理想气体

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理想气体

在讲这个公式是如何推导之前，我们先来看看它的含义。该公式表明，气体压力与每单位体积的分子数成正比，因此与气体体积$P \sim \frac{1}{V}$成反比（〜符号表示“正比”）。这就是波义耳-马里奥特定律。但波义耳-马里奥特定律描述了理想气体的行为。这意味着我们写的公式是正确的——

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分子与壁的碰撞

当分子与墙壁碰撞并反弹时，墙壁会受到一些动量。让我们首先假设分子以弹性方式从壁反射。 图1展示了这种打击的示意图。轴$Oz$垂直于墙壁，轴$Ox$和$Oy$以某种方式位于平面内。让我们将分子的速度分解为沿这些轴的分量。在弹性冲击过程中，入射角$\alpha$等于反射角$\beta$，因此速度分量$v_x$和$v_y$不会改变。分量 $v_z$ 在弹性冲击期间改变符号。因此，很容易计算出分子将改变其动量（运动量）
$$mv_z - mv'_z = mv_z - (-mv_z) = 2mv_z = 2mv \cos \alpha,$$
其中$v$是分子的速度。

正如你所看到的，这个问题并不难，沃特斯顿正确地解决了它。下一个承担这项任务的人（并于 1856 年出版了他的作品）是 Crang。他错误地计算出分子在撞击时将其所有动量$mv_z$转移到墙壁上，并得到了一半大的结果。

然而，人们可能会认为我们的结论做了一个非常重要的简化：我们假设影响是有弹性的。事实上，令人惊讶的是，这个假设是微不足道的。分子可以反映为碳，但结果不会改变。关于冲击弹性性质的假设不会改变结果；这使得结论非常简单。

这种显着的特性——结果独立于反射定律——是气体和容器壁（保持恒定温度）之间热平衡的结果。同样（与分子碰撞一样），最终结果 - 热平衡 - 不会根据分子从壁反射的精确程度而改变。

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分子的速度是多少？

由于作用在墙壁上的力等于传递给它的冲量除以撞击时间，因此我们实际上获得了一个公式，该公式显示了墙壁因分子撞击而受到的力。但要计算这个力，您需要知道分子的速度。当然，不同的分子有不同的速度。为了获取数据并计算气压，我们需要对分子的速度做出一些假设。已经提到的克罗尼格承认，假设所有分子都以相同的速度运动，并且每个分子都沿着平行于坐标轴的三个可能方向之一运动，这不会是一个大错误。焦耳早于克雷尼格（但晚于沃特斯顿）处理了这个问题（1851 年）。他正确地理解了分子对壁面的影响与气压之间的联系，但也无法得出正确的公式。最后，在1857年，克劳西斯在没有放弃速度相等的假设的情况下，推导出了一个新的公式，假设分子向各个方向运动。又过了两年麦克斯韦*)才得出了正确的结论。麦克斯韦做得更多。他能够理解分子如何按速度分布，即具有给定速度的分子比例。但我们在这里不讨论这个，把这个更困难的问题留给另一篇文章。

气压

现在让我们形成两个假设，这将使我们能够以与 125 年前 Waterston 几乎相同的方式获得压力公式 **)。

*) 麦克斯韦应该是 1859 年 9 月 21 日。其俄文翻译写于 1937 年出版的《气体动力学理论的创始人》文集中。

**) 到沃特斯顿有一些速度方向。

4 量子10号

就像沃特斯顿一样，我们假设当气体处于热平衡时，则：1）气体分子仅与壁面碰撞，并且彼此之间不发生碰撞，2）分子与壁面发生弹性碰撞。

让我们取一个充满气体的立方体，其边长为 1 m。说了这么多，我们已经很容易相信，结果并不取决于我们对容器采用什么公式，但如果容器的形状是立方体，则公式的推导会更容易。

让我们画一个坐标系，如图2。让我们计算红墙在 1 秒内收到的移动量。根据牛顿第二定律，它等于分子作用在壁上的力，并且由于壁的面积为 1 m²，因此这将是壁上的气体压力。

每次分子与墙壁碰撞时，它都会向墙壁传递 2mv_z 的运动量。从墙上弹回后，分子将飞向对面的分子，一段时间后 2/v_z 将再次撞击红墙。这意味着在 1 秒内，理想气体的相同分子将撞击壁 v_z/2 次。

因此，在 2/v_z 的时间内，分子会将 2mv_z 的运动量转移到壁上，并在 1 秒内

2mv_z·v_z/2 = mv_z².