指数方程

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指数方程通常称为指数中包含未知量（但底数不包含未知量）的方程。

求解指数方程基于以下幂属性：

如果具有相同正底且不同于一的两个幂相等，则它们的指数相等。

根据这个性质，最简单的指数方程

$$a^x = b \quad (a > 0, a \neq 1, b > 0)$$

解决如下：

$$a^x = a^{\log_a b}, \quad x = \log_a b.$$

求解指数方程的困难通常在于您需要能够看到方程左侧和右侧的共同基础。如果在等式中。

$$\left(\frac{4}{9}\right)^x \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{2}{3}$$

左右两边的公共底$\frac{2}{3}$（或$\frac{3}{2}$）立即引起人们的注意，那么在方程中

$$(0,4)^{x-1} = (6,25)^{6x-5}$$

要找到公共底数$\frac{2}{5}$（或$\frac{5}{2}$），您必须首先将小数转换为普通小数。 （完成给定示例的解；在等式（1）中，您将得到答案 $x=2$，在等式（2）中，您将得到答案 $x = \frac{11}{13}$。）

要将许多指数方程简化为最简单的方程，以下公式通常很有用：

$$a^p \cdot b^p = (ab)^p.$$

示例 1：求解方程

$$\sqrt{3^x} \cdot \sqrt{5^x} = 225.$$

解决方案e.我们将方程写成以下形式

$$3^x \cdot 5^x = 225.$$

利用公式(3)，我们得到

$$15^x = 15^2,$$

我们在哪里可以找到$x=4$。

示例 2：求解方程

$$2^3x \cdot 5^x = 1600.$$

解决方案e.我们有以下整数等价方程：

$$(2^3)x \cdot 5^x = 1600, \quad 8^x \cdot 5^x = 1600, \quad 40^x = 40^2, \quad x=2.$$

很容易将其简化为最简单的方程

$$a^{\varphi(x)} = 1 \quad (a > 0, a \neq 1).$$

为此，只需将 1 表示为 $a$ 的零次方：$1 = a^0$。

示例 3：求解方程

$$5^{x^2+x-2} = 1.$$

解决方案e.我们陆续发现

$$5^{x^2+x-2} = 5^0, \quad x^2+x-2=0, \quad x_1=-2, \quad x_2=1.$$

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例 9. 求解方程
$$3 \cdot 16^x + 36^x = 2 \cdot 81^x.$$
解决了并且e。我们看到，在这个等式中，底数 16、36、81 形成等比级数，并进行相同的幂 $x$。求解时，将方程两边同时除以 $81^x$。我们得到
$$3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} + \left(\frac{4}{9}\right)^x = 2.$$
用$y$表示$\left(\frac{4}{9}\right)^x$，我们得到根为$y_1 = -1, y_2 = \frac{2}{3}$的二次方程$3y^2 + y - 2 = 0$。我们考虑两种情况：
a) $\left(\frac{4}{9}\right)^x = -1$（无解）；
b) $\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}, \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1, 2x = 1, x = \frac{1}{2}$.
例 10. 求解方程
$$27^x + 12^x = 2 \cdot 8^x.$$
这个方程与刚刚考虑的方程很接近：底数的指数相同，但底数 27、12 和 8 不形成等比级数。数字 27、18、12 和 8 形成几何级数——我们可以假设包含 $18^x$ 的项进入方程时系数为零。

解决了并且e。 Delimm $8^x$ 上的所有项，我们得到
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{3x} + \left(\frac{3}{2}\right)^x = 2.$$
用 $y$ 表示 $\left(\frac{3}{2}\right)^x$，我们得到三次方程
$$y^3 + y - 2 = 0,$$
其左侧可以很容易地因式分解：
$$(y^3 - 1) + (y - 1) = 0,$$
$$(y - 1)(y^2 + y + 2) = 0.$$

该方程的唯一实根$y = 1$导出方程$\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$，从中我们可以找到$x = 0$。

例 11. 求解方程
$$5 \cdot 2^{3x - 3} - 3 \cdot 2^{5 - 3x} + 7 = 0.$$
解决了并且e。让我们将方程重写为以下形式
$$\frac{5}{8} \cdot 2^{3x} - \frac{96}{2^{3x}} + 7 = 0.$$
我们用$y$来表示$2^{3x}$，然​​后我们得到：
$$\frac{5}{8} y - \frac{96}{y} + 7 = 0,$$
$$5y^2 + 56y - 768 = 0,$$
$$y_1 = -19,2; y_2 = 8.$$
a) $2^{3x} = -19,2$ - 方程无解。
b) $2^{3x} = 8, 2^{3x} = 2^3, 3x = 3, x = 1.$
在上面的例子中，底数的乘积等于一，这一点是显而易见的；在下面的示例中，这一事实不太容易注意到*)。

例 12. 求解方程
$$\left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\right)^x + \left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\right)^x = 10.$$
解决了并且e。基数相乘：
$$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{25 - 24} = 1.$$
如果我们用$y$表示$\left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\right)^x$，则$\left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\right)^x = \frac{1}{\left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\right)^x} = \frac{1}{y}$。因此
*) 请注意，示例 11 和 12 中分析的方程可归因于与示例 9 和 10 中的方程相同的类型：2, 1, $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$, 1, $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ 的底形成几何级数，并提升到与 $x$ 次数相同的依赖性。

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4. $4^x - 3^{x-\frac{1}{2}} = 3^{x+\frac{1}{2}} - 2^{2x-1}$.
5. $3 \cdot 2^x + 2 \cdot 3^x = 2^{x+3} + 3^{x-2}$.
6. $9^x - 2^{x+\frac{1}{2}} = 2^{x+\frac{7}{2}} - 3^{2x-1}$.
7. $3^{x+1} + 3^{x-1} + 3^{x-2} = 5^x + 5^{x-1} + 5^{x-2}$.
8. $9^{x-1} + 3^x = 2 \cdot 3^1, 5^x$.
9. $4^x + \sqrt{x^2-2} - 5 \cdot 2^{x-1} + \sqrt{x^2-2} = 6$.
10. $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x$.
11. $3^{1-x} - 3^{1+x} + 9^x + 9^{-x} = 6$.
12. $\sqrt[x]{\left(\frac{2}{3}\right)^3} - \sqrt[x]{\left(\frac{3}{2}\right)^3} - \sqrt[x]{\frac{2}{3}} + \sqrt[x]{\frac{3}{2}} = 3$.
13. $6 \sqrt[x]{9} - 13 \sqrt[x]{6} + 6 \sqrt[x]{4} = 0$.
14. $4^x = 2 \cdot 14^x + 3 \cdot 49^x$.
15. $(\sqrt{a + \sqrt{a^2-1}})^x + (\sqrt{a - \sqrt{a^2-1}})^x = 2a$ ($a > 1$).

检查示例 12 的方程是从该方程在 $a = 5$ 处获得的。写出该方程在 $a = \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, 3, 4, 6$ 处的形式。

16. $2^x - 3^{\frac{x}{2}} = 1$.
17. $(\sin 1)^x + (\cos 1)^x = 1$.
18. $3^{x-1} + 5^{x-1} = 34$.
19. $5^{\sqrt{x}} + 12^{\sqrt{x}} = 13^{\sqrt{x}}$.
20. $10^{x^2} = 2 \cdot 100^x$.
21. $2^{x+3} - 3^{x^2} - 2 = 3^{x^2} + 1 - 2^{x-1}$.
22. $3^{x^2} + 4^{x^2} = 5^{x^2}$.
23. $x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x$.
24. $x^{\sqrt{x^2}} = (\sqrt{x})^x$.
25. $8^x + 9 \cdot 2^{x+2} = 208$.

（首先，请参见第 31 页。）

电磁体同化的下一个重要步骤是由美国物理学家乔夫·亨利 (Joeph Henry) 在 1827 年迈出的。他是第一个承包铁芯的人，不仅仅是一层，而是多层布线，并且匝本身彼此靠近放置。这可能是其他人允许的，但当时没有用绝缘材料覆盖的接线。亨利是第一个进行此类布线的人。那时，绝缘电线还没有上市，当然，很久以后才上市。据亨利的雇员、电话的发明者 F. Morse 介绍，即使在 1837 年，也只有……女帽制造商使用非裸线来制作女士帽框。亨利亲自将电线包上绝缘层。作为绝缘材料，他使用了从他妻子的衣服上剪下的丝条（当时，女性穿着长而蓬松的衣服）。这就是绝缘电线最初出现和使用的方式。从博物馆里保存的亨利的电磁体来看，他必须在很多电线上缠绕丝带。但早在 1831 年，他就报告说，他最大的电磁铁能够承受 930 公斤的负载！