2
Ленинская теория
познания
и математические понятия
В. Г. Болтянский,
Н. Х. Розов
Уже в средних классах школа становится ясным своеобразие математики по сравнению, например, с физикой. Все физические законы справедливы с некоторой степенью точности и часто при прогрессизмерительной технике заменяются новыми, по отношению к которым персональные становятся лишь первым приближением. Бессмысленно справивать себя, рациональная или irrationalна длина стержня. Для узко понятой практики irrationalные числа не нужны. В математике же теорема о том, что диагональ квадрата несоизмерима со стороны, считается очень важной. Открытие этого факта в Древней Греции считается одним из поворотных пунктов всего развития математики.
Публикуемая статья В. Г. Болтянского и Н. Х. Розова содержит попытку популярино изложить своеобразие математики с точки зрения философии диалектического материйализма. Быть может, неоторные из вас осилят посвященные этим вопросам разделы моей статьи «Matematika» в 26 томе второго издания «Больший Советской Энциклопедии».
В. И. Ленин, как вы знаете из статьи И. К. Кикона («Квант» № 4), дал подробный анализ основных философских вопросов физики. Специально философими вопросами математики Ленин не занимается. Но его общее высказывания по вопросам теории познания служат руководством и для математков.
А. Н. Колмогоров
3
Позначение окружающей нас реальной действительности, объективных законов природы и общества всегда было и остается составной и неотъемлемой частью человекаской деятельности, целью и задачей развития науки. Изучением же сложного и многогранного процесса познания, выявленем объективных законов процесхожения и формирования человеках знаний о материальном мире занимается теория познания — один из разделов философской науки.
Творческий развивая диалектикоматериалистическую теорию познания, В. И. Ленин обогатил ее новыми, основополагающими положениями, с исключительно глубиной глубиной и ясностью разработал необсячайно широкий круг связанных с ней вопросов. Это и позволяет нам с полным основанием говорить о ленинской теории познания — один из разделов философской науки.
НасOkружает материальный мир, движение и развтие которого подчиняется объективным, существующим независям от человека законам. Свойства и взаимные связи объектив материального мира прямо или косвенно воспринимаются людьми, их организми чувств, отображаются в человекаском сознании. Живое созерцание, неисредственная чувственная связь человека с объективной реальностью в процессе практической деятельности, является исходным пунктом познания, позволяет нам составить представление об окружающей действительности.
Накопленные человекаом данные опыта обращаются и обобщаются его абстрактно-лозическим мышлением. Именно мышление позволяет человеку, отталкивая от фактов, познавать то, что недоступно восприятию с помощью органов чувств, дает возможность проникать в существ предметов и явлений, выявлять связи между ними, открывать объективные законы материального мира, воспроизводить действительность.
Естественно, возникает вопрос о том, соответствует ли воспроизведенная мышление картина реальной действительности самой этой действительности, отражают ли (и насколько правильно) наши представления объективное положение вещея. Только на практике, только в сравнинии ожиданияхся результатов с тем, что действительное произойдет, человек может оценить правильность и ценность своих знаний. Именно практика служит критерiemистмы той или иной идеи, гипотезы, теории.
В. И. Ленин принадлежит генеральное определение процесса познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от неeso к практике — таков диалектический путем познания истинны, познания объективной реальности» *).
В окружающей нас мире нет вещея непозначаемых, принципально недоступных человекаскому разуму. Однако позначение предметов, явлений во всей их полном может быть дан только бесконечной суммой общих понятий, законов и т.п. И овладение всей этой суммой знаний все время приблизительно, т. е. исчерпывающейся позиции мира возможно, говоря математическим языком, лишь в пределе. На каждом отрезке исторического развития наш знания о действительности является лишь относительным и в то же время содержат в себе частицу абсолютиной истинны: один стороны предметов и явлений отражаются научными понятиями более или менее правильно, адекватно, другие — лишь примерно или даже неверно, третье еще вообще неизвестны.
Движение, изменение, развтие материального мира протекает в различных формах; предметы и явления объективной реальности надлежащими качествами и обладают разнообразными количественными характеристиками.
Различные направления науки изу-
*) В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 29, стр. 152—153.
4
чайот специфические качественные особенности предметов или стороны явления, исследуют одну или несколько теоносвязных форм движения материи. Так, биохимия рассматривает химические процессы в их связи с живыми организмами, география описывает картину нашей планеты и изучает законы ее преобразования людьми, история имеет свою предметом раскрытие законов развития человекаского общества в их конкретном проявлении и т. д.
Специфика математики состоит в том, что она не рассматривает конкретные материалы тела, не анализирует какую-либо определенную форму движения материи. «Чистая математика, — писал Ф. Энгельс, — имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира…» *. Иначе говоря, математика изучает материальный мир с особой точки зрения: предметом ее исследования является сами колисетвенные отношения (в общефилософском понимании этого термина), которые присущены всем без исключения объектам реальной действительности и которые «характеризуются, в отличие от качественных, лишь своим безразличным отношением к конкретной природе тех предметов, которые они связывают…» **).
Эта специфика предмета определяет широкую применимость математики в других науках. Внутренняя неразделимость качественных и количественных свойств предметов или явления реальной действительности создает объектные предложки для использования математических методов в изучении многих важнейших проблем биологии, геологии, языкования и др. В этом смысле К. Маркс говорил, что «…наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математкой» ***).
*) К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. 20, стр. 37.
**) А. Н. Колмогоров, Математика, БСЭ, т. 26, стр. 476.
***) Сб. «Воспоминания о Маркее и Энгельсе», М., 1956, стр. 66.
Математику принято считать абстрактной наукой, и это, бесспорно, справедливо. Именно специфика математики, изучаются пространственные формы и количественные отношения, определяет ее особую абстрактность. На это обращал внимание еще Ф. Энгельс: «…чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенствовать их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное…» *).
Иначе говоря, речь идет об исследовании, результаты не с помощью микросопа или химических реактивов, а лишь силой абстракции.
Каждай предмет или явление объективной реальности обладает бесконечным числом свойств, качеств и неразрывно связанных с другими предметами и явлениями, со всем материальным миром. Наше мышление не может охватить сразу все эти свойства и все многообразие связи. Поэтому, производа научные исследования, мы вынуждены останавливать свое внимание лишь на одном или нескольких свойствах изучаемого объекта, лишь на некоторых его связи с другими объектами. На все остальные свойства и связи мы не обращаем внимание, т. е. отвлекаемся, абстрагируемся от них.
Иными словами, всякое познание необходимо связано с процесами абстрагирования, с абстрактцами. «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не охотит — если оно правильно… — от истинны, а подходит к ней… все научные (правильные, серыеные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее», — отмечает В. И. Ленин **).
No abstraction имеет и свою слабость, которая заключится преждеем
*) К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. 20, стр. 37.
**) В. И. Ленин. Попл. собр. соч., т. 29, стр. 152.
6
дает большими или меньшими размерами. Таким образом, «дома» реально существует, а «материальные точки»— нет.
To же самое можно сказать и о геометрическом понятии «отрезок». В природе мы не наблюдаем «в чистом виде» предметов, обладающих длиной и «прямизной», но «лишеных толщины». Это понятие, следовательно, не возникает в результате абстракции отождествления, а является идеализцией.
Идеализация в общих чертах состоит в следующем. Реальный объект заменяется в нашем сознании абстракной моделью, которая получается не только путем отвлечения от несуществных свойств, но и путем наделения модели идеализированных свойствами, в утрированном виде отражающим существные свойства объекта. Например, если мы изучаем движение небесного тела, удаленного от нас на расстояние, во много раз превышает его размеры, мы можем построить утрированную модель, считая это тело материальной точкой. Точно так же понятие «касания» в утрированном виде отражает возможность в действительности взаиморасположение предметов.
Разумеется, сказано не означает, что понятие, возникшее в результате идеализции, совершено оторваны от объективного мира и лишены реального смысла. Позволяя нам особенно глубоко и четко проследить наиболее существенные свойства объекта, эти понятия имеют общеизвестное значение в практических приложениях математики.
Особым видом абстракции идеализация является абстракция помещacionalной осуществимости. Она характеризуется отвлечением от реальных границ наших конструктивных возможностей, обусловленных ограниченной нашей жизни в пространстве и во времени.
Эта форма абстракции позволяет нам рассужать, например, о любом большом числе (скажем, о числе ) и предполагать, что мы как бы имеем возможность dochить до него, начиная с 1, 2, 3, 4 … и т. д. Очевидно, что эта возможность чисто потенциальная: нам не хватит на это всей нашей жизни.
Однако мы отвлекаемся от практической неосуществимости этой задачи, от ограниченности наших возможностей и считаем допустимым расматривать любые числа, приходя тем самым к понятию «бесконечный ряд натуральных чисел».
В результате применения этого вида абстракции возникают и также понятия, как «прямая» (неограниченно пространiosaся в обе стороны), «плоскость» и другие.
Современная математica операрует с громадным количеством понятий, которые не могут быть получены как оченьные, неосредственные абстракции доступных животному созерцанию свойств объекта математного мира. Эти понятия образуются в процессе многоступенчатого наслоения абстракции.
Исходные, первичные математические понятия возникают из объективной реальности, отражая, абстракция количественных отношений и пространственных форм объекта действияностей. Но, возникнуть, эти понятия как бы живут своей собственной жизни, образуя в сознании человека свой собственный мир, сами порождают дальнейшие отражения и новые абстракные понятия. Эти абстракные понятия в свою очередь снова порождают новые абстракции, так сказать, более высокого порядка и т. д.
Для того чтобы посять сказанное, обратимся к понятию «числа». Число, первичально выступающей как результат счета предметов (абстракция отождествления), обобщается затем до понятия натурального числа (абстракция потенциальной осуществимости). Потом вводится понятие дробного числа (абстракция отождествления).
7
дествления *). Следующая абстракция — рациональные числа (положительные и отрицательные), а затем и действительные числа.
Многоступенчатый характер абстракции здесь совершено ясно виден. Точно так же понятия «числа», «вектора», «геометрическо преобразования» и ряд других абстракций (относитсяся, оченьindo, к пространственным формам и количественных отношениями реального мира) порождают понятие «группа», являющееся абстракцией более высокого порядка.
Однако не следует думать, что многоступенчатость математических абстракций, наличие абстракций разного порядка означает отрыв математики от реального мира. Очень почучительным в этом отношении является то, что многие «изысканные» абстракные понятия и теории современной математики уже сейчас находит важные применения. Так, понятие «группа» и тонкие вопросы теории группы находит важные приложения в физике элементарных частиц.
Спецификационный отпечаток на всю математике накладывает единственный характер математических теорий.
Физики изучают, например, изображение газовые процессы, т. е. исследуют свойства газа при условии, что его температура не изменяется. Другой пример из физики — изучение переохлажденных жидкостей, т. е. исследование свойств веществ при условии, что оно имеет температурные точки плавления, но (в силу особых условий опыта) не критализуется, а остается в жидком состоянии. Законы, открыты в этих условиях, будут единственным при выполнении определенных гипотез.
Однако в физике также законы имеют смысл лишь тогда, когда соответствующие условия, гипотезы реально осуществмы. В самом деле,
*) Расчленяя целое, единницу на доли, мы затем отождествляем символы , , , и т. д., считая их представляющими одно и то же дробное число.
если бы кто-нибудь создал «теорию» о поведении веществ при температуре ниже абсолитного нуля, то физики вряд ли приняли бы ее вверь, либо она использует гипотезу, противоречащего известным нам свойством реального мира.
В математике дело обстоит (во всяком случае, внешнее) по-другому. Окружающие нас предметы имеют три измерения, но математики построили теории -мерных (и даже бесконечномерных) пространств. Мы знаем, что умножение чисел коммутативно: , но в математике изучают и такие числовые системы, в которых . Можно привести и другие примеры теории, противоречащих «здравому смыслу».
Но характерно, что эти на первый взгляд «дикие» теории находится важное применение при изучении реального действительности! Достаточно напомнить, например, что теория относительной широко использует четырехмерное пространство.
Ниболее ярким примером гипотезической теории, оказывающей влияние на всю математку, была геометрия Лобачевского. Н. И. Лобачевский заменил поступат Евклида о параллельных других, своим поступатом (через данные точку в данной плоскости можно проверить бесплатное множество прямых, не пересекающих данную прямую), а затем на базе этой аксиомы (и остальных аксиом, совпадающих с ενклидовым) построил логические строя ную и законченную геометрию.
Открытие Н. И. Лобачевского в значительной мере предположило полное торжество аксиоматического метода построения математики. Суть этого метода состоит в том, что все теоремы выводятся чисто логическими путем из сравнительно небольшего числа недоказываемых предложений—аксиом. Иначе говоря, математическая теория развивается, строится в предположении, что имеет место определенные, заранее фиксируемые аксиомы.
Matematик в процессе своего твор-
8
честава имеет дело с абстрактными понятиями. Он не обращается к каждым раз в своих рассуждениях к обеективной действительности, неосредственно исследует не ее, а именно этот «мир понятый». Для доказательства той или иной теоремы нет необходимости описывать и систематизировать факты и явления, не нужно строить громоздкие и дорогостящие установки, не требуется проводить ювелирно-точные эксперименты.
Matematическое исследование происходит чисто умозрительным путем, подчиняясь законам лоевики. Математик в процессе своей работы представляет лишь цель проведения логических строгих, исчерпывающих доказательств теорем, построения непротиворечных теории.
Но, помимо чисто логического деятельности мышления, большую роль в развити математики (как, впрочем, и всякой науки) играют и также творческие возможности человека, как воображение, интуиция. Подчеркивая значение творческого воображения, интуитивнойогдаки, значение фантации в процессе познания, В. И. Ленин писал: «Напрасно думают, что она нужна только позту. Это глубий предрасудок! Дажке в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчисления невозможно было бы без фантации» *).
Чисто умозрительный, мысленный путь математического исследования, допускающий широкое использование фантации и гипотетических построений, создает целозию независящности математических понятий и теории от объективного мира, отсутствия реального содержания у абстракций более высокого порядка, возникающих в процессе «свободного творчества» разума.
В самом деле, формально открывается следующие возможности: математик выдвигает произвольные, выдуманные им аксиомы и выводит из них с помощью законов логики разума.
*) В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 45, стр. 125.
личные следствия; если ему «повезет» и в результате получится непротиворечная теория, то можно говорить о математическом открытии. Иными словами, математик, не будучи непротиворечно ни с какими реальными объектами, ни с какой формулиждения материки, может, казалось бы, руководствовать только своим воображением, делать любые гипотезы и на их основе развивать теории, лишь бы получить что-нибудь логическое непротиворечное и «математически интерсное».
Развивая подобные мысли, один из крупнейших французских математков Анри Пуанкаре (1854—1912 гг.) утверждал, что в основе математики (и даже науки вообще) яковы лежат свободные, произвольно принять соглашение, выдуманные исследовать и удобные для него. Он считал, что математика является продуктом свободного «чистого разума» и не зависит от существования материалов объектов, не связана с практической деятельности людей. Что же касается возможность практического применения достижения математики, то это лишь частливая служащность, объяснить которой мы не в состоянии *).
Отдавая должное научным заслугам А. Пуанкаре, В. И. Ленин подверг резкой критике его философские концепции, охарактеризовав его как «очень путаного философа». Следует иметь в виду, что при всей непоступности и открывенности идеалистическомxa-
*) Подобные взгляды можно встретить иногда и сейчас. Например, группа известных зарубежных математков, выступающих под псевдомим Николая Бурбаки, писала, касаясь отношений «мира экспериментального и мира математического»: «To, что между экспериментальным явлениями и математическим структурами существует теория связи, — это, как кажется, было совершено неожиданным образом подтверждено недавним открытиям современной физики, но нам совершено неожиденный глобокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысла), и, может быть, мы их инкогда не узнаем» (Н. Бур бак и, Очерки по истории математики, М., 1963, стр. 258).
9
рактере подобных взглядов, провергнуть их чисто логическими доводами невозможно. Правильный ответ может дать только последовательная диалектко-materиалистическая точка зрения, признание практики критерiem истинны.
Логика является рабочим инструментом математики: утверждение, выведенное из посылок, аксиом и определений по правилам логики, считается в математике истинным. Но «очевидность», «ясность», «убедительность» смих шагов логических расуждений возникает не сама по себе; правомерность логических построений находится свое подтверждение в многовековом опите практической деятельности человека.
Именно этот опит подтверждает, что внутренние законы развития логического мышления мождествены законом развития объективной реальности. Ф. Энгельс писал по этому поводу: «Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютиной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законом и что поэтому они и не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласовать между собой»*).
Таким образом, требование формальной математической строгости, т. е. точности определения, полностью доказательств теорем, непротиворечности теории и т. д., и есть одна из сторон специфического проявления критерия практики в математике.
*) К. Маркси Ф. Энгельс, Соч., т. 20, стр. 581.
Однако сама по себе математическая строгость не может полностью заменить собой критерий практики, не является исчерпывающей гарантийей истинности математического знания, т. е. правильности отражения человекаом объективной реальности.
Ибо существенный является и вопросо с соответствии принятых в теории посылок реального действияности. Этот вопрос уже выходит за пределы комппетенции логики и может быть решен лишь в ходе общественного произвольенной (в том числе—научной) деятельности людей. Только опыт этой деятельности может отличить строого логичные «теории», построенные на нереальных, фантастических гипотезах и аксиомах, от подлинно научных теории, приближающих нас к познанию объективных истин.
Научно-историческая практика свидетельствует, что первичные математики и описывающие их аксиомы взяты из жизни и являются отражением объективных свойств реальных предметов. Посольку логика понятый отражает объективную логiku вещей, т. е. объективные связи предметов математного мира, то новые понятия и теории техническим образом связаны с реальным миром и потому закономерно, а вовсе не случайно, находят все новые приложения в научной и практической деятельности людей.
Протекающий сейчас бурый процесс «математизации» знаний, еще более стимулируемый развитием вычислительной техники, полностью подтверждает мощь математических методов и их организаскую связь с жизни.