Две сценки из жизни

64

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

К задание «Только ли 2?»
(см. «Квант» № 6)

Из равенства $a + b = ab$ найдем $a$:

$$a = \frac{b}{b - 1}.$$

Заметим, что $b \neq 1$.

1. Пусть $a - \text{целое число}.$ Так как числа $b$ и $b - 1$ взаимно просты (их разность деления на их НОД, но она равна 1), то $b - 1 = 1$ или $b - 1 = -1$.

Отсюда $b_1 = 2$, $a_1 = 2$; $b_2 = 0$, $a_2 = 0$.

2. Если $b$ произвольное рациональное число, не равное 1, то по формуле (*) определем $a$.

3. Если $ab = p$, то $p = \frac{b^2}{b - 1}$, откуда

$$b^2 - pb + p = 0, \quad b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - p},$$

$$b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p(p - 4)}{2}}.$$

a) по формуле () для любого $p \geq 4$ или $p \leq 0$ находится соответствующее $b$ и по формуле () $a$;

6. надо найти, существует ли такое число $p$, что

$$p(p - 4) = \frac{q^2}{s^2},$$

(***)

где $\frac{q}{s}$ — несократимая дробь. Решаем уравнение (*) в целых числах $(p, q, s$ и $m$ — целые числа):

$$q^2 = s^2p(p - 4),$$ но из несократимости дроби следует, что $s = 1$.

$$p^2 - 4p - q^2 = 0, \quad p = 2 \pm \sqrt{4 + q^2},$$

$$4 + q^2 = m^2,$$

$$(m - q)(m + q) = 4 \cdot 1 = 2 \cdot 2.$$

Единственное решение в целых числах $m = \pm 2$, $q = 0$, приводит к решении (1).

Две сценки из жизни

«Знающий» экскурсовод

Экскурсовод: …На планеты действует закон Ньютона, поэтому они врачаются вокруг Colnца. Еще на них действует закон Кеплера, но я не буду вам о нем рассказывать, так как он сложный, и вы ничего не понятете… Чтобы улететь от Земли, нужно иметь вторую космическую скорость. Как вы видите на плакате, она равна 11,2 km/сек, в прошлом году она равна 11,4 km/сек… Космонавтам приходится трудно. Когда они пролетают через атмосферу, то она сильно давит на корабль и космосавты испытывали перегрузку, но за атмосферой еще хуже — там начинается пространство невесомости…

В одном НИИ

Аспирант: Я считаю, что каток проседает в битуме из-за того, что от его давления уvelичивается скорость молекул, и они разбегают из-под катка.

Научный руководитель: Над чем вы конкретно сейчас работаете?

Аспирант: Вычислюо зависимость скорости молекул битума от давления на них катка.

Научный руководитель: Хорошо. Что вам нужно, чтобы закончить работу?

Аспирант: Мне бы гидравлический пресс!

Научный руководитель: Пишите заявку. Думаю, достанем.