждом доме живет гном, и теперь гномы являются соседями в том и только в том случае, если раньше они ими не были. Докажите, что ровно один гном не сменил место жительства. А.Грибалко
8 (7–8 класс). Правильный шестиугольник разрезан более чем на 100 равносторонних шестиугольников, каждый из которых окрашен в белый или черный цвет. Верно ли, что найдутся два шестиугольника, граничащих по стороне или части стороны, которые окрашены в один цвет? М.Евдокимов
4 (7–8 класс). Дан прямоугольный треугольник ABC. Пусть Z – окружность, проходящая через вершину C и касающаяся гипотенузы AB в точке B. Докажите, что расстояние от точки A до окружности Z больше, чем расстояние от точки C до прямой AB. И.Кухарчук, А.Ершов
9 (6 класс). В течение года ученики класса сходили на N олимпиад. Каждые двое участвовали в разном количестве олимпиад, при этом каждый из них был на олимпиаде, на которой не был второй. Какое наибольшее число учеников может быть в этом классе? В.Буфеев, О.Манжина
5 (5–6 класс). В двух комнатах находилось по нескольку человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Время от времени кто-нибудь из них переходил из одной комнаты в другую и, уже находясь в комнате, произносил: «Сейчас в этой комнате лжецов больше, чем рыцарей». Могло ли оказаться, что каждый человек совершил ровно один переход из комнаты в комнату? Н.Чернятьев
10 (7–8 класс). Цифры от 0 до 9 зашифрованы в каком-то порядке буквами от A до J. За один вопрос разрешается назвать несколько различных букв и узнать зашифрованную запись их суммы. Например, если A 5, B 6, C 1, то можно, назвав A и B, узнать, что их сумма равна CC. Саша предполагает, что цифры зашифрованы по порядку, т.е. A 0, B 1 и т.д. Может ли он, задав три вопроса, подтвердить или опровергнуть свою гипотезу? А.Грибалко, А.Заславский
6 (5–7 класс). Из 64 белых и черных единичных кубиков сложен куб 4 u 4 u 4.