用参数解决不等式...

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1. 仔细研究所有案例

假设我们需要求解 $x$ 的以下线性不等式：

$$\frac{3ax + 4}{3a + 9} < \frac{x}{a + 3} + \frac{3a - 5}{3a - 9}.$$

看起来，还有什么比这更简单的呢？遵循众所周知的校规，我们收集不等式左边所有包含 $x$ 的项，右边包含自由项：

$$\frac{3ax}{3a + 9} - \frac{x}{a + 3} < \frac{3a - 5}{3a - 9} + \frac{4}{3a + 9},$$

并原谅由此产生的不平等：

$$\frac{a - 1}{a + 3} x < \frac{a^2 - 1}{a^2 - 9}.$$

(1)

现在剩下的就是将不等式两边除以未知数的系数。

但正是在这一步——将不等式（1）两边除以未知数的系数时——需要极其小心，否则不等式包含参数。

带参数的不等式本质上是一组不等式，每个不等式都是根据给定特定值的参数获得的。想象一下，一位朋友让你用参数解决一个不等式，而他自己想到了参数值的具体数字。你不知道其意图，你的任务不是让自己感到惊讶，而是仔细检查所有可能出现的情况。一旦你解决了不等式，伙计

向您宣布他想要的参数值，您必须在您的答案中找到与该值具体相关的案例。

让我们回到我们的例子。可能有4种情况：

1. 不等式的一个或两个部分没有意义；
2. 未知数的系数等于；
3. 未知数的系数为正；
4. 未知数的系数为负。

第一个案例将发生在$a = \pm 3$。对于这些参数值，不等式（1）无解。

第二种情况发生在$a = 1$。在这种情况下，参数不等式（1）的值采用$0 \cdot x < 0$的形式，并且显然没有解。

第三种情况发生在$a < -3$或$a > 1$、$a \neq 3$。将不等式(1)两边同时除以正数$\frac{a - 1}{a + 3}$，可得：

$$x < \frac{a + 1}{a - 3}.$$

第四种情况发生在$-3 < a < 1$。将不等式(1)两边同时除以负数$\frac{a - 1}{a + 3}$，可得：$x > \frac{a + 1}{a - 3}$。

结合获得的结果，我们写下

答：若$a = 1$，$a = \pm 3$，则无解；

如果$a < -3$，$1 < a < 3$，$a > 3$，那么

$$x < \frac{a + 1}{a - 3};$$

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如果$-3 < a < 1$，则$x > \frac{a+1}{a-3}$。

给定的答案包含任意参数值的不等式 (1) 的解。这正是求解带有参数的不等式时的主要目标。

使用图 1，求解不等式$\cos x \geq a$并证明答案为：
如果$a \leq -1$，则$-\infty < x < \infty$；
如果$-1 < a < 1$则$m_1 + 2k\pi \leq x \leq m_2 + 2k\pi$，
其中$m_1 = -\arccos a$，$m_2 = \arccos a$；
如果$a = 1$，则$x = 2k\pi$；
如果$a > 1$，则无解。
($k = 0, \pm 1, \dots$)

2. 不要急于下结论

让我们看另一个简单的例子。让我们来解决不等式$\sqrt{x} > a$。人们很容易写出 $x > a^2$ 并声称该条目包含不等式的所有解。但在求解带有参数的不等式时，不要急于下结论：毕竟，$a$可以小于零；那么不等式$\sqrt{x} > a$的解将是任意非负值$x$；如果$a \geq 0$，则不等式$\sqrt{x} > a$两边同时平方是等价变换；抛光后，我们得到$x > a^2$。

答案：如果$a < 0$，则$x \geq 0$；
如果$a \geq 0$，则$x > a^2$。

现在让我们继续讨论更复杂的示例。

示例 1. 求解不等式 $\sqrt{x^2 + x} < a - x$。 (2)

解决了并且e。未知不等式定义的允许值范围$x^2 + x \geq 0$。此外，很明显，如果$a - x \leq 0$，则不等式（2）无解，因此我们将自己限制在射线$a - x > 0$。但如果满足条件
$$\begin{cases} x^2 + x \geq 0, \\ a - x > 0 \end{cases}$$ (3)

不等式(2)两边可分别表示为

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进入一个正方形（这不会导致建筑解决方案的出现）。平方并引入相似项后，我们得到：
$$(1+2a)x < a^2.$$
(4)

不等式(4)有以下解：

$$\text{ если } a = -\frac{1}{2},$$
$$\text{ то } -\infty < x < \infty;$$
$$\text{ если } a > -\frac{1}{2}, \text{ то } x < \frac{a^2}{1+2a};$$
$$\text{ если } a < -\frac{1}{2}, \text{ то } x > \frac{a^2}{1+2a}.$$

但人们不应该急于下结论并认为这已经解决了不平等问题 (2)。从找到的不等式（4）的解中，有必要显示满足条件（3）的解。为了方便进一步的工作，让我们针对任意值 $a$ 求解 $x$ 不等式系统 (3)。

系统(3)的第一个不等式有解$x \leq -1$或$x \geq 0$。第二个不等式有解$x < a$。进一步的推理取决于数字$a$相对于数字$-1$和$0$的定位。

分析$a \leq -1$、$-1 < a \leq 0$、$a > 0$情况，我们得到系统(3)的如下解：

a) 如果$a \leq -1$，则$x < a$；
b) 如果$-1 < a \leq 0$，则$x \leq -1$；
b) 如果$a > 0$，则$x \leq -1$或$0 \leq x < a$。

现在让我们从上面找到的不等式（4）的解中选择那些满足刚刚获得的条件$a$），$6$），$b$）的解。这些将是原始不等式（2）的解。

对于$a = -\frac{1}{2}$，所有实数都满足不等式（4）。条件（6）迫使我们将自己限制在$x \leq -1$的值内。因此，如果$a = -\frac{1}{2}$，则不等式（2）有解：$x \leq -1$。

对于$a > -\frac{1}{2}$，不等式(4)有解$x < \frac{a^2}{1+2a}$。根据条件（6）和（b），我们考虑两种情况：

$$-\frac{1}{2} < a \leq 0 \text{ и } a > 0.$$

在第一种情况下，我们需要找到所有满足不等式$x \leq -1$和$x < \frac{a}{1+2a}$系统的$x$。因此$x \leq -1$的值。

因此，如果 $-\frac{1}{2} < a \leq 0$，则不等式 (2) 有解 $x \leq -1$。

在第二种情况下，即对于$a > 0$，我们需要取这样的$x$来满足不等式系统之一：

$$\begin{cases} x < \frac{a^2}{1+2a}, \\ x \leq -1, \end{cases}$$
$$\begin{cases} x < \frac{a^2}{1+2a}, \\ 0 \leq x < a. \end{cases}$$

这些系统中的第一个有解决方案$x \leq -1$。为了解决第二个系统，您需要比较数字$a$和$\frac{a^2}{1+2a}$。让我们做出改变$a - \frac{a^2}{1+2a} = \frac{a(a+1)}{1+2a}$。

很明显，对于$a > 0$，这个差异是正数，因此$\frac{a^2}{1+2a} < a$。这意味着第二个系统有以下解：$0 \leq x < \frac{a^2}{1+2a}$。

因此，如果$a > 0$，则不等式(2)有解$x \leq -1$；
$$0 \leq x < \frac{a^2}{1+2a}.$$

对于$a < -\frac{1}{2}$，不等式(4)有解$x > \frac{a^2}{1+2a}$。根据条件（6）和（b），我们考虑两种情况：

$$a \leq -1 \text{ и } -1 < a < -\frac{1}{2}.$$

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在第一种情况下，我们需要解决以下不等式系统：
$$\begin{cases} x > \frac{a^2}{1+2a}, \\ x < a. \end{cases}$$

但从等式（5）可知，对于$a \leq -1$，不等式$a \leq \frac{a^2}{1+2a}$有效，因此系统无解。因此，如果$a \leq -1$，则不等式（2）无解。

在第二种情况下，即对于$-1 < a < -\frac{1}{2}$，我们需要求解以下不等式组：
$$\begin{cases} x > \frac{a^2}{1+2a}, \\ x \leq -1. \end{cases}$$

我们来比较一下$\frac{a^2}{1+2a}$和$-1$的数字，我们补足差额
$$\frac{a^2}{1+2a} - (-1) = \frac{(a+1)^2}{1+2a}.$$

对于$-1 < a < -\frac{1}{2}$，这个差值是负数，这意味着$\frac{a^2}{1+2a} < -1$。

但最后一个不等式系统有以下解：
$$\frac{a^2}{1+2a} < x \leq -1.$$

这就是 $-1 < a < -\frac{1}{2}$ 情况下不等式 (2) 的解。

结合获得的结果，我们写下

答：若$a \leq -1$，则无解；

如果$-1 < a < -\frac{1}{2}$，那么
$$\frac{a^2}{1+2a} < x \leq -1;$$
如果$-\frac{1}{2} \leq a \leq 0$则$x \leq -1;$
如果$a > 0$则$x \leq -1;$
$0 \leq x < \frac{a^2}{1+2a}$.

3. 当心

示例 2. 解决不等式
$$\frac{1}{x} + ax > 1.$$

解决了并且e。让我们将不等式转化为以下形式
$$\frac{ax^2 - x + 1}{x} > 0.$$ (6)

让我们首先找到分子的根来分解分子：
$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{1-4a}}{2a};$$
$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{1-4a}}{2a}.$$

这里你需要小心，不要错过二次三项式的负判别式的情况。

这将在$a > \frac{1}{4}$。但对于所有 $x$，$ax^2 - x + 1 > 0$ 因此，在这种情况下，不等式 (6) 有一个解 $x > 0$。

对于$a = \frac{1}{4}$、$x_1 = x_2 = 2$，不等式(6)可以改写如下：
$$\frac{(x - 2)^2}{4x} > 0.$$

之后，不等式就有解$0 < x < 2$，$x > 2$。

现在让$a < \frac{1}{4}$。则不等式(6)变形为形式
$$\frac{a(x - x_1)(x - x_2)}{x} > 0$$ (7)

我们替换为应该区分两种情况：$a > 0$或$a < 0$（考虑$a = 0$的情况）。

如果 $0 < a < \frac{1}{4}$，则不等式 (7) 的形式为
$$\frac{(x - x_1)(x - x_2)}{x} < 0,$$
从那里（考虑到$a < 0$$x_1 < 0 < x_2$）我们得到$x < x_1; 0 < x < x_2$。

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对于$a=0$，原始不等式采用以下形式
$$\frac{1}{x} > 1.$$
解决这个不等式，我们得到：
$$0 < x < 1.$$
结合所有获得的结果，我们写下
答案：如果$a < 0$，则$x < \frac{1 + \sqrt{1-4a}}{2a}$或$0 < x < \frac{1 - \sqrt{1-4a}}{2a}$；
如果$a=0$，则$0 < x < 1$；
如果$0 < a < \frac{1}{4}$，则$x > \frac{1 + \sqrt{1-4a}}{2a}$，或$\frac{1 - \sqrt{1-4a}}{2a} > x > 0$；
如果$a = \frac{1}{4}$，则$0 < x < 2$，或$x > 2$；
如果$a > \frac{1}{4}$，则$x > 0$。

示例 3. 求解不等式 $\log_{1/2}(x^2 - 2x + a) > -3$。
解，即这个不等式等价于不等式系统
$$\begin{cases} x^2 - 2x + a > 0, \\ x^2 - 2x + a < 8. \end{cases}$$
让我们将系统重写如下：
$$\begin{cases} (x-1)^2 > 1-a, \\ (x-1)^2 < 9-a. \end{cases}$$
让我们用 $y$ 表示 $x-1$ 并以不等式链的形式重写所得系统：
$$1-a < y^2 < 9-a.$$
如果我们现在注意，我们会注意到，对于$a \geq 9$，这条链没有解，而对于$a > 1$，所有$y$都满足不等式$y^2 > 1-a$，因此$1 < a < 9$情况下链的解将是不等式$y^2 < 9-a$的解，即$-\sqrt{9-a} < y < \sqrt{9-a}$。
如果最终$a \leq 1$，那么，求解链，我们得到
$$-\sqrt{9-a} < y < -\sqrt{1-a};$$
$$\sqrt{1-a} < y < \sqrt{9-a}.$$

答案：如果$a \leq 1$，那么
$$1 - \sqrt{9-a} < x < 1 - \sqrt{1-a},$$
或$1 + \sqrt{1-a} < x < 1 + \sqrt{9-a}$；
如果$1 < a < 9$，那么
$$1 - \sqrt{9-a} < x < 1 + \sqrt{9-a};$$
如果$a \geq 9$，则无解。
示例 4. 解决不等式
$$\cos x - \frac{1}{\cos x} \leq a (a > 0).$$
（莫斯科国立大学物理系，1966）
已解决，即我们首先注意到，所有$x$满足$\cos x > 0$（然后是$\frac{1}{\cos x} \geq 1 \geq \cos x$）。
我们现在将寻找 $\cos x < 0$ 的平均值 $x$ 的解。
在这种情况下，不等式（8）的形式为
$$\cos^2 x - a \cos x - 1 \geq 0,$$
从那里我们得到$\cos x \geq \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2}$或$\cos x \leq \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$。由于我们正在考虑情况$\cos x < 0$，因此我们丢弃不等式$\cos x \geq \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2}$。

所以，$\cos x \leq \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$。我们的结论不应回避这样一个事实：对于 $a$ 的某些值，数字 $\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$ 可能会小于 -1（毕竟，在这种情况下，最后一个不等式将无解）。因此，我们还是要比较数字$\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$和-1。很容易证明$\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2} > -1$（检查一下！）。

答案：$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，或 агссos $\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2} + 2k\pi \leq x \leq 2\pi - \frac{\pi}{2}$
弧线$\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2} + 2k\pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$

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4. 不要忘记图形方法

示例 5. 解决不等式
$$2\sqrt{x+a} > x+1.$$

解决方案。 ODZ 由不等式 $x+a \geq 0$ 确定。对应于 图 2，线 $x+a=0$ 下方的半平面以这种颜色着色（该区域无解）。不等式(9)右边的符号未知；不可能将不等式两边都平方。让我们考虑两种情况：

1. $x+1 < 0$ 或 $x < -1$ — 自动满足不等式 (9)。在 图 2 上，ODZ 的相应部分被涂成橙色并指定为 I。
2. $x+1 \geq 0$ 或 $x \geq -1$。在这种情况下，您可以对不等式 (9) 两边进行平方。我们得到$4(x+a) > x^2+2x+1$，由此得到$a > \frac{1}{4}(x-1)^2$。在 图 2 处，仅在 $x \geq -1$ 处通过点绘制抛物线 $a = \frac{1}{4}(x-1)^2$（根据情况 2 的条件）。地区，

其中 图 2 上的 $a > \frac{1}{4}(x-1)^2$ 也为橙色，但指定为 II。

因此，Orzhekov 在 图 2 上着色的区域给出了一组满足不等式 (9) 的对 $(x; a)$。为了在确定 $a$ 值时获得不等式 (9) 的解，让我们通过轴 $Oa$ 上的对应点画一条平行于轴 $Ox$ 的直线。包含在“Org 区域”中的该线段的点的横坐标将是所选参数值的不等式 (9) 的解。为了写出答案，我们需要重写“orjekvuo 区域”的线性约束方程如下：$x = -a$； $x = 1 - 2\sqrt{a}$（线段$-1 \leq x \leq 1$上的抛物线分支方程）； $x = 1 + 2\sqrt{a}$（$x \geq 1$处的抛物线分支方程）。方程 $x = 1 - 2\sqrt{a}$ 和 $x = 1 + 2\sqrt{a}$ 由方程 $a = \frac{1}{4}(x-1)^2$ 推导出来。

答：若$a \leq 0$，则无解；

如果$0 < a \leq 1$，那么
$$1 - 2\sqrt{a} < x < 1 + 2\sqrt{a};$$
如果$a > 1$，则$-a \leq x < 1 + 2\sqrt{a}$。

请注意，使用这种方法，解决方案$x$和$a$是完全相等的，并且只是为了形式化答案，我们必须在它们之间“分配角色”*）。

示例 6. 解决不等式
$$\log_{\sqrt{2a}}(a + 2x - x^2) < 2.$$

解决方案。不等式的 CL 由以下条件确定：
$a > 0$, $a \neq \frac{1}{2}$, $a > x^2 - 2x$.

*) 示例 5 摘自 M. I. Bashmakov 和 Z. I. Borevich 所著的《数学竞争问题》（LSU 出版社，1968 年）。在本书中，读者会发现许多带有参数的不等式示例，其中许多都以图形方式求解。

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图 3.

对应于 图 3，这些区域是阴影的，这些线是虚线的，它们的所有点都不属于 ODZ，因此不能是不等式 (10) 的解。

如果$0 < a < \frac{1}{2}$，则不等式(10)变换为以下形式
$$a + 2x - x^2 > (\sqrt{2a})^2,$$
在哪里
$$a < -x^2 + 2x.$$

这意味着在这种情况下，不等式 (10) 由那些充当以下系统的解的 $(x; a)$ 满足：

$$\begin{cases} a > 0, \\ a < \frac{1}{2}, \\ a > x^2 - 2x, \\ a < -x^2 + 2x. \end{cases}$$

这些解决方案填充图 3 处的区域 I。

如果$a > \frac{1}{2}$，则不等式(10)变换为以下形式
$$a + 2x - x^2 < (\sqrt{2a})^2,$$
从哪里$a > -x^2 + 2x.$

这意味着在这种情况下，不等式 (10) 由那些充当以下系统的解的 $(x; a)$ 满足：

$$\begin{cases} a > \frac{1}{2}, \\ a > x^2 - 2x, \\ a < -x^2 + 2x. \end{cases}$$

这些解决方案将填充区域 II 图 3。

答：如果$a \leq 0$或$a = \frac{1}{2}$，则无解；

如果$0 < a < \frac{1}{2}$，那么
$$1 - \sqrt{1 - a} < x < 1 + \sqrt{1 - a};$$
如果$\frac{1}{2} < a \leq 1$，那么
$$1 - \sqrt{1 + a} < x < 1 + \sqrt{1 - a};$$
$$1 + \sqrt{1 - a} < x < 1 + \sqrt{1 + a};$$
如果$a > 1$，那么
$$1 - \sqrt{1 + a} < x < 1 + \sqrt{1 + a}.$$

5. 结论

当求解带有参数的不等式时，仔细检查所有情况，不要急于下结论，要小心，不要忘记图解方法。

练习

求解 $x$ 的以下不等式：

1. $2x + 3(ax - 8) + \frac{x}{3} < 4(x + \frac{1}{2}) - 5.$
2. $\frac{2ax + 3}{5x - 4a} < 4.$
3. $\left| \frac{ax - 5}{3} + x \right| < 3.$
4. $\sqrt{x} - \sqrt{x - 1} > a.$
5. $tg x + ctg x \leq a (a > 0).$
6. $\lg^2 x - 2a \lg x - a^2 + 2 > 0.$
7. $\sqrt{a^2 - x^2} + \sqrt{2ax - x^2} > a$（用图解法）。
8. $\log_x(x - a) > 2$（用图解法）。