你喜欢摆弄整数吗？

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你喜欢他妈的吗？
有整数吗？

M·I·巴什马科夫

几名小学生被要求回答以下问题：
判断等式 $3^{100} + 7^{100} = 8^{100}$ 是真还是假。
几分钟后，他们都回答说这个方程是错误的。
以下是最典型的义务。

1. 让我们看看左右数字的最后一位。 3的平方是9，3的立方是7，4次方是1，5次方是3，6次方是9，等等。四次方之后，最后一位数字重复，所以数字$3^{100}$的最后一位数字与$3^4$相同，即1。同理，很容易假设$7^{100}$的最后一位数字也是1， $8^{100}$是6。所以，这个数字的最后一位是2，右边的最后一位是6。所以，左边和右边的数字是不同的。

2. $3 + 7$大于8。但$3^2 + 7^2 = 58$小于$8^2 = 64$。接下来，$3^{100} + 7^{100} = (3^2)^{50} + (7^2)^{50} < (3^2 + 7^2)^{50} = 58^{50} < 64^{50} = 8^{100}$。我们发现左边的数字比右边的少。

3. 左边的数字可以被 2 整除，但不能被 4 整除。事实上，任何奇数的平方除以 4 时得到的余数为 1：$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$。两个这样的数$(3^{50})^2 + (7^{50})^2$相加余数为2。右边是一个能被4整除的数。

所提供的证据是否相似？很容易注意到第一个和第三个证明的相似之处：在这两个证明中，都比较除以某个整数的余数，其中一个是除以 10（最后一位数字），另一个是除以 4。但是在这个证明和第二个证明之间找到类比并不是那么容易。我们将在本文末尾尝试计算它。现在，让我们学习如何将第一种推理方法应用于其他一些问题。

“模”计算

问题a 1.证明方程$x^3 = 2 + 3 y^2$无整数解。

让我们考虑这个方程“模 9”，即，直到项是除法的倍数 *)。由于每个整数$x$的形式为$3n$、$3n - 1$或$3n + 1$，其中$n$是整数，$a(3n \pm 1)^3 = 27n^3 \pm 27n^2 + 9n \pm 1 = 9k \pm 1$，其中$k$是整数，因此任何数字的立方要么能被9整除，要么被9除后余数为1或8。

*) 一般而言，如果差值 $a - b$ 能被 $k$ 整除，则两个整数 $a$ 和 $b$ 被认为可对模 $k$ 进行比较。对于不熟悉这个概念的人，我们建议您看一下 A. A. Egorov 的文章“余数的算术”，«Kvant» No. 5，1970。

同样，从$3(3n \pm 1)^2 = 27n^2 \pm 18n + 3$开始，

$3y^2$ 除以 9 时余数为 0 或 3。因此，我们的等式模 9 的右侧只能等于 2 或 5，左侧只能等于 0、1 或 8，因此无论出于何种目的，它们都不能重合。模计算本身很容易完成。让我们制定这些计算的基本规则：如果在加（或乘）时，我们将与它们相当的数字替换为

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模 $k$，然​​后我们得到一个与模 $k$ 的和（或乘积）相当的数。换句话说，在加法和乘法运算起作用的等式中，只要在答案中我们只对除以$k$的余数感兴趣，我们就可以用与它们相当的模$k$来替换数字。

$a$ 和 $b$ 与$k$ 的模相当，可写为：$a \equiv b \pmod{k}$。比较运算的规则可以写成如下：

$$\text{если } \begin{cases} a \equiv b \pmod{k}, \\ c \equiv d \pmod{k}, \end{cases}$$

$$\text{то } \begin{cases} a + c \equiv b + d \pmod{k}, \\ ac \equiv bd \pmod{k}. \end{cases}$$

回想一下，根据定义，$a \equiv b \pmod{k}$ 意味着 $a - b = k \cdot q^*$。

会从事这样一个相当人为的任务。

任务 2. 证明对于任何整数 $x$ 都不可能存在相等 $1153^{60} + 211^{60} = 27027 \cdot 100^x + 2$。

显然，如果对于某些模数我们没有获得相等，那么它就不能在一般意义上存在。模 2 不存在矛盾 - 右边有偶数（零模 2）。将在模块 3 上工作。$1153 \equiv 1 \pmod{3} = 1153^{60} \equiv 1 \pmod{3}$; $211 \equiv 1 \pmod{3} = 211^{60} \equiv 1 \pmod{3}$。右边是$27027 \equiv 0 \pmod{3}$。因此，整个右边的余数为 2。同样，我们没有得到矛盾。如果您有足够的耐心，请确保对 16 以内的所有数字取模，所写的等式都是正确的。 （您会注意到 $27027 \cdot 100^x, x \geq 2$ 除以这些数字中的每一个，余数为 2。）

*) 小心除法比较。如果$ac \equiv bc \pmod{k}$，则$a \equiv b \pmod{k}$不一定成立。例如，$27 \equiv 3 \pmod{6}$ 但$9 \neq 1 \pmod{6}$。然而，如果$c$与模$k$互质，则可以通过$c$取消。这是这样一个温和且不简单可证明的事实的结果：如果$c$与$k$互质，则存在一个数$x$使得$cx \equiv 1 \pmod{k}$。

如果你是一致的，那么模 17 你会得到以下等式：$(-3)(-2)^x + 2 \equiv 0 \pmod{17}$。通过连续遍历 $x$ 的值（这里的循环长度为 8），你永远不会得到所需的相等性。就会发现矛盾。

完成的计算将立即引发许多问题：

(1) 如果等式为假，可以通过任何模来检测吗？

(2) 是否有可能以某种方式指出那些更有可能获得矛盾的模块？

(3) 不同模块之间的平等行为是否相关？

如果我们谈论一些特定的数值等式（就像我们第一个例子中的情况一样），那么，当然，总会有一个在模数上可比的数字与我们发现矛盾（例如，我们可以取一个大于等式公共部分的数字）。有变量的等式更有趣（最后两个例子就是这种情况）。对于整数方程，提出的三个问题都很有趣，但并不总是得到充分探讨。

有点未经证实

第一个给求解带来严重困难的整数方程是二次方程*。数学家长期以来对此类问题感兴趣：给定的数字能否表示为两个平方和？事实证明，由二阶多项式给出的 $x^2 + y^2 = a$ 形式的方程和其他更一般的方程的可解性，是检查比较可解性的证据（正

*) 线性整数方程的理论非常简单。同时，它包含许多接近基本的有趣任务，值得单独统计。

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研究有关客观数字的问题：提出这些问题“模$p$”，然后从所有$p$的行为中得出一般结论。这种奇怪的方法被称为“闵可夫斯基-哈斯原理”。它已经并继续存在一些问题，它给出了结果：当且仅当一个问题可以用任何模数解时，它才有一个数字解。更令人失望的是发现这一原则不起作用的例子。这种类型的第一个例子（但不是按时间顺序排列的第一个）是挪​​威数学家塞尔默发现的一个例子。事实证明，方程 $3x^3+4y^3+5z^3=0$ 在任何模数（当然，在实数）中都是可解的，但在数字（零除外）中是不可解的。这个例子是过去 15 年来对丢番图方程（即数值方程）的大量研究的起点。只能说，在这段时间里，不清楚的问题和假设的数量大大增加，而实际发生的事情的真正根源还没有弄清楚。

有理数之间的距离

数论最重要的现代发展是对“模计算”的新理解。为了简单起见，让我们从整数转向有理数。 （这种转变通常是轻松完成的 - 例如，方程 $x^n+y^n=z^n$ 的数字解与方程 $x^n+y^n=1$ 的有理数解非常密切相关。）显然，如果我们想求解有理数方程，我们必须找出它是否可以用实数求解。这种可解性更容易检查：您可以提取各种根，取对数，写出不等式等。

但让我们记住我们是如何从有理数得到实数的？其中一种观点是：我们可以考虑有理数序列，其相邻项之间的距离无限减小。例如，1； 1.4； 1.41； 1.4142； …这样的序列（可以想象为具有与年龄相关的精度的变化序列）确定了一个实数。序列中相邻成员之间的偏差如何变化？如果序列写成这样：$a_1; a_2; a_3; ...$，那么项之间的距离写成$|a_m-a_n|$。因此，从有理数获得实数的基础是距离，定义为差的绝对值。我们将两个数字之间的距离表示如下：$d(a, b) = |b-a|$。尝试显示以下距离属性*：

1. $d(a, b) \geq 0$，与$d(a, b) = 0 \Rightarrow a=b$；
2. $d(a, b) = d(b, a)$;
3. $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$（三角不等式）；
4. $d(a+c, b+c) = d(a, b)$;
5. $d(ab, 0) = d(a, 0) \cdot d(b, 0)$.

事实证明，除了一般的绝对值之外，有理数还有许多其他具有 1-5 属性的距离。让我们固定一个任意素数$p$。任何有理数$a$（除了零）都可以表示为$a=p^v \cdot r$，其中$v=v(a)$是整数，有理数$r=r(a)$写成

*) 这些属性中的前三个是满足平面上和空间中的一般距离的主要属性；这些是任何“度量”都必须满足的公理（参见 N.B. Vasiliev 的文章“度量空间”，«Kvant» No. 10, 1970）。实距离的第四和第五个性质与数字的加法和乘法运算。满足它们的度量称为域度量（例如，$d(b, a) = |b-a|$是实数域的度量）。

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以不可约分数的形式，$p$既不包含在分子也不包含在分母中。 （请注意，$v(a)$可以是零或负整数。例如，如果$p=3$、$a=\frac{73}{324}=3^{-4}\cdot\frac{73}{4}$，则$v(a)=-4$。）现在取任意正数$\lambda<1$。让我们将距离 $d_p$ 定义如下：$d_p(a,b)=\lambda v(a-b)$，如果$a\neq b$，则$d_p(a,a)=0$。很容易检查（自己尝试）是否满足所有距离属性。

既然有新的距离，我们可以尝试通过构造有理数序列$a_1, a_2, \ldots$来获得新的数，从而使相邻数之间的距离减小。这意味着随着$n$的增加，$\lambda v(a_{n+1}-a_n)$应该变得越来越小并趋于零，然后$v(a_{n+1}-a_n)$应该增加。

结果，我们得到了新的数字，称为 $p$-adic $^*$。它们与真实的非常相似。就像实数一样，当可以对 $p$ 进数求根、对数和执行其他运算时，就可以探索问题。根据给定素数的幂模型方程的可解性问题将被其在 $p$-adic 数中的可解性问题所取代。

问题是我们是否已经找到了有理数之间的所有距离。事实证明是的。有奥斯特洛夫斯基分母定理（你可以在上面引用的数论书籍中找到它），它表明所有距离都可以通过一个公共绝对值和我们为每个素数$p$引入的$p$进距离穷尽。

一方面，我们已经均衡了基于单个素数及其幂模型的方程的行为，以及它在普通实数中的行为

$^*)$ 很容易证明$\lambda$的选择不会影响$p$进数的容错性和性质。如果愿意的话，我们可以在任何地方假设 $\lambda=\frac{1}{2}$ 或 $\lambda=\frac{1}{p}$。

数字 - 另一方面。在这两种情况下，数字都是根据彼此之间的距离进行比较，但这些距离的选择不同。 （然后我们就会看到我们文章开头的问题的第二个和第三个解决方案是如何相似的。）

对这一事实的理解极大地丰富了数论，再次将强大的函数论和几何方法带入其中，这些方法以前是为一般实数开发的，但成功地用于$p$进数，使这个和成为现代数学最繁荣的古老分支之一。）

练习

1. 证明方程 a) $x^2+y^2=1971$, b) $19x^3-17y^3=50$, b) $3x^2-y^2=5^z$, r) $x^3+y^3+7z=3$ 均无整数解。

2. 证明从数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 不可能组成两个不同的七位数字，其中一个可以被另一个整除。 （每个数字中必须使用所有数字。）

3. 证明十进制数由三十个一、一些零和一些九组成的数字不是完全平方数。

4. 求数字之间的 5-adic 距离（即距离 $d_5$）：a) 0 和 $\frac{2}{5}$； b) $1\frac{31}{45}$ 和$6\frac{2}{15}$； b) 6 和 631。

5. 证明对于 3 进数，等式成立

$$1+3+9+27+\ldots=-\frac{1}{2}$$

（换句话说，一系列距离

$$\alpha_n=d_3\left(1+3+\ldots+3^n,-\frac{1}{2}\right)$$

趋于零）。

$1+3^2+3^4+3^6+\ldots$的和是多少？