Bài toán M2834—M2837; F2841—F2844

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2834–M2837 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của LI Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn Toán.

Bài toán M2834–M2837, F2841–2844

M2834. Gọi một tập hợp số là may mắn nếu không thể chia nó thành hai nhóm không trống sao cho tích của tổng các số trong nhóm này và tổng các số trong nhóm kia là dương. Giáo viên viết một số số nguyên lên bảng. Chứng minh rằng trẻ có thể cộng thêm một số nguyên nữa vào các số hiện có để tập kết quả thành công. A. Kuznetsov

M2835. Trong mỗi ô vuông của bảng 2 u 200 có một đồng rúp. Dasha và Sonya chơi, thay phiên nhau di chuyển, Dasha bắt đầu. Trong một lần di chuyển, bạn có thể chọn bất kỳ đồng xu nào và di chuyển nó: Dasha di chuyển đồng xu đến ô liền kề theo đường chéo, Sonya - sang ô liền kề ở bên cạnh. Nếu hai đồng xu nằm trong cùng một ô, một trong số chúng sẽ ngay lập tức bị xóa khỏi bảng và thuộc về Sonya. Sonya có thể dừng trò chơi bất cứ lúc nào và lấy tất cả số xu nhận được. Chiến thắng lớn nhất mà cô ấy có thể nhận được là gì, bất kể Dasha chơi như thế nào? A. Kuznetsov

M2836. Các đường cao BD và CE của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại điểm H (Hình 1), các đường cao của tam giác ADE cắt nhau tại điểm F, điểm M –

Hình 1

giữa cạnh BC. Chứng minh, $что^{BH} CH t 2^{FM}$. A. Kuznetsov

M2837. Trên biểu đồ của hàm $y x^{2}$ chúng tôi đã đánh dấu 1000 điểm khác nhau, hoành độ của chúng là các số nguyên từ đoạn [0; 100000]. Chứng minh rằng có thể chọn sáu điểm đánh dấu khác nhau $A, B, C, A c, B c,^{C} c$ sao cho diện tích của các tam giác ABC và A c B c C c bằng nhau. A. Tereshin

F2841. Có một cái nêm trên một mặt phẳng nằm ngang gồ ghề (Hình 2). Vòng đệm được đặt trên mặt phẳng nghiêng thô của nêm và vòng đệm được thông báo

Hình 2