10
ПОРТРЕТЫ
ЗЕМЛИ
Портреты, модели, карты
Схемы, чертежки, планы, фомо-
графии, портреты, выполн-
енные художниками и кон-
структорами,—все это моде-
ли изобраяемых ими предмет-
мов («ориценалов»). Модель есть
своего рода заменитель изобра-
жаемого его предмета. Каждый моде-
ль, слабаяная нас информацией об
изобраяаемом его «орицена-
ле», в то же время ряд чертеж это «орицена-
ла» не восприизводит, опускает их, или, как во-
ворят, абстрагируется от них. Да это и понятно:
«полная» модель, являющаяся точной копией «ори-
ziенала», не обладала бы с точки зрения легости
изучения никакими премиуществами в сравнению с ним.
Ради упрощения процесса познания приходится жертвовать его полномой. Как правило, плоское изображение про-
странственное объекта искажает форму орицинала. К числу
маких объектов относится земной шар, способам изю-
мовления «портретов» коморого, м. е. попросту геодра-
фических карт, посвящена эта статья. Способов
этих (в зависимости от назначения карти) из-
весимо много. Но при всем их разнообразии
все они так или иначе включают и варbi-
руют два основных «мотива»: проектиро-
вание и развертку на плоскость.
В. Н. Березин,
М. Л. Смолянский
11
«Бюст Земли» — глобус
Прежде чем перейти к различным способам изображения земной поверхности на карте, или, как их называют, картографическим проекциям, скажем несколько слов о «скульптурном портрете» Земли, который можно считать промежуточным этапом для получения других «портретов»,— иначе говоря, о хорошо известном всем глобусе.
To, что наша планета по форме близка к шару, было достаточноясно осознано еще древнегреческийми учеными, основывавшимися главным образом на наблюдениях мореплавателей и путешествников. Конечно, сами по себе эти наблюдения позволили утверждать лишь, что известная грекам часть Земли,— то есть части Европы, Азии и Африки, непосредственно примыкающие к Средиземному и Черному морям и восточной части Атлантического океана,— вЫ пукла. Не удивительно, что при высокоразвитой у греков культуре абстрактного мышления эти достагоно косвенные данные позволили ученым того времени вывинуть смелую гипотезу о замкнутости поверхности Земли. Форма же земной тела на поверхности Луны во время затмения (осознание того, что это тень Земли, само по себе было достигением, которое трудно переоценить), а точаси умозрительные доводы, при-
влекающие в той или иной форме представления о симметрии, приведен к убежданию, что Земля — шар.
О том, как греки представляют себе «лицо» Земли, можно судить по древнейшей дошедшей до нас (в позднейших латинских копиях) географической карте, составленной знаменитьм греческим ученым Клавдием Птолемеем (около 150 лет до нашей эры). Птолемей, пользоваться введенной еще до него Гиппархом координатной сеткой, пытается развернуть сферическую поверхность Земли на плоскость (рис. 1). Мериданны изобразаются двумерными ломанными, а широтные круги — дугами окружностей, верхняя из которых соответствуетprimерно полярному кругу, нижняя — экватору, а отделяющая усеченный конус умеренного посяса от цилиндрического экваториального (широта 0°) — тропику Рака. Вдоль мериданов выдержан постоянный масштаб (концентрические дуги параллелей отделены друг от друга через каждые 10° равными промежуточками). Понимая, что к югу от экватора параллелей снова должны сокращаться, в связи с чем нижняя половина развертки должна быть отделена от изображенной им верхней разрезом. Птолемей не пытаются изображать Южное полушарие. Африку с юга и Азию с востока ему пришлось продолжать гипотетическое Terra incognita («Ненизвестной Землей»), к югу от Индийского океана переходящей в «Звездную Землю» (Terra australia; название это воскледствии было присвоено открытомprimерно в тех же краях пятому материку). Карта Птолемей выполнена, как сказали бы современные картографы, в «произвольной проекции». Тем примечательнее точность, с которой на нее нанесены координаты (особенно широты) многох городов и портов.
Птолемей приводит и другую проекцию, с его точки зрения более красивую и правильную, но менее удобную для практических построений.
12
Рис. 2.
Предоставим слово самому Полемею *): «… можно было представить себе в виде прямой один только средний meridian, с плоскостью которого совпадает ось зреня. Meridianны же, находящиеся по обе стороны от него, кажутся обращенными к нему своей вогнутостью, возвращаются по мере удаления от него (рис. 2).
Послений чертеж передает это, сохраняя надлежащее соответствие изгибов. Кроме того, взаимная пропорциональность друг параллелей передает как можно точнее подлинное отношение одних параллелей к другим…
Благодаря всему этому второй способ имеет, пожалуй, преимущество перед первым, уступая ему, однako, в удобстве исполнения чертежа. Там можно было проведти только одну параллель, разбить ее на деления и наносить на карту любой пункт, прикладывая и перемещая линейку. Здесь же этого удобства нет, так как линейный meridianов подходят к среднему meridianу изгибаясь, и, кроме того, нужно еще чертить все окружности, а положение относительно окружающих стороны квадрата точек, приходящийся на просветы сетки, нужно определить по нанесенным на карту точкам путем расчета. Поз_
*) «Античная география», составитель проф. М. С. Боднарский, География, 1953.
Рис. 3.
тому, хотя я лично в данном деле и взделе предпочитаю то, что лучше и труднее, тому, что хуже и легче, нужно все же придерживаться обихх установленных способов, имея в виду людей, которых раздностъ влечет к более легкому…»
Примерно к тому же времени (середина II века до нашей эры) относится, по-видимому, и изготовление первого из известных глобусов. Глобус этот, сделанный философом Кратесом Малосским, не сохранился и известен по позднейшим описаниям, на схематичность которых приходит делать неизбежную скидку при оценке его точности. Знаниям этой эпохи вполне соответствовали изобравжение на глобусе материка Ойкумены («Обитаемого»), состоящего из Евразии и Африки (для этого у Кратеса были, конечно, основания, поскольку Сузский перешел был перерезан каналом, действительно, несколько позднее). Пропорции привычных нам чертаний береговых линей (особенно в перipherийных области) заметно нарушены, но взаимное расположение таких характерных элементов карты, как Средиземное, Черное, Красное и Белое моря, Персидский залив, Аравийский полуостров и полуострова Юга Евровы, передано в обшем правильно.
Глобус Кратеса (в отличие от гораздо более подробной карты Пто-
13
Рис. 4.
лемея) играл, оченьindo, в основном демонстрационную роль. Появление же на нем таких фантастических деталей, как симметричный Ойкумене относительно экватора материки, наcelенный будто бы «Антэками», и материки на севере и юге противоположного полушария (обиталища «Перизков» и «Антиподов») можно, пожалуйста, объяснить неосознаным стремлением к «симметри», очень характерным, кстати, и для современной науки. (рис. 3)
До наших дней дошел глобус (смотри заставку к статье), изготовленный жителем Нюрберга Мартином Бихеймом намного позже — в том самом 1492 году, который в честь открытия Колумбом Америки стали считать условной границей между средневековым и новым временем. На polymetровом глобсе Бихейма и особенно на карте (см. рис. 4), изготовленный с помощью этого глобуса, хорошо видно, что географы того времени переошелли размеры Азии, а путь из Испании до ее восточных берегов (Китая и Индии) оценвали из-за этого почти вдвое меньшим, чем в действительности.
Ошибка, конечно, есть ошибка, но объективно эти представления безусловно способствовали оптимизму Колумба, вдохновляя его на смелый замысел достичь восточных хб-
регов Азии, двигая свои карavelлы все время на запад.
От «макета» к «портрету»
No сейчас, когда глобусы имеют делать волне хорошего, что мешает пользоваться ими во всех случаях, когда нужно карта? Или они тоже не свободны от искажений — не учитывают, например, сплюснуты Земли у полосов или ее горный рельеф? Нет, это здесь не очень существенно: разница между полярным и экваториальным радиусами Земли составляет не более 0,3% любого из них, а высота высочайшей горной вершины — Джомолунгмы — около 0,1% земного радиуса (и примерно того же порядка — глобочнаяше владины на дне океанов), так что в пределах размерной точности изготовления эти факторы вообще практические незаметны; гораздо удобнее изобразить рельеф на карте или глобус с помощью так называемых «линий уровня», окрашивая для наглядности проектуки между ними в разные цвета. Суть же дела очень проста: глобус менее удобен, чем карта, — не слабаяют же паспорта бюстами и барельфами владельцев!
No, имея глобус, можно подумать и о «развертке» его — хотя бы приблизительной. Для изготовления портрета Земли нам понадобится ее миниатюрный макет.
Разбравшись в том, как глобус «развертывается» в карту, мы подойдем, кстати, и к пониманию не менее интерсной обратной задачи: как по полученным в результате аэрофотосьемки плоским изображением кусков земной поверхности воссоздается истинный вид оригинала — Земли.
Вспомним теперь, как делаются развертки поверхностей. У многоограничника можно, например, разрезать почти все ребра, оставляя лишь по одному неразрезанному ребру у каждой грани, чтобы поверхность не распадалась на куски. Еще проще развертываются цилиндры и конусы. Модель цилиндра (точнее, цилиндрской поверхности) вы получите,
14
Рис. 5.
склейд две противоположные стороны прямого листа бумаги, а модель конуса — это просто бумажный функция. Достаточно разрезать любую из этих модели по образу щей и положить получившийся кусок бумаги на стол — и развертка готова! Длины линей, начерченных на исходных поверхностях, сохраняются и на развертках (разве что линя — если она пересекала образу щей, вдоль которой делался разрез, — развертся на две части).
Но Земля наша — шар. Как доказал в 1777 году Леонард Эйлер,никакая (сколь уголно малая!) часть сферического поверхности не может быть развернута на плоскость с сохраненем всех растойний. Идея эйлеровского доказательства очень проста. Какую бы малую часть сферического поверхности глобуса мы ни взяли, мы можем внутри нее выделить круглую «шапочку». Ввиду полного равноправия каждой точки сферы (каждый диаметр является осью ее симметрии) мы можем считать центр этой «шапочки» полосом, а границу — паралелю (широтным кругом). Расстояния между точками шапочки надо, естественно, изменять по поверхности шапочки. В частиности, расстояние от полока до любой точки границы шапочки будет равно длине соответствующей дуги меридиана (рис. 5). Значит, на не искажающей размеров развертке эта параллель должна изображаться на плоскости окружностью радиуса и имеет, следовательно, длину . Но легко доказать (сделайте это сами!), что на самом деле длина нашего кругга меньше . Полученное противоречие и доказывает невозможность точной развертки на плоскость даже самой малой шапочки, среданной со сферы, и вообще нижкой части сферического поверхности.
«Микрокарты» — планы
Из доказательства теоремы Эйлера (да и просто из сообщений «здраваго смысле») видно, что, когда речь идет об очень малых участках земной поверхности, замена таких малых «шапочек» плоскими кругочками искажает переносимые на карту размеры тем меньше, чем меньше диаметр кругжа. В конечном случае вороссводится к тому, какая же точность изображения нам действительно нужна. Оценка допускаемой погрешности очень проста (см. задачу на стр. 25) и в каждом конкретном случае позволяет разумным образом ответить на этот вопрос.
Складем, архитектор, планирующий застройку города, совершенное не интересуется формуой в сего земного шара — какой-нибудь овраг беспоконит его, конечно, гораздо большше, чем такие «вселенские» проблемы! Мало дела до округлости Земли и геология, ведущему разведку конкретного месторождения, — ему гораздо существенное участие всякого рода местные уклоны и прочие «неправильности» решения, могут повлиять наращивание выбор пунктов бурения скважин. Короче говоря, когда речь идет о составлении карт малых участков, мы можем смело уподобиться древним египтнам, еще пять тысячелетия назад составляющих ланны (так общно называют эти «микрокарты») участков земной поверхности, абсолютино игнорирувыпуклость Земли в целом. Единственное требование к плану состоит
15
Рис. 6.
в том, чтобы для произвольных точек и на поверхности изображаемого участка Земли и их изображений на плане — точек и с достаточной точностью выше полялось равенство .
Величину отношения естественно называть масштабом изображания участка ; таким образом, условие наше выражает приниппостояства масштаба. Из теоремы Эйлера следует, конечно, что строго постоянным масштабом изображания куска земной поверхности быть не может. Поэтому в каждой конкретном случае устанавливают приемлемую величины допустимой погрешности и считают план «правильным», если погрешности не не превышает установленной нормы.
Очень простые и наглядные геометрические расстояния (см. рис. 6) убеждают нас в том, что все meridianны (линии постояной долготы) равны между собой, а все параллели (линии постояной широты) уменьшаются от экватора к полюсам от до нуля («90-я параллель» вырождается в точку — полюс). Отсюда сразу следует, что отрезки meridianов, заключенные между соседними параллелями на глобусе, равны, а отрезки параллелей, заключенные между соседними meridianами уменьшаются по направлению от экватора к полюсам.
Легко также проверить, что все углы между параллелями и meridianами в точках их пересечения (т. е. углы между касательными к этим кривым в данных точках) прямы.
Еще чуть-чуть истории
Do these well-known geographical occurrences of the (XV век) cartography, если и развилась, то в достаточной мере стихийно. Сохранившееся средневековые карты зачастую представляли даже значительный шаг назад от описанной выше карты Птолемея. Примером может служить так называемая Гереефордская карта (1280 г.), довольно-tаки фантастическое изображение круглой и плоской Земли на которой особых комментариев не требует и представляется разве лишь historический интерес (рис. 7).
Для мореплавателей, однако, уже тогда составлялись специальные мореходные карты (рис. 8) — так называемые портulanны (или портоланны), снабженные вместе координатной сетки (ползовались ли его и чем вообще ползовались, помимо чисто эмирических приемов, составили портulanов — точно сказать трудно) так называемой «розой ветров» — направлениями «линий румбов», соответствующих делениям картушки (круглой шкалы) магнитного компаса, при-
17
менявшегося в Европе уже с XII столетия (рис. 9). Они позволили пролагать курс корабля на карте без всяких дополнительных расчетов, проводя с помощью так называемой штурманской линейки (сохранившейся, между прочим, и до наших дней) через точку положения корабля прямо, параллельно соответствующей линии румба (рис. 10).
Естественно, моряки были заинтересованы в том, чтобы направление курса, отклоняющегося от meridiana на данное число градусов, в любой точке карты было одним и тем же. Для этого необходимо (хотя, разумеется, недостаточно), чтобы мери дианы и паралелии изображались на карте прямо. Удовлетворить это требование в сочетании с достоинной точностью изображения удалось впервые Герарду Меркатору, с именем которого часто связivated на начало научной картографии. Меркаторская карта мира, опубликованная на 18 отдельных листах в 1569 году, не потеряла значения и до сих пор. (На рисунке, приведенном на стр. 18, показан фрагмент этой карты).
Бурный прогресс географических знаний в целом и в картографии в частиности был характерен для XVI—XVII веков: изобретение математических часов (X. Гюйгенс, 1675 г.),
19
Рис. 12.
а затем и хронометра позволило с большой точностью определять географическую долготу пункта (широту хорошего определения еще древние греки), появились разнообразные, приспособленные к различным нуждаем и исходящие из различных принципов системы проекций. К тому времени относится карта (рис. 11), изображаяшая всю поверхность Земли в виде двух «полушарий» (де Вит, 1700 г.). Ниже мы познакомимся с несколькими, относительно простыми по идее картофических процесциями. Конечно, это только отдельные吏рихи картоффи — науки, связанной с таким словами именами, как Эйлер, Гаусс, Чебышев, Ламбер.
Квадратная проекция
Представим себе глобус, изготовленный в виде мяч правильно сферической формы, оболочка которого сделана из ткани, легко растягивающейся в одном направлении и совершенно нерастяжимой в перпендикулярном ему. Можно, например, считать, что горизонтальные нити — резиновые, а вертикальные — стальные, причем резиновые нити замкнуты и стягивают наш мяч- глобус по параллелям, а перпендикулярные им тонкие гибкие стальные стержни плотно облегают глобус по polymериданам, примыкая друг к другу концами в полосах. Поскольку концы мердианов не прикреплены друг к другу, можно, следка растянув близкие к полосам резиновые паралелы, просунуть в образовательнее отверстия тонкую твердую спицу. Впрочем, не обязаτεльно тонкую. Кто нам мешает растянуть паралели посильнее? Давайте так и поступим и вдвинем в отверстия, растянуть до размеров экватора, «толстую спицу», представляющий собой прямой круговой цилиндр того же радиуса, что и наш сферический глобус (рис. 12).
Вот мы и «предодолели» теорему Эйлера: ведь полученный цилиндр, будучи разрезанным вдоль лобого полумеридана (можно представить, что резиновые паралелы, чтобы они после этой операции не стянулись вновь, подвергли перед разрезанием специальной термической обработке, лишившей их способности к дальнейшем сжатию и растяжению), великолепно развертывается на плоскость! Разумеется, это не более чем шутка, — чуда «предодоления» не произшло: ведь все паралели (кроме экватора) растянулись, и очередная материков и островов растянулись в поперечном направлении. Особенно это растяжение заметно, конечно, в приполярных области.
Мы получили изображение земного шара в виде прямогоЛЬНИКА, основание которого (равное экватор),
21
Рис. 14.
на выглядеть по мере приближения к полюсу локсодромия на глобусе, и бесконечность ее «растиhyотой развертки» уже, пожалуй, не показется вам удивительной.
Еще одно растяжение. Проекция Меркатора
Давайте, теперь представим себя на минуту в роли Меркатора, с неудовольствием разглядывающего несуразно расплошенные очертания Скандинавии и Канады в квадратной проекции (Антарктиды тогда, слова богу, еще не знали,— вот бы на чье изображение ему полюбоваться!). Но неэстетичность карты можно было бы в конце концов пережить. Да и растяжение расстояний вдоль параллелейникого не введет в заблуждение, раз уж нам известно правило получения истинного расстояния. Не кривое зеркало страшно, а уверенность в его правильности.
Хуже другое: карта в квадратной проекции неудобна для моряков, заинтересованных не столько в точности измерения расстояний, сколько в возникности легко «прокладывать» на карте постоянный курс, иными словами, в прямолинености локсодроми. (Вспомним, что еще в старых «портульах», несмотря на всю их кустарность, это требование волнеудовлетворялось с достаточной для пра-ktики точностью.) Так что огорчает на рисунке 14 не столько «сплошность» карты, сколько вид локсодроми.
Нельзя ли ее выпрямить? За счет чего она получалась кривой? Из-за растяжения карты в раз по широте?— Прекрасно! Кто же нам может помещать растянут meridianны квадратной координатной сетки, то же в раз!? Квадраты прежней координатной сетки вытянулись теперь в прямогольники, и карта уже не обладает постоянством масштаба вдоль meridianов (см. рисунок 15, все кружки на котором изображают равные участки; синия линя изображает локсодромию). Зато на меркаторской карте остается неизменным угол между двумя линями, пересекающимся на глобусе. (Попробуйте доказать!) Достаточно малень части земной поверхности передаются «почти» с сохраненем подобия (окружность радиуса 500 км, например, изображается на карте Меркатора замкнутым овалом, зрительно неотличимым от окружности). И локсодроми, конечно, пря-молинейны.
По мере приближения к полосам растяжение вертикального масштаба в проекции Меркатора неограниченно возрастает, следовательно, полная карта Земли в этой проекции была бы
22
Рис. 15.
разверткой цилиндра с бесконечной высотой и потребовала бы для своего изобравжения бесконечного листа бумаги. Поэтому приполярные области на таких картах не изобравают (верхняя и нижняя границы карты, конечно, определяются при этом чисто произвольно, из сообщений удобства; например, рисунок 15 ограничен сверху 85-й широтой, сизу — 30-й).
И еще два замечания. Во-первых, наша реконструкция хода мысли Меркатора может вовсе не совпадать с действительным ходом его расужdenный; просто нам показалось, что именно так об этом говорить проще всего. Далее надо заметить, что вывод о растяжении карты вдоль meridianов в раз, полученный нами «на пальцах», для строго (хотя и не сложного) обоснования потребовал бы владения элементами математического анализа, включая натуральные логарифмы и начала дифференциального и интегрального исчисления*). Кстати, сам Меркатор в действительности и не сделал этого — строгое решение задачи «выпрямления локсодромий» было получено лишь тридцать годами позже Ричардом
*) Сведения эти можно, например, найти в книгах P. Курантан Г. Роббинса «Что такое математика?» (М., 1967) или Н. Я. Виленкина С. И. Шварцбург да «Matематический анализ» (М., 1969).
Райтом из Кембриджа (в чьей редакции и выходят современные издания того, что в нашей именуют «проекцией Меркатора»).
Цилиндрическая проекция Ламберта
Рассмотрим еще одну проекцию с прямогольной сеткой; получается она очень просто. Опишем вокруг глобуса прямой круговой цилиндр (касаоцийся его по экватору и в полосах) и проектируем на его боковую поверхность поверхности глобуса (без полосов!) так, чтобы лучом проекции для каждой точки этой поверхности служил прохождение чередз нее перпендикуляр к земной оси (рис. 16).
С помощью обычных формул школьной stereometрии легко показать (попробуйте!), что площади любых участков поверхности глобуса и их проекций на боковую поверхность цилиндра оказываются при этом равны ми, в связи с чем развертку этого цилиндра (разрезанного по любому meridianу) и называют равновелюкой цилиндрической проекции (или проекцией Ламберта). Правильно передавая площади, проекция Ламберта сильно искажает форму даже малых участков проектируемой поверхности (сравните эллипсы на рисунке 17 с соответствующими кругскими на рисунке 15): приполярные области сплошиваются здесь еще
23
Рис. 17.
сильнее, чем в квадратной проекции, из которого проекция Ламберта может быть, очень получена сжатием по вертикальной оси. Прямолинейность изображений meridianов и параллелей совершенного очевидна.
Ортодроми
До сих пор мы считали почти само собой разумениемся то, что для моряков важна простота прокладывания курса по карте, расстояние же, которое при этом приходит проходить кораблю, интересует их куда менше. Что же, во времяна парусных судов, пожалей, так дело и обстояло. Но в наших дни, при плавании на очень большие расстояния, вовсе не дляшихся мясцами, и годами, не говоря уже о дальнейх (в том числе трансcontinentalных и международных) авиационных полетах, первостепенно важность приобретает вопросо-minimalности траектории.
Можно доказать (чего мы здесь не будем пытаемся делать), что на поверхности шара кратчайшей линии, соединяющей две произвольные ее точки (или, как принято говорить в математике, геодезичной), служит меньше из друг большого круга, проходшего через эти точки. (Для диаметрально противоположных точек сферы обе дуги проходшего через них большого круга равны, и
24
Жет быть расхождение между локомпней и ортодромей. Конечно, при больших перелетах разница может быть больше и при путешествии в умеренных широтах; например, путь по локодромии от Москвы до Нью-Йорка равен 8500 км, а по ортодромии — 7500 км.
Гномоническая проекция
Проекция, в котором ортодромии изобразаются прямыми, получается центральным проектированием из центра земной сферы: при этом все лучи, направленные в точки ортодромии (являшейся, как мы видели, большим кругом), лежат в одной плоскости, пересекающей по прямой с любой плоскостью проекции. Проще всего сетка меридианов и параллелей выглядит в этой так называемой гномонической проекции (рис. 19), если плоскость проекции касается проектируемого на нее глобуса в полюсе. (Гномон — это стержень солнечных часов; если вставить на плоскость проекции и считать гномоном земной радиус, то проекция проектирующего луча действительно представится нам тенью этого гномона.)
Легко доказать (сделайте это самостояльно), что меридианы изобразаются в гномонической проекции этого вида прямыми, а параллели — концентрическими окружностими. На рисунке 19 (где по понятным причинам нет изображения экрана: он «ущел в бесконечность») очень наглядна спиралеобразная форма локодромии в окрестности полюса в гномонической проекции.
Для морских и воздушных путешествий на большие расстояния
25
гномонические проекции очень удобны. Всю земную поверхность на такой карте, конечно, не изобразизь, так что приходится выбирать различные плоскости проекции, от положения которых зависит и форма изобразяемой на них координатной сетки. На рисунках 20, а и 20, б изобразены гномонические проекции, картиная плоскость которых касается глобуса не в полюсе.
Задача. Пусть план местности изобразяется проектированем данного участка, имеющего форму «шапочки» радиусом среда 100 км, на плоскость, касающейся «шапочки» в центре ( км). Найти точность изобразения, т. е. узнать на сколько процентов искажаются небольшие отрезки меридианов и параллелей, проведенных в любой точке «шапочки»:
a) в гномонической проекции (центральное проектирование из центра Земли);
b) в ortографической проекции (параллельное проектирование в направлении, перpendикулярном данной касательной плоскости). Смотри рисунки 21, а, б.
Вместо заключения
Вот пока и весь рассказ об основных принципах и конкретих способах изобразения земной поверхности на карте. Тому, кто захотел бы познакомиться с наукой о «портретах Земли» — картографий — глобже, подробнее и систематически, мы посоветовали бы прежде всего внимательно просмотреть какой-нибудь большой атлас, обращая особое внимание на различие применяемых в нем проекций, и попытаться уяснить самостояльно (с помощью, быть может, довольно кратких погсенний, приводимых обычно в атласах) причины этого различия. Правда, при этом вы, возможно, обогатитесь не столько ответами, сколько новыми вопросами. Но тем лучше!
Систематическое (но весма насыщенное и потому значительное более трудное, чем в этой стране) освещение предмета вы найдете в стате «Картографические проекции» последнего издания Большой Советской Энциклопедии. В очень богатой историческом материалом статье «Карты географические», помещенной там же, вы найдете дальнейшие указания на литературу.