Kvant
升学备考

1969年工业大学数学入学考试。

Тонян В. А.

Kvant 1970 年第 5 期第 45-47 页标签 X9Q6

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关于福斯特
考试
数学方面
技术方面
1969 年的大学
V·A·托尼扬

MIEM 考试

在本文中，我们将讨论莫斯科电子工程学院 (MIEM) 的数学入学考试。

与大多数技术学校一样，申请者要参加两项数学考试：笔试和口试。书面作业时间为 4 小时（4×60 分钟）。

请注意，所有提出的问题和任务均不会超出批准的入学考试计划。

下面我们列出了 1969 年提供的各种笔试版本中的问题，指出了申请人最常犯的错误。

选项0

  1. 摩托车手和自行车手同时从 A 点和 B 点向对方行驶，在距离 AB 中心 12 公里处相遇。摩托车骑手的速度比自行车骑手的速度高32公里/小时。如果骑摩托车的人晚一个小时离开，他们就会在半路上相遇。求距离AB。

  2. 解方程
    x=a−a2−xx2+a2.x = a - \sqrt{a^2 - x \sqrt{x^2 + a^2}}.

  3. 解决不平等问题
    log⁡327arctgx⋅log⁡3arctgx>2.\log_{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{27}}{\arctg x} \cdot \log_{\sqrt{3}} \arctg x > 2.

  4. 解方程
    sin⁡4+3x−x2+cos⁡4+3x−x2=2.\sin \sqrt{4 + 3x - x^2} + \cos \sqrt{4 + 3x - x^2} = \sqrt{2}.

  5. 半径为 R 和 r 的两个圆的圆心位于直角三角形的斜边上。一个圆圈接触两条腿，另一个圆圈接触腿和第一个圆圈。找出三角形的边。

让我们提出这些问题的解决方案。

  1. 我们用x表示speedster的速度，用2S表示speedster AB的速度；那么摩托车手的速度就是x+32。如果摩托车手在会面之前花费的时间等于t，那么从问题的条件我们得到
    xt=S−12,xt = S - 12,
    (x+32)t=S+12.(x + 32)t = S + 12.

如果动机iklist 晚一个小时离开，他会在会议前花费 t1t_1 小时，而动机iklist 会花费 (t1−1)(t_1-1) 小时，因此
(x+32)t1=S,(x + 32)t_1 = S,
x(t1+1)=S.x(t_1+1) = S.

求解这个系统，我们得到S=48S=48公里。

事实证明，这项任务对于申请人来说很容易。绝大多数的申请者都解决了这个问题。然而，许多繁琐的方程组都是由于符号选择不当造成的。

  1. 通过将该方程两边平方，我们得到
    x2−2ax=−xx2+a2x^2 - 2ax = -x \sqrt{x^2 + a^2}
    或者
    x(2a−x−x2+a2)=0.x(2a - x - \sqrt{x^2 + a^2}) = 0.

从这里
x1=0x_1 = 0 和 2a−x=x2+a22a - x = \sqrt{x^2 + a^2}。

再次平方，我们得到3a2=4ax3a^2 = 4ax或a(3a−4x)=0a(3a-4x)=0。现在如果a=0，

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那么 x2−любое число,x_2 - \text{любое число}, 如果 a≠0a \neq 0 那么
x2=34a.x_2 = \frac{3}{4} a.

当执行变换（平方）时，我们可能会违反等价性，因此必须检查找到的根x1,x2,x3x_1, x_2, x_3。

  1. x1=0x_1 = 0。我们将值 x1x_1 代入原方程。那么左边就是0，右边就是：
    a−a2=a−∣a∣={0при a≥0,2aпри a<0.a - \sqrt{a^2} = a - |a| = \begin{cases} 0 & \text{при } a \geq 0, \\ 2a & \text{при } a < 0. \end{cases}

  2. 若a=0a = 0，则等式左边为xx，右边为：
    −−xx2=−−x∣x∣={−−x2при x>0,−x2при x≤0.- \sqrt{-x \sqrt{x^2}} = -\sqrt{-x |x|} = \begin{cases} -\sqrt{-x^2} & \text{при } x > 0, \\ -\sqrt{x^2} & \text{при } x \leq 0. \end{cases}

  3. 将值x3=34ax_3 = \frac{3}{4} a代入，我们发现左侧等于34a\frac{3}{4} a，右侧为：
    a−a2−34a916a2+a2={a−a216=34aпри a>0,a−31a216+a+a314при a<0.a - \sqrt{a^2 - \frac{3}{4} a \sqrt{\frac{9}{16} a^2 + a^2}} = \begin{cases} a - \sqrt{\frac{a^2}{16}} = \frac{3}{4} a & \text{при } a > 0, \\ a - \sqrt{\frac{31 a^2}{16}} + a + \frac{a \sqrt{31}}{4} & \text{при } a < 0. \end{cases}

回答。若a>0a > 0，则x1=0x_1 = 0，x3=34ax_3 = \frac{3}{4} a；如果a=0a = 0，则x≤0x \leq 0。

申请人在求解这个方程时犯的一个更典型的错误是没有检查x1,x2,x3x_1, x_2, x_3的发现值。当使用上述方法求解该方程时，验证是解决问题的一个组成部分。

  1. 表示log⁡3\log \sqrt{3} arcctg x=tx = t，我们得到t2−3t+2<0t^2 - 3t + 2 < 0，因此1<t<21 < t < 2。
    回到变量xx，我们可以写
    3<arcctgx<3\sqrt{3} < \text{arcctg} x < 3
    我们得到答案：arcctg3<x<arcctg3\text{arcctg} 3 < x < \text{arcctg} \sqrt{3}。

  2. 要求4+3x−x2≥04 + 3x - x^2 \geq 0给我们−1≤x≤4-1 \leq x \leq 4。

现在，将加法公式应用到左侧，我们得到
2sin⁡(4+3x−x2+π4)=2,\sqrt{2} \sin \left(\sqrt{4 + 3x - x^2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2},
在哪里
4+3x−x2=π4+2πn.\sqrt{4 + 3x - x^2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.
这意味着n≥0n \geq 0是必要的。

解这个无理方程，我们得到
x=3±25−4(2πn+π4)22;x = \frac{3 \pm \sqrt{25 - 4 \left(2\pi n + \frac{\pi}{4}\right)^2}}{2};
从这里
(2nπ+π4)2=254.\left(2n\pi + \frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{25}{4}.
因此，n=0n = 0和x1,2=6±100−π24x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{100 - \pi^2}}{4}。

通过检查我们可以很容易地验证这两个值都是方程的根。

在求解这个方程时，许多人得到了等式（1），但只有部分对该方程的构造研究留下了对应于n=0n = 0的解。

  1. 令ABCABC为给定三角形，→ACB\rightarrow ACB为直线，OO和O1O_1为半径为RR和rr的圆心； DD 和 EE – 腿 CACA 圆的切点。让我们画出EF∥ABEF \parallel AB并表示→BAC=α\rightarrow BAC = \alpha。然后从△FDE\triangle FDE我们有
    sin⁡α=R−rR+r.\sin \alpha = \frac{R - r}{R + r}.

注意到CD=RCD = R并表示AC=bAC = b，我们从△ODA\triangle ODA获得
tgα=Rb−R.\text{tg} \alpha = \frac{R}{b - R}.

由(1)和(2)我们可以写出
1+(Rb−R)2=(R+rR−r)2,1 + \left(\frac{R}{b - R}\right)^2 = \left(\frac{R + r}{R - r}\right)^2,
由此，求解 bb，我们得到
b=R[1+2RrR−r].b = R \left[1 + \frac{2\sqrt{Rr}}{R - r}\right].

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running_head:
folio:

现在您可以找到另一边和斜边。 （我们建议您自己检查计算。）

最后，我们提出了 1969 年入学考试中提供的一些书面作业选项。

选项1

  1. 两名游客同时朝同一个方向离开这座城市。第一个游客每公里的行程都比第二个游客快 20 分钟。第一个游客走了一段路后折返，走了1公里后又往同一个方向走。当第一个游客追上第二个游客时，第二个游客已经走了 0.5 小时。第一个游客步行 1 公里需要多少分钟？

  2. 解方程

sin⁡4+3x−x2+cos⁡4+3x−x2=2.\sin \sqrt{4 + 3x - x^2} + \cos \sqrt{4 + 3x - x^2} = \sqrt{2}.

  1. 解决不平等问题

log⁡2(x2−3x−4)log⁡2(x+17)≤1.\frac{\log_2(x^2 - 3x - 4)}{\log_2(x + 17)} \leq 1.

  1. 解决不平等问题

sin⁡22x(ctgx−tgx)>2cos⁡2x.\sin^2 2x (\text{ctg} x - \text{tg} x) > 2 \cos 2x.

  1. 三角形帕拉酰胺的侧边相互垂直。 paramid的高度为hh。求围绕 paramid 外接的球体的半径。

选项2

  1. 两名挖掘机的任务是在 3 小时 36 分钟内挖一条沟渠。然而，第一个开始工作时，第二个已经挖了一半，就停止了挖掘。结果，7.5小时就把沟挖好了。每个挖掘机需要多少小时才能挖一条沟渠？

  2. 解方程

3+2tgx−tg2x=1+3tgx2.\sqrt{3 + 2 \text{tg} x - \text{tg}^2 x} = \frac{1 + 3 \text{tg} x}{2}.

  1. 解决不平等问题

log⁡log⁡2x(log⁡22x−72log⁡2x+4516)<1.\log_{\log_2} x \left( \log_2^2 x - \frac{7}{2} \log_2 x + \frac{45}{16} \right) < 1.

  1. 解决不平等问题

\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \cos^2 x}{4 \sin^2 x - 3} < 0.

  1. 求正截角三角形Paramid的体积，如果其大于底边的边等于aa，侧面与底平面形成的二面角等于π/6\pi/6，Paramid的高度等于a/12a/12。

选项3

  1. 两辆自卸车需要在3小时20分钟内转移货物，但第二辆自卸车迟到了，当第一辆自卸车已经转移了总货物的2/5时才到达装货地点。此后，只有第二辆自卸车运载了剩余的货物。整个货物的运输耗时8个小时。每辆自卸车需要多少小时才能单独运输全部货物？

  2. 解方程

cos⁡(cos⁡x)=1−2cos⁡(cos⁡x).\sqrt{\cos(\cos x)} = 1 - 2 \cos(\cos x).

  1. 解决不平等问题

log⁡13x(log⁡22x−19log⁡13x+84)<1.\log_{\frac{1}{3}} x \left( \log_2^2 x - 19 \log_{\frac{1}{3}} x + 84 \right) < 1.

  1. 解决不平等问题

\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos x - 1) + \sin^2 x}{4 \sin^2 x - 3} < 0.

  1. 一个球被描述为从底面aa 的侧面靠近正三角形paramid 且侧边与底面平面的倾斜角α\alpha 。求其体积。

选项4

  1. 两个数量同时从点 AA 和 BB 向彼此离开，并在 1.2 小时后相遇。如果第一个到达 BB 比第二个到达 AA 晚一个小时，他们每个人需要多少小时才完成ABAB 的距离。

  2. 解方程

∣cos⁡2x∣=∣sin⁡2x−14∣.|\cos 2x| = \left| \sin^2 x - \frac{1}{4} \right|.

  1. 解决不平等问题

log⁡12x2−3x+24x−10<0.\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 - 3x + 2}{4x - 10} < 0.

  1. 解决不平等问题

1+sin⁡x2−3cos⁡x24+4sin⁡x+2cos⁡x+sin⁡2x>0.\frac{1 + \sin \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}}{4 + 4 \sin x + 2 \cos x + \sin 2x} > 0.

  1. 在四边形帕拉米德的底部有一个菱形，边长为 aa，锐角为 α\alpha。所有侧面均与基面倾斜β\beta角度。找到 paramid 的完整表面。