[Задачи М31—М35; Ф36—Ф41]

46

Все задачи по математике в этом номере взяты из числа предлазавшихся на последней Московской математической олимпiadе, некоторые формулировки следует изменены.

Ф36. Капля жидкости лежит на плоской стороне полусферической стеклянной пластинки. Покажите, как можно определить показатель преломления жидкости из наблюдающий полного внутреннего отражения. Показатель преломления стека тоже неизвестен и его надо определить.

47

Ф37. В двух вертикальном расположенных цилиндрах, площади сечения которых $S_1$ и $S_2$, находятся два неверсимых поршня, соединенных тонкой неверсимой нитью длины $l$ (рис. 1). Пространство между поршнями заполено водой. Найти наяжение нити, если концы сосудов открыты в атмосферу. Плотность воды $\rho$.

Ф38. Широкое колено U-образного ртутного манометра имеет больший диаметр, чем узкое. К какому колену следует прикрепить шкалу для отчета измерения давления, чтобы точность измерения была выше?

Ф39. Планету радиуса $R$ и массы $M$ окружает равноплотная атмосфера, состоящая из газа с молекулярным весом $\mu$. Какова температура атмосферы на поверхности планеты, если высота atmosферы равна $H$?

Физическая олимпиада МГУ, 1967 г.

Ф40. При какой разности потенциаль между электродами зажигается неоновая лампочка, если энергия ionизация неона $I=21,5$ эв, а среднее расстояние между двумя последовательными стольновениями электрода с atomами газа равно 0,4 мц? Электроды имеют вид больших пластинок, расположенных на расстоянии $d=3$ мм друг от друга.

Ф41. Во сколько раз обеспечность в лунную ночь в полнолуние меньше, чем в солнечный день, при одинаковой высоте Луны и Солнца над горизонтом? Считать, что освещенная полученная лунь равномерно рассеивает свет в пространство. Радиус Луны принять равным 2000 км, а расстояние от Луны до Земли — 400 000 км.

M31. Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезают на две части, и так делают много раз. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы среди полученных частей оказалось равно столько измерения была выше?

И. Берништейн

M32. Во всех клетках таблицы $100 \times 100$ стоит плюсы. Разрешается одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или одного столбца. Можно ли, продолжав также операции несколько раз, получить таблицу, гдеровно 1970 минутов?

А. Зелевинский

M33. Имеется натуральное число $n>1000$. Возьмем остатки от деления числа $2^n$ на числа 1, 2 3, . . . , $n$ и найдем сумму всех этих остатков. Доказать, что эта сумма больше $2n$.

А. Куиниренко

M34. Доказать, что если натуральное число делится на 10 101 010 101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

А. Толпьео

M35. Около сферы радиуса 10 описан неокторый 19-граник. Доказите, что на его поверхности найдет две точки, расстояние между которых больше 21.

А. Куиниренко