Задачи для 5 класса

59

В этом номере «Кваента» мы за-
каничиваем публикацию самых интерес-
ных задач из нового пробного учеб-
ника для 5 класса.

1233. Из 8 монет одна фальшивая
      (более легкая). Как определить фаль-
      шивую монету двумя взвешивающими
      на весах с двумя чашечками без гриь?

1234. Среди 20 монет имеется одна
      фальшивая, отличношаяся по весу
      от настояших. С помощью трех взве-
      шиваний на весах с чашечками без
      гирь определить фальшивую монету
      и установить — легче она или тяжелее настояших.

1235. У меня есть только стенные
      часы, которые оставились. Я от-
      правляюсь к своему знакомому, ча-
      сы которого идут верно, находясь
      у него некоторое время и, возвратив-
      щись домой, ставлю свои часы верно.
      Каким образом мне это удалось сделать, если предварительно мне не
      было известно, сколько времени за-
      нимает дорога?

1236. Для номерации страниц слова
      потребовалось 6869 цифр.

Сколько страниц имеем словарь?

1238. Сколько делитель у числа
      3⁶·5⁴?

1239. При делении числа N на 2 в
      остатке получается 1, а при делении
      на 3 в остатке получится 2. Какой
      остаток получится при делении числа
      N на 6?

1240. Если от задуманного трехзнач-
      ного числа отнять 7, то оно разделится на 7, если же от него отнять 8, то оно разделится на 8, и если отнять 9, то оно разделится на 9. Какое число было задумано?

1241. Какой цифрой оказается число 66⁶⁶? 33³³? 7⁷?

1242. Докажите, что число 7⁷⁷+1 не делится нацело на 5.

1243. Докажите, что сумма двух любых последовательных нечетных чисел делится нацело на 4.

1244. Некоторые шестизначное число начинается цифрой 7. Откинув эту цифру следва и приписав ее справа, получим число, в 5 раз меньше первого начального. Найти первоначальное число.

60

1251. Если между цифрами двухначного числа вписать нуль, то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше первого на 7, 11 и 13.

1252. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой и третья — с шестой. Доказать, что это число делится на 7, 11 и 13.

1253. К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы число делилось на 45.

1254. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом? А сумма трех?

1255. Ученики A, B и C составлись в беге на 100 м. Когда A добавил до конца, B отставал от него на 10 м. Когда B добавил до конца, C отставал от него на 10 м. На сколько метров отставал C от A, когда A закончил бег?

1256. Покажите, что любую сумму денег можно уплаить, если продавец и покупатель имеют лишь трехопеченные и пятикопечные монеты.

1257. Отц поручил сыну измерить длину двора шагами. Это было зимой. Для проверки отц измерил ту же длину двора своим шагами. Отц шагал с того же места, что и сын, и шел в том же направлении, так что в некоторых случаях следы отца и сына совпадали. Всего следов на снегу получилось 61. Чему равна длина двора, если шаг сына 0,54 м, а шаг отца 0,72 м?

1258. Докажите теоремы:

1. Если произведение трех целых чисел — число нечетное, то и их сумма — число нечетное;
2. Если сумма двух целых чисел — число нечетное, то их произведение — число четное.

1268. Ребра прямогоного параллелепidea выражаются натуральными числами, а его объем — простым числом, большим 2. Докажите, что сумма длины двух неравных ребер — число четное.

1269. Может ли существовать прямой параллелепед, длины ребер которого — натуральные числа, а площадь поверхности— простое число?

1270. Разделите 7 яблок на 12 целовек поровну, не разрезая ни одного яблока на 12 и больше число равных частей.

1271. Сократите дроби:
      $$\frac{37\ 373\ 737}{81\ 818\ 181}; \quad \frac{609\ 609\ 609}{205\ 205\ 205}.$$

1272. Найдите значение выражения:
      $$\frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \frac{1}{5\cdot6} + \dots + \frac{1}{19\cdot20}.$$

1273. Докажите, что
      $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{199} - \frac{1}{200} = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \frac{1}{103} + \dots + \frac{1}{200}.$$

1274. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на каждую из дробей $\frac{28}{297}$ и $\frac{35}{396}$ получается целые числа.

1275. Поезд проходит данное расстояние за 10 чисел. Если бы он увеличил скорость на 10 км/час, он ехал бы 8 чисел. Найдите скорость и расстояние.

1276. Автомобиль половину пути ехал со скоростью 50 км/час, а вторую половину со скоростью 30 км/час. С какой средней скоростью проехал автомать весь путь?

1277. От Горького до Астрахани теллоход идет 5 суток, а обратно 7 суток. За сколько суток должен пройти теллоход от Горького до Астрахани?

1278. Я отпил $1/6$ чашечки черного кофе и долил его молоком. Затем я выпил $1/3$ чашечки и снова долил ее молоком. Потом я выпил получую чашечку. Чero я больше выпил кофе или молока?

1279. Повар варил суп и положил в него мало соли. Пришлось досали-

61

вать готовый суп. На следующий раз повар чел эту ошибку и в то же количество супа положил в 2 раза больше соли, чем в первый раз. Это тоже оказалось мало, но достаточно пришлось уже вдвое меньшим количеством соли. Какую часть нужно количество соли положил повар в суп в первый раз?

1283. Сеня уплатил в кассу столовой за 3 блюда, а Саша за 2 (все блюда стопли одинаково). За столом к ним присоединился Костя, и они втором сыли эти 5 блюда. При расчете оказалось, что Костя должен уплатить товарщам 50 коп. Сколъко денег из этой суммы должен получить Сеня, а сколько Саша?

1284. Передние покупки колес автоматически страются через 25 000 км, а задние через 15 000 км. Когда целесообразно поменять местами покупки, чтобы они одинаково стрались? (Предположите, что замена передних и задних покупек производила один раз, хотя на практике шоферы производят эту замену чаще.)

1285. Несолько шоколников завтракали вместе и должны были заплаать 1 руб. 75 коп. Оказалось, что у двойх не было при себе денег, поэтому каждому из оставшихся пришлось уплать на 10 коп. больше, чем пришлось денег на долю каждого. Сколъко шоколников завтракало?

1286. Сумма трех добей равна 1. Разность между первой и второй добями равна третьей. Сумма первых двух добей в 5 раз больше третьей доби. Найдите эти доби.

1287. Разность двух неотрицательных добей равна $2/9$. Численель одной доби больше другой в 4 раза, а знаменатель этой доби больше другой в 3 раза. Найдите доби.

1288. Дано несколько натуральных чисел. Каждое из них разделили на сумму всех данных чисел. Чему равна сумма всех частных?

1289. Я задумал трехзначное число. Если из цифр этого числа составить всевозможные двухначные числа и затем их сложить, то требуется равна задуманному числу. Найдите задуманное число.

1290. Мама купила яблоки для своих детей Вани, Нины и Миши. Дети должны были поделить яблоки между собой поровну. Ваня пришел домой первым, сосчитал яблоки, взял третью часть и ушел. Потом пришла Нина и полагая, что пришла первой, сосчитала оставшиеся яблоки, взяла свою долю и так же ушла. Наконец, пришел Миша и взял себе третью часть оставшихся яблок. После всего этого осталось 8 яблок. Сколъко яблока мама для детей?

1291. Двум братьям необходимо было бы на железнодорожной станции, которая находится на расстоянии 4 км от их дома. Чтобы не опоздать к отходу поезда, оставалась лишь одна возможность — ехать на велосипед. Но у старшего братья весопределен. Если идти пешком, то опоздавы на 10 мин. Оdnako оба братья попали на станцию одновременно и за 10 мин до отхода поезда. Скажите, как они поступили, если ходба пешком второе медленнее езды на велосипеде и если ехать на велосипеде вдвоем нельзя?

1292. Какое число обладает таким свойством, что если к нему прибавить произвольное число, затем из произведения вычесть то же самое произвольное число и на него же разделить полученную разность, то в результате получится это же самое произвольное взятое число?