Olympic quốc tế XXIX và XXX dành cho học sinh “Tuymaada”

43

Thế Vận Hội

Bakhvalov A. – Vùng Moscow, Chaika M. – Moscow, Prokhorov P. – Moscow, Prokhorchenko M. – Vùng Moscow, Zhiganov G. – Vùng Sverdlovsk;

lớp 11

Potapov E. - Moscow (lớp 10), Bobkov V. - Moscow (lớp 10), Dushanin A. - Vùng Moscow, Dolya V. - Vùng Moscow, Ivshin A. - Vùng Moscow, Myakutin I. - Moscow, Ershov A. - Vùng Moscow, Gavrilov D. - Vùng Moscow, Burtsev R. - Vùng Moscow.

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Slobodyanin

Olympic quốc tế XXIX và XXX dành cho học sinh “Tuymaada”

ER

T IO NA

NA L O

$LY M P I A_{D}$ ”

T UY

MA A

D

A ”

Vào tháng 7 năm ngoái năm 2022, Olympic Quốc tế Tuymaada về vật lý, toán học, khoa học máy tính và hóa học đã được tổ chức từ xa và vào tháng 7 năm nay, 2023, lại được tổ chức theo hình thức toàn thời gian. Những người tham gia Olympic Vật lý, như thường lệ, thi đấu ở hai giải: cấp cao và cấp trung học (ban giám khảo phân chia người tham gia vào các giải đấu tùy theo độ tuổi và lớp học). Theo chương trình của Olympic Vật lý, người tham gia có thể được cung cấp bài toán về bất kỳ chủ đề nào có trong chương trình giảng dạy chuyên sâu ở trường. Các tác giả của bài toán gốc (cả lý thuyết và thử nghiệm) có thể gửi chúng đến ủy ban phương pháp luận ([email protected]) - bài toán tốt nhất sẽ được đưa vào bộ cuối cùng và sẽ được xuất bản sau Olympic trên các tạp chí giáo dục. Bài viết được biên soạn trên cơ sở các đồ dùng dạy học sau:

IN T

Vật lý

A.V. Chudnovsky, R.E. Avanesyan, S.D. Varlamov, A.I. Vlasov, M.M. Ermilov, A.I. Manaka. Olympic quốc tế XXIX “Tuymaada”. Vật lý. Chuyến tham quan lý thuyết. Hướng dẫn phương pháp, ed. A.V. Chudnovsky - M.-Yakutsk, 2022; A.V. Chudnovsky, R.E. Avanesyan, A.B. Akimov, S.D. Varlamov, A.I. Vlasov, M.M. Ermilov, V.V. Efimov, S.I. Koshoridze. Olympic quốc tế XXXX “Tuymaada”. Vật lý. Chuyến tham quan lý thuyết. Hướng dẫn phương pháp, ed. A.V. Chudnovsky - M. - Yakutsk, 2023.

44

KVA NT 2023/Số 9

Dưới đây là bài toán lý thuyết cho giải đấu cấp cao.

Chuyến tham quan lý thuyết 2022

Bài toán 1. Trọng tâm của bệ chịu tải Một bệ có khối lượng M 2000 kg và chiều dài L 80 m chuyển động không ma sát với tốc độ ban đầu $v_{0}^{1}$ ms. Khi bệ đã dài được 3 4 chiều dài so với cửa xếp hàng, nó mở ra và đá dăm bắt đầu đổ ra khỏi bệ với tốc độ dòng $P^{100}$ kg s. Tìm vận tốc $v_{c} t$ của khối tâm của hệ gồm bệ và đá vụn đổ ra, tùy thuộc vào thời gian sau khi mở cửa sập. Cho đáp số ở dạng tổng quát và cho dữ liệu số đã chỉ định. A. Manova, A. Chudnovsky

Bài toán 2. Tháo vòng cao su Một vòng cao su mỏng có khối lượng riêng $U^{1500}$ kg $м^{3}$ được đặt trên một hình trụ thô có đường kính lớn hơn một chút sao cho vòng bị giãn ra và xuất hiện ứng suất cơ T 6 kPa trong đó. Tốc độ tuyến tính tối đa v có thể được tháo ra bằng cách quay hình trụ quanh trục của nó? Các vật thể khác không tương tác với chiếc nhẫn. A. Chudnovsky

Bài toán 3. Sự rơi đoạn nhiệt của một pít-tông nặng Một pít-tông nặng bắt đầu rơi đoạn nhiệt trong một hình trụ thẳng đứng chứa đầy khí lý tưởng đơn nguyên tử (chân không phía trên pít-tông). Tỉ số giữa lực ban đầu của áp suất khí tác dụng lên piston và trọng lực của piston có giá trị nhỏ M 0 01.

1. Ước tính tỷ lệ $h H_{min} H_{0}$ của chiều cao tối thiểu $H_{min}$ của piston phía trên đáy bình với chiều cao ban đầu $H_{0}$. 2) Ước tính tỷ lệ $P p_{max} p_{0}$ của áp suất tối đa $p_{max}$ của khí trong xi lanh so với $p_{0}$ ban đầu. 3) Ước tính tỷ lệ $t T_{max} T_{0}$ của nhiệt độ tối đa $T_{max}$ của khí trong xi lanh so với $T_{0}$ ban đầu. A. Vlasov

Bài toán 4. Làm nóng cầu điện Năm điện trở được làm từ các đoạn dây nichrome khác nhau được phủ cùng lớp cách điện có cùng độ dày, được nối thành mạch cầu (Hình 1) và

Cơm. 1

được nối với nguồn điện áp không đổi. Trong mỗi thí nghiệm trong số bốn thí nghiệm được mô tả dưới đây, hãy tìm sự chênh lệch giữa nhiệt độ tối đa và tối thiểu của các điện trở nếu nhiệt độ của điện trở trung tâm tại cùng thời điểm cao hơn nhiệt độ phòng ’ $T_{5}^{10}$ mK. Đối với đáp số, hãy nhập các giá trị số được làm tròn đến số nguyên milikelvin gần nhất. 1) Đường kính của tất cả các đoạn dây đều giống nhau và chiều dài tỷ lệ thuận với số điện trở. Tất cả nhiệt độ được đo một thời gian ngắn sau khi đóng mạch. 2) Đường kính của tất cả các đoạn dây đều giống nhau và chiều dài tỷ lệ thuận với số điện trở. Tất cả nhiệt độ được đo một thời gian dài sau khi đóng mạch. 3) Chiều dài của tất cả các đoạn dây đều như nhau và đường kính tỷ lệ thuận với số điện trở. Tất cả nhiệt độ được đo một thời gian ngắn sau khi đóng mạch. 4) Chiều dài của tất cả các đoạn dây đều như nhau và đường kính tỷ lệ thuận với số điện trở. Tất cả nhiệt độ được đo một thời gian dài sau khi đóng mạch. S. Varlamov

46

KVA NT 2023/Số 9

biên độ A của dao động của tải sau khi tăng số vòng tự do thêm ’ N? 1. Ước tính (xấp xỉ) thời gian đã trôi qua kể từ thời điểm thả vòng đầu tiên của vòng quay được buộc chặt ban đầu cho đến khi kết thúc dao động có biên độ A. A. Vlasov

Bài toán 4. Quả bóng uranium Một quả bóng uranium có độ dẫn nhiệt k và bán kính R, được đặt trong dòng nước ở nhiệt độ $T_{0}$, được chiếu xạ bởi dòng neutron sao cho do phản ứng phân hạch hạt nhân, công suất thể tích q được giải phóng. Tìm sự phụ thuộc của nhiệt độ T đã xác định của quả bóng vào khoảng cách r tới tâm của nó. A. Chudnovsky

Bài toán 5. Ống nối khí Một ống nối nhỏ đối xứng nối ba bình giống hệt nhau với khí heli loãng. Tất cả các ống của ống chữ T đều được lấp đầy một cách đối xứng bằng vật liệu xốp, được xuyên qua bởi nhiều kênh song song, đường kính của chúng nhỏ hơn nhiều so với đường đi tự do của các phân tử. Ở trung tâm của tee có một khoảng trống nhỏ không có vật liệu xốp. Sự xâm nhập của một phân tử vào một kênh từ bất kỳ phía nào có nghĩa là phân tử đó có một xác suất nhất định thoát khỏi kênh này trở lại qua cùng một lỗ và có thêm xác suất thoát qua lỗ đối diện của kênh này và những xác suất này không phụ thuộc vào nhiệt độ và giống nhau đối với tất cả các kênh. Ban đầu, khí heli trong cả ba bình đều có áp suất $p_{0}$ và một số nhiệt độ như nhau. Sau đó, duy trì cùng nhiệt độ trong bình thứ nhất và bên trong tee, họ tăng nhiệt độ ở bình thứ hai lên gấp đôi và ở bình thứ ba - gấp ba lần. Áp suất nào $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ và $p_{4}$ sẽ được thiết lập tương ứng trong ba bình và trong khoảng trống bên trong tee sau một thời gian dài? S. Varlamov

Bài toán 6. Khối đa diện tích điện 1) Trên các mặt của khối lập phương không dẫn điện có cạnh a, các điện tích q, 2q, 3q, 4q, 5q và 6q phân bố đều và tổng điện tích trên mỗi cặp mặt đối diện là 7q. Tìm độ lớn cường độ điện trường $E_{1}$ tại tâm hình lập phương. 2) Một điện tích có mật độ bề mặt $V_{1}$ được phân bố đồng đều dọc theo một mặt của hình tứ giác đều và có mật độ bề mặt $V_{3}$ dọc theo ba mặt còn lại. Tìm độ lớn cường độ điện trường $E_{2}$ tại tâm của tứ diện. S. Varlamov, M. Ermilov

Bài toán 7. Trải dòng chảy Một dòng hạt tích điện đồng nhất có tổng cường độ dòng điện $I_{0}$ rơi trên một tấm tròn có độ dày nhỏ h và được làm bằng vật liệu có điện trở suất U. Ranh giới hình trụ của tấm được nối đất và không có điện thế. Tìm điện thế $M_{0}$ tại tâm tấm và nhiệt năng $P_{0}$ toả ra trong tấm. M. Ermilov

Bài toán 8. Gương kính viễn vọng thủy ngân Nhà vật lý thực nghiệm nổi tiếng người Mỹ Robert Wood đã chế tạo một chiếc kính thiên văn phản xạ nguyên bản vào năm 1908. Dưới đáy giếng ở một trong những chuồng bò, ông lắp một đĩa thủy ngân quay quanh một trục thẳng đứng làm gương kính viễn vọng và quan sát bầu trời đầy sao qua một lỗ trên mái nhà. Sử dụng một chiếc gương như vậy trong một thí nghiệm của mình, ông đã thu được hình ảnh của Mặt trăng trên một tấm ảnh có đường kính d 3 × 5 cm. Đĩa thủy ngân quay với vận tốc góc Z bằng bao nhiêu trong thí nghiệm này? Đĩa mặt trăng có thể nhìn thấy từ Trái đất ở góc J 0 5 q. Gia tốc trọng trường g 9 8 m $с^{2}$. V. Efimov

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi A. Chudnovsky,

Yu. Grigoriev, E. Neustroev

49

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

Cơm. 1

đường dày, nó chia thành năm hình chữ nhật có kích thước 1 x 3. 4. Vì có số lượng hình khác nhau nên một số hình được sử dụng nhiều hơn những hình khác. Hãy gọi nó là cái chính. Nếu có ít nhất hai hình có hình dạng khác thì mỗi tù nhân sẽ xem hình nào là hình chính. Nếu mọi người đều rút ra thì trong số đó sẽ có người đoán đúng. Giả sử điều này không xảy ra và, ví dụ, hình chính là hình vuông, số tiếp theo là hình tròn và có đúng một hình tròn ít hơn hình vuông. Khi đó, những tù nhân có hình vuông trên trán sẽ nhìn thấy số hình tròn và hình vuông như nhau và không thể xác định chắc chắn hình chính (những người còn lại, như trước, sẽ xem hình nào là hình chính và có thể vẽ hình đó). Có một số thuật toán tiết kiệm cho trường hợp này. Đầu tiên là gọi tên người gần nhất theo chiều kim đồng hồ trong hai ứng cử viên cho nhân vật chính. Hãy chứng minh rằng ít nhất có người có thể đoán được. Chúng tôi sẽ chỉ tính đến các hình vuông và hình tròn, bỏ qua các tù nhân còn lại. Mỗi hình vuông có thể được theo sau bởi một hình tròn theo chiều kim đồng hồ không? Không, vì có nhiều hình vuông hơn. Người tù có hình vuông theo sau là hình vuông theo chiều kim đồng hồ sẽ đoán đúng và cứu được mọi người. Thuật toán ngược lại cũng hoạt động: trong số hai ứng cử viên cho các số liệu chính, hãy đặt tên cho số liệu gần nhất theo chiều kim đồng hồ. Để chứng minh điều này, chúng ta cũng sẽ chỉ xét hình tròn và hình vuông. Ở ít nhất một nơi, tù nhân có hình vuông được theo sau bởi tù nhân có hình tròn theo chiều kim đồng hồ. Người bị giam cầm với một hình vuông này sẽ vẽ hình của mình một cách chính xác.

Kính vạn hoa «Kvant»

Câu hỏi và bài toán

1. Một vật đứng bằng ba chân sẽ không rung chuyển trên bất kỳ sàn nào, kể cả một vật bị cong, nhưng một vật đứng bằng bốn chân thì có thể rung chuyển. Và vì đàn piano được di chuyển quanh sân khấu trong các buổi hòa nhạc nên tính ổn định và thiếu rung của nó đóng một vai trò quan trọng.

GIẢI PHÁP

2. Sóng từ hai nhánh của âm thoa cản trở sự tuyệt chủng. 3. Tần số của âm thoa có thể được xác định dễ dàng bằng cao độ của âm thanh bằng cách chơi các nốt trên một nhạc cụ, chẳng hạn như đàn accordion và so sánh cao độ của chúng. 4. Các rung động không khí bên trong trống, được kích thích bởi màng thứ nhất, tác động lên màng thứ hai. Nhưng các dao động của nó trước tiên làm chậm không khí trong trống, và do đó màng đầu tiên dừng lại, sau đó bắt đầu dao động trở lại, nhưng phản tác dụng với màng lân cận, lấy đi năng lượng từ nó. Các màng thay đổi vai trò cho đến khi hết rung động. 5. Lưỡi được kéo dài ra đồng thời tăng khối lượng của nó. Khi nó đập vào chiếc chuông, nó bắt đầu chuyển động chậm hơn và không còn cùng pha với chiếc chuông nữa. Tiếng chuông đã được phục hồi. 6. Âm thanh do bước đi của quân lính và dàn nhạc tạo ra phải mất một thời gian mới lan truyền được. Tốc độ truyền âm trong không khí nhỏ hơn nhiều lần so với tốc độ ánh sáng. 7. Sóng phát ra từ bass và trống có bước sóng dài hơn và do nhiễu xạ, có thể uốn cong xung quanh các vật thể dài hơn so với sóng phát ra từ sáo và kèn clarinet. 8. Sóng âm phát ra từ các nguồn khác nhau không mạch lạc nên không giao thoa hay hòa vào nhau. 9. Cao độ của âm thanh cũng phụ thuộc vào cường độ không khí được thổi vào đường ống, giống như lực căng của dây quyết định. 10. Bạn có thể tạo ra nhiều âm thanh trên đàn violin bằng cách dùng ngón tay ấn vào dây ở những vị trí nhất định, từ đó thay đổi độ dài của chúng. Trong đàn hạc hoặc đàn piano, độ dài của dây không đổi nhưng chúng có số lượng khá lớn các dây có độ dài khác nhau. 11. Dây đàn cello dài hơn, to hơn và không bị căng chặt như dây đàn violin nên dao động chậm hơn dây đàn violin. Những âm thanh có âm vực thấp, sóng dài này đòi hỏi âm lượng cộng hưởng lớn hơn. 12. Sao cho tập hợp tần số tự nhiên của nhạc cụ càng phong phú càng tốt. 13. Dây giảm độ dài khi thời tiết lạnh. 14. Khi dây căng thì lực đàn hồi tăng. Và điều này dẫn đến sự gia tăng tần số dao động. 15. Cây cung chạm vào sợi dây hoặc đứt ra khỏi sợi dây. Trong thời điểm trượt, nó có thể dao động tự do. 16. Để tăng ma sát của dây cung trên dây và cải thiện các điều kiện kích thích dao động của nó.

56

KVANT 2023/№9

tổng các số trong bảng modulo 3 không thay đổi. Nếu ít nhất một trong các số m hoặc n chia hết cho 3 thì hãy lập một bảng trong đó một số là 1 và tất cả các số còn lại đều bằng 0. Cuối cùng, chúng ta sẽ nhận được một bảng gồm các số giống nhau, tức là tổng của các số phải là bội số của 3. Nhưng ở vị trí ban đầu, tổng bằng 1 nên điều này sẽ không hiệu quả. Giả sử cả hai số m và n đều không chia hết cho 3. Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này, bảng luôn có thể được tô một màu. Hãy tính tổng các số ở vị trí bắt đầu. Lưu ý rằng bất kể số dư nào nó cho khi chia cho 3, bạn có thể điền vào bảng bằng số 0, số 1 hoặc số 2 và nhận được tổng có cùng số dư. Điều này cho phép bạn chọn ngay màu mà chúng ta sẽ sơn lại bảng. Đầu tiên, hãy sơn lại dòng dưới cùng theo màu mong muốn, sử dụng các góc chiếm một ô trong đó. Sau đó, tô màu tương tự hàng thứ hai từ dưới lên, rồi đến hàng thứ ba, v.v. cho đến hàng áp chót. Để vẽ đường trên cùng chúng ta sẽ tiến hành như sau. Chúng ta hãy lấy góc chiếm ô phía trên bên trái và hai ô ở dòng áp chót rồi tô màu lại nhiều lần để ô phía trên bên trái có màu mong muốn. Sau đó, chúng ta lấy góc chiếm ô thứ hai ở hàng trên cùng và hai ô tương tự ở hàng áp chót, và với sự trợ giúp của nó, chúng ta đưa hai ô này về màu mong muốn. Kết quả là chúng ta sẽ tô màu lại ô trên cùng bên trái mà không làm hỏng màu của hàng trước đó. Di chuyển từ trái sang phải, chúng ta sẽ tô màu lại tất cả các ô ở hàng trên cùng ngoại trừ ô cuối cùng và nó sẽ tự động có màu mong muốn. 12. a) Giả sử tất cả các mặt đều có số góc khác nhau. Mỗi mặt có 24 đoạn đơn vị, trong đó 12 đoạn chỉ thuộc về mặt này. Điều này có nghĩa là mỗi mặt có từ 6 đến 12 góc. Có bảy số trên đoạn này, tổng của chúng là 6 7 8 9 10 11 12 63 và vì có tổng cộng 54 góc nên số “phụ” là 9. Chúng ta hãy đặt khung của khối lập phương lên bàn sao cho ở dưới cùng có một mặt có 12 góc. Chúng bao phủ toàn bộ các cạnh của mặt này nên hàng dưới cùng gồm 12 đoạn thẳng đứng ở các mặt bên được tạo thành từ 12 góc, các cạnh ngang của chúng nằm phía trên hàng này. Sau đó, hàng thứ hai ở các mặt bên được bố cục theo cách tương tự, nghĩa là hàng thứ ba cũng vậy. Nhưng điều này có nghĩa là có chín góc trên tất cả các mặt bên. Sự mâu thuẫn. b) Đặt khung hình lập phương lên bàn sao cho một mặt quay về phía

chúng ta. Hãy tô màu xanh lam cho tất cả các đoạn thẳng đứng, tất cả các đoạn đi từ trái sang phải - màu đỏ và tất cả các đoạn đi từ trước ra sau - xanh lục. Mỗi góc bao gồm các phân đoạn có hai màu khác nhau. Gọi các góc xanh lam là x, các góc xanh lam đỏ là y và các góc xanh lục đỏ là z. Sau đó, khung chứa các phân đoạn x y màu xanh lam, y z phân đoạn đỏ và z x xanh lục, và vì có các phân đoạn bằng nhau của tất cả các màu, nên x y y z z x. Điều này có nghĩa là x y z, tức là các góc của tất cả các loại đều bằng nhau, cụ thể là 96: 3 32. Giả sử rằng tất cả các mặt đều có số góc khác nhau. Trên mỗi mặt có 40 đoạn đơn vị, trong đó 24 đoạn chỉ thuộc về mặt này. Điều này có nghĩa là mỗi mặt có từ 12 đến 20 góc. Từ những gì đã chứng minh ở trên, suy ra rằng trên các cặp mặt đối diện thì số góc phải thuộc một trong các cặp 12, 20, 13, 19, 14, 18 hoặc 15, 17. Xét hai mặt có số góc nhỏ nhất. Chúng ở thành từng cặp khác nhau nên chúng có cạnh chung. Không mất tính tổng quát, ta giả sử cạnh này có màu xanh. Hai mặt này có không quá 13 14 27 góc, mỗi mặt chứa một đoạn màu xanh. Hơn nữa, chúng phải chứa tất cả các đoạn màu xanh lam bên trong của các mặt và cạnh chung, và đây là tổng cộng 28 đoạn. Sự mâu thuẫn. 13. Bạn có thể. Hãy đánh số các dòng của trường bằng số từ 1 đến 111 từ dưới lên trên và các cột từ trái sang phải. Hãy bắt đầu từ hàng thứ 11 và tiến lên, bắn mười phát mỗi hàng vào các cột 11, 21, …, 101. Giả sử rằng làm như vậy chúng ta sẽ không bắn trúng tàu. Chúng tôi bắn vào một hàng với số lượng tăng dần là 10 và tàu chỉ di chuyển một ô, vì vậy đối với mỗi hàng có ít nhất một phát bắn vào cột nơi đặt tàu. Lúc này muốn bắn vào vạch 11 thì tàu phải hoàn toàn ở trên vạch này, còn bắn vào vạch 101 thì phải hoàn toàn ở bên dưới. Điều này có nghĩa là có hai đường liền kề mà với cách chụp như vậy, con tàu đầu tiên ở trên đường đầu tiên, sau đó ở dưới đường thứ hai. Để làm được điều này, con tàu phải di chuyển xuống ít nhất 11 lần. Khi đó, những phát bắn như vậy không thể được bắn vào một cột, vì cứ mười phát bắn đều được bắn vào cùng một cột. Điều này có nghĩa là phát bắn ở dòng thứ hai phải ở bên phải và ít nhất 20 ô, nhưng để làm được điều này, con tàu phải di chuyển theo chiều ngang ít nhất mười lần nữa và trong thời gian này chúng ta sẽ di chuyển đến dòng trên. Sự mâu thuẫn.