Уравнения орнаментов

14

УРАВНЕНИЯ ОРНАМЕНТОВ
М.И.Бржозовский

Подбирая должны образом уравнения, можно получить самые разнообразные, подчас весма приудливые картины. Например, можно получить «розициу», изображенную на рисунке А. Как это сделать? Предварительно нам придется вспомнить, что числовой плоскость называется множество всех пар действительных чисел (см. статью А. Н. Колмогорова «Что такое график функции», «Квант» № 2, 1970 г.) Любое множество точки числовой плоскости условия называется геометрической фигура описывается уравнением $f(x, y)=0$.

Можно, в частности, рассмотреть множество всех таких пар действительных чисел $(x, y)$, для которых $f(x, y)=0$, где $f(x, y)$ — заданное выражение. В этом случае говорят, что получающаяся геометрическая фигура описывается уравнением $f(x, y)=0$.

Так, уравнение $x^2-y=0$ описывает парабoly; уравнение $x^2-y^2=0$ — две прямые ($y=x$ и $y=-x$), пересекающие в точке $(0, 0)$; уравнение $x^2+y^2=2$ — окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $\sqrt{2}$; уравнение $|x|+|y|=1$ — квадрат с центром в точке $(0, 0)$ и вершинами, лежащих на координатных осях.

Тепер рассмотрим следующие уравнения:

$$\left(x+y\mathrm{ctg}\frac{\pi n}{32}\right)\sqrt{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{49}-1} = 0$$

(1)

Рис. А.
Рис. Б.
Рис. В.

16

рис. 1). Уравнение окружности $F_1$ в той же системе координат записьется уже в виде

$$(x - 2)^2 + y^2 = 1.$$

Аналогично можно получить целочку окружности $F_{-1}, F_2, F_{-2}, \dots, F_k, F_{-k}, \dots$. Они образуют линейный орnament.

Всю эту целочку окружности можно описать одним уравнением, если в расстояние функции $[x]$ — целая часть $x^*$).

Вот это уравнение:

$$(x - 2 \left[ \frac{x + 1}{2} \right])^2 + y^2 = 1.$$

Если $x$ находится в промежутке $[2k - 1, 2k + 1)$, то это уравнение, как нетрудно проверить, задает одну из окружностей:

$$(x - 2k)^2 + y^2 = 1.$$

Вообще, если $f(x, y) = 0$ (при $a \leqslant x < a + T$) — уравнение неокоторой геометрической функции, которое мы назовем основной функцией $F_0$, то линейный орnament, полученный из $F_0$ переносами на $kT$ единиц по оси $Ox$ (где $T > 0$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$), описывается уравнением

$$f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right], y \right) = 0.$$

Пусть теперь основная функция $F_0$, заданная в полосе $(b \leqslant y < b + S)$ переносится (по диагонали) на $kT$ единиц по оси $Ox$ и на $kS$ единиц по оси $Oy$. тогда получается линейный орnament со звеньями из функции $F_i$, расположенный вдоль отрезка, соединяющего начало координат $(0, 0)$ с точкой $(T, S)$, а уравнение

$$* ) \text{ Функция } [x], \text{ называемая «целой часть } x», \text{ определяется равенством } [x] = k, \text{ если } k \leqslant x < k + 1, \text{ где } k - \text{ целое число (наибольшее целое число, не превысходящое } x).$$

Рис. 2.

этоого орnamentа будет

$$f \left( x - T \left[ \frac{y - b}{S} \right], y - S \left[ \frac{y - b}{S} \right] \right) = 0 \quad (7)$$

(при $S \neq 0$). При $T = 0$ получается линейный орnament, расположенный вдоль оси $Oy$. Комбинацией переходов (6) и (7) получаются уравнения двумерных орnamentов.

Интересно отмечить, что если функция $y = f(x)$ определяена в интервале $a \leqslant x < a + T$, то функция

$$y = f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right] \right)$$

определена на всей вещественной оси $-\infty < x < \infty$, периодична с периодом $T$ и совпадает с $f(x)$ в интервале $a \leqslant x < a + T$.

Функция $f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right] \right)$ называют периодическим продолжением функции $f(x)$. Например, если $y = |x|$ в промежутке $(-1, 1)$, то

$$y = |x - 2 \left[ \frac{x + 1}{2} \right] |$$

— периодическая функция с периодом $T = 2$, ее график приведен на рисунке 2.

На рисунке 3 изображен линейный орnament, составленный из дуг окружностей радиуса $R = 1$. Основу этого орnamentа составляет функция $F_0$ (красная часть рисунка 3), заданная уравнением

$$\left( x - \left[ \frac{x + 1}{2} \right] \right)^2 + \left( y - \left[ \frac{y + 1}{2} \right] \right)^2 = 1.$$

18

Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.

$F_0$ — множество всех внутренних точек шестиугольника с центром в начале координат, вписанного в окружность радиуса $R = \frac{2}{\sqrt{3}}$ (рис. 7).

Уравнение этого шестиугольника можно записать в виде

$$\left| y \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} - 1}{2} \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} + 1}{2} \right| = 1,$$

так как для этих и только этих точек выполняются неравенства

$$1 \leqslant | y | + \left| \frac{x \sqrt{3} - 1}{2} \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} + 1}{2} \right| < 2.$$

Чтобы получить синюю часть паркета, можно сначала произвести над $F_0$ серию переносов по оси $Ox$ (при $T_1 = 2\sqrt{3}, a = -\frac{2}{\sqrt{3}}$), а затем полосу из фигур $F_i$ (на оси $Ox$) переести по диагонали (при $T_2 = \sqrt{3}, S = 3, b = -1$). Уравнение красной части паркета получается из построенного уравнения заменой $y$ на $y - 2$, а желтой части — заменой $y$ на $y + 2$.

Интересные круговые орнаменты получаются, если воспользоваться полярными координатами.

В полярной системе координат каждой точка $A$ имеет две координаты (рис. 8): расстояние $\rho$ от этой точки до начала координат $O$ и угол $\varphi$, который образует луч $OA$ с фиксированной осью (на рисунке 8 — с

осью $Ox$); отсчитывается этот угол в положительном направлении (против часовой стрелки) от оси $Ox$. «Начало координат» (точка $O$) имеет координаты $\rho = 0$ и любой угол $\varphi$; любая другая точка имеет однозначно определенную положительную координату $\rho$ и определенную с точкию до кратных $2\pi$ координату $\varphi$.

В полярной системе координат, как и в декартовой, можно описывать фигуры уравнениями. Например, уравнение окружности $F_0$ на рисунке 1 будет $\rho = 1$ (как видим, оно городадо проще уравнения в декартовой системе координат).

Если $f(\rho, \varphi) = 0$ — уравнение основной фигуры, содержащейся в секторе $0 \leqslant \varphi < \frac{2\pi}{n}$, то по аналогии с формулой (6) уравнение

$$f(\rho, \varphi - \frac{2\pi}{n} \cdot \left[ \frac{n\varphi}{2\pi} \right]) = 0$$

задает круговой орнамент, составленный из фигур $F_i$.

Например, можно написать уравнение правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Уравнение $\rho \cdot \cos \left( \varphi - \frac{\pi}{n} \right) = R \cos \frac{\pi}{n}$ внутри сектора $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{2\pi}{n}$ задает сторону $AB$ (рис. 9), а после серии поворотов отрезка $AB$ на углы, кратные $\frac{2\pi}{n}$, получается и вес $n$-угольник.

Его уравнение по формуле (8) может быть написано в виде

$$\rho \cdot \cos \left( \varphi - \frac{\pi}{n} - \frac{2\pi}{n} \cdot \left[ \frac{n\varphi}{2\pi} \right] \right) = R \cos \frac{\pi}{n}.$$