习题 M71—M75; F83—F87

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任务

M71。 $m$ 行和 $n$ 列的矩形表格填满了数字。让我们按升序重新排列每行中的数字。证明如果您随后按升序重新排列每列中的数字，那么它们在每行中仍将按升序出现。

想想如果按照不同的顺序操作会发生什么：在原始表中，首先按升序重新排列列中的数字，然后在行中：结果会是与第一种情况相同的表，还是不同的表？

M72。解方程

$\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x} = p,$

其中 $p$ 是任意实数。

于。 I. 爱奥宁

M73。在游戏票上，您需要标记 64 个单元格中的 8 个。在抽奖后，也选择了 64 个单元格中的 8 个（我们认为所有这些可能性都是同等概率），结果恰好有 4 个单元格被猜中的概率是多少？ 5 个电池？…全部 8 个电池？

M74。多项式 $p$ 具有以下性质：对于某个数字 $a$

$p(x) = p(a-x).$

证明 $p(x)$ 可以表示为 $\left(x - \frac{a}{2}\right)^2$ 中的多项式。例如，如果 $p(x) = x^5 + (1-x)^5$ ，那么显然 $p(x) = p(1-x)$ 并且，不难检查，

$p(x) = 5y^2 + \frac{5}{2}y + \frac{1}{16},$

其中 $y = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$ 。

M75。 a) 证明在任何凸多面体中所有边的长度之和大于直径的三倍。（多面体的直径是末端位于多面体顶点的所有可能线段的长度中最长的。）

b) 证明如果凸多面体的两条边被切割，则对于其任意两个顶点 $A$ 和 $B$ ，存在一条沿着剩余边从 $A$ 到 $B$ 的折线。

d) 证明在问题 6) 中，可以选择三对没有公共顶点的折线，除了端点 $A$ 和 $B$ 之外。

A·G·库希尼连科

F83。一块质量为 $m$ 、长度为 $l$ 的木板放在水平地板上。木板与地面的摩擦系数为 $k$ 。必须做多少功才能使木板在水平面上围绕其一端旋转小角度 $\alpha$ ？

F84。 “黑盒子”（内部电路未知的盒子）有两对端子。如果电压 $U$ 施加到端子 I，则

图 1.

连接到端子 II 的具有非常高内阻的电压表将显示电压 $\frac{U}{2}$ 。如果将电压 $U$ 施加到端子II，则连接到端子I的电压表将显示 $U$ 。 “盒子”里有什么电路？

S.G.谢苗钦斯基

F85。是否可以用理想气体测试封闭过程（循环），使点 $A$ 和 $B$ (图 1) 位于同一条等温线上？

温度 $T_1$ 和 $T_2$ ，对应于图1处绘制的等温线，给出体积 $V_1$ （或 $V_3$ ）。

B·B·布霍夫采夫

F86。在密立根的实验中，重量为 $10^{-5}$ e 的液滴的位置由精度为 10 μm 的显微镜确定。确定其速度的不确定性是多少？

F87。球面波的源头以 $u$ 的速度沿水面移动。当波速高于和低于波源速度时，画出水面上的波浪图。

L·G·阿斯拉毛夫