Giải đấu thành phố XLVI

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XLVI

Bài toán chuyến du lịch mùa thu

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1 (4)^{1}$. Cho hình ngũ giác ngoại tiếp ABCDE. Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường chéo AC. Chứng minh rằng AB + BC > CD + DE + EA. E. Bakaev

2 (4). Có 100 viên đá xếp thành một hàng: đen, trắng, đen, trắng,…, đen, trắng. Trong một thao tác, hãy chọn hai viên đá đen, trong đó chỉ có những viên đá trắng và sơn lại tất cả những viên đá trắng này thành màu đen, hoặc chọn hai viên đá trắng, giữa đó chỉ có những viên đá đen và sơn lại tất cả những viên đá đen này thành màu trắng. Liệu sau một vài thao tác như vậy có thể thu được một hàng trong đó có 50 viên đá đen đầu tiên và sau đó là 50 viên đá trắng không? E. Bakaev

3 (4). Xem bài toán M2818 “Bài toán Kvant. 4 (5). Mẹ và con trai đang chơi. Đầu tiên, con trai cắt một miếng phô mai nặng 300 g thành 4 miếng. Sau đó mẹ chia 280 g bơ vào 2 đĩa. Cuối cùng, con trai đặt các miếng phô mai vào cùng một đĩa. Con sẽ thắng nếu số phô mai trên mỗi đĩa ít nhất bằng số bơ (nếu không mẹ sẽ thắng). Ai trong số họ có thể thắng, bất kể thế nào những hành động khác? A. Shapovalov

5 (5). Bộ này bao gồm các góc ba ô giống hệt nhau, các ô trung tâm được nhuộm bằng sơn. Tấm ván hình chữ nhật được phủ một lớp với các góc không vượt ra ngoài tấm ván, sau đó các góc được loại bỏ. Những ô vuông bẩn để lại dấu vết trên bảng. Có phải luôn luôn có thể tìm ra từ những dấu vết này chính xác các góc được đặt như thế nào không? A. Gribalko

1 Trong ngoặc đơn sau số bài toán, số điểm được trao cho lời giải đầy đủ của nó được biểu thị. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm cho các điểm khác nhau của một bài toán được tổng hợp).

lớp 10–11

1 (3). Xem bài toán 2 phương án cơ bản lớp 8 – 9. 2 (4). Hai đa thức có hệ số thực có hệ số cao nhất bằng 1. Mỗi đa thức có bậc lẻ và bằng số nghiệm thực phân biệt của nó. Tích các giá trị của đa thức thứ nhất tại các nghiệm của đa thức thứ hai là 2024. Tìm tích của các giá trị của đa thức thứ hai tại các nghiệm của đa thức thứ nhất. S.Yanzhinov

3 (5). Có 5 số tự nhiên viết liên tiếp. Mỗi số trong số chúng, ngoại trừ số đầu tiên, là số tự nhiên nhỏ nhất không chia hết cho số trước. Tất cả năm số có thể khác nhau? B.Frenkin

4 (5). Trong tam giác đều ABC, vẽ các đoạn ED và GF (Hình 1)

Hình 1

sao cho tạo thành hai tam giác đều ADE và GFC có cạnh 1 và 100 (điểm E và G nằm trên cạnh AC). Các đoạn thẳng EF và DG cắt nhau tại điểm O và góc EOG bằng 120°. Cạnh của tam giác ABC là gì? M. Evdokimov

5 (5). Có những chiếc cân không có trọng lượng và hai đống đá không rõ khối lượng, mỗi đống có 10 viên đá. Bạn được phép cân bao nhiêu lần tùy thích, nhưng không được đặt quá 9 viên đá vào mỗi bát.

45

Thế Vận Hội

Có phải luôn luôn có thể tìm ra đống nào nặng hơn hoặc thiết lập được sự bằng nhau về khối lượng của chúng? S. Dorichenko

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1 (4). Nam tước Munchausen lấy một vài tấm thẻ và viết một số tự nhiên lên mỗi tấm thẻ (các số có thể lặp lại). Nam tước tuyên bố rằng ông chỉ sử dụng hai số khác nhau, nhưng khi ông tìm thấy tổng các số trên chúng của mỗi cặp thẻ, thì trong số các chữ số đầu tiên của những tổng này có tất cả các số từ 1 đến 9. Liệu lời của nam tước có đúng không? M. Didin

2 (6). Xem bài toán M2821 a) “Bài toán Kvant. 3 (7). Trong tam giác nhọn ABC, các điểm I và O được đánh dấu - tâm của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tương ứng (Hình 2). AI trực tiếp và CI lại giao nhau -

6 (10). Xem bài toán M2820 “Bài toán Kvant. 7 (10). Cho trước là hai dãy số dương vô hạn tăng dần nghiêm ngặt trong đó mỗi số hạng, bắt đầu từ số thứ ba, bằng tổng của hai dãy số trước đó. Biết rằng mỗi dãy số đều chứa ít nhất một số không thuộc dãy số kia. Số chung lớn nhất mà các dãy số này có thể có là bao nhiêu? B.Frenkin

lớp 10–11

1 (4). Petya viết một số tự nhiên lên bảng. Mỗi phút Vasya nhân số cuối cùng được viết trên bảng với 2 hoặc 3 và ghi kết quả lên bảng. Petya có thể chọn một số bắt đầu sao cho tại bất kỳ thời điểm nào trong số tất cả các số được viết trên bảng, số bắt đầu bằng 1 hoặc 2 lớn hơn số bắt đầu bằng 7, 8 hoặc 9, bất kể Vasya hành động như thế nào? M. Didin

2 (6). Bàn cờ ca rô số 20 và 20 được chia thành các quân domino hai ô vuông. Chứng minh rằng có một đường thẳng nào đó chứa tâm của ít nhất 10 quân domino này. A.Yuran

Hình 2

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm N và M. Các đoạn thẳng MN và BO cắt nhau tại điểm X. Chứng minh hai đường thẳng XI và AC vuông góc nhau. F.Ivlev

4. a) (5) Xem bài toán M2819 a) “Bài toán Kvant. b) (3) Xem bài toán M2819 b) “Bài toán Kvant. 5 (8). Trên mỗi cạnh của đa giác lồi dựng một hình tam giác, đỉnh thứ ba của tam giác này là giao điểm của các đường phân giác. Hình. hai góc của đa giác liền kề với cạnh này. Chứng minh rằng các tam giác này cùng nhau bao phủ toàn bộ đa giác. E. Bakaev

3 (7). Biết rằng mọi hình bình hành hình chữ nhật đều có tính chất: bình phương thể tích của nó bằng tích diện tích ba mặt có một đỉnh chung. Có hình bình hành nào có cùng đặc tính nhưng không phải là hình chữ nhật không? A. Bufetov

4 (8). Có tồn tại một dãy vô hạn các số thực $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, … sao cho $a_{1} 1$ và với mọi k tự nhiên thì đẳng thức a k a 2 k a 3 k a 4 k } đúng không? I. Lobatsky

5 (10). Cho một hình tròn $Z_{1}$ và bên trong nó – một hình tròn $Z_{2}$ (Hình 3). Chọn một vòng tròn tùy ý $Z_{3}$, chạm vào hai vòng tròn trước đó và cả hai lần chạm đều là nội bộ. Các điểm tiếp tuyến được nối bởi một đoạn thẳng và qua giao điểm của đoạn thẳng này với đường tròn $Z_{2}$ vẽ một tiếp tuyến với $Z_{2}$