Варианты вступительных экзаменов по математике 1971 года

45

Вариант 1

1. Дана правильная четырехугольная парамида $SABCD$, у которой все ребра равны $a$. Через вершину $A$ основания проведена плоскость, параллельная диагонали $BD$ и образующая с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найти площадь сечения.

2. Две точки движутся равномерно по двум окружностям, радиусы которых относятся как 1:6. Определить скорость движения каждой точки, если известно, что за 10 сектора движутся по большей окружности, прошла на 2 м больше и совершила при этом в 5 раз меньше оборотов.

3. Решить неравенство

$$\frac{x+1}{x-1}+1>\frac{x-1}{x}.$$

4. Решить уравнение

$$\log_{\sqrt{2}} \sin x(1+\cos x)=2.$$

Вариант 2

1. Основанием парамиды $SABC$ служит равноведенный треугольник $ABC$, у которого $AB=AC=b$, $BC=a$. Определить площадь сечения, проходящero через ребро $SA$ и перpendикулярного к плоскости основания, если боковые грани образуют с плоскостью основания равные двумгранные углы $\alpha$.

2. Из пункта $A$ в пункт $B$ выехали одновременно два автоматы. Скорость второго автомата больше скорости первого на 10 км/час. Через полчаса из $A$ в $B$ выехал третий автомат с скоростью 60 км/час, который догнал первый автомат и через полтора часа после этого догнал вторый автомат. Найти скорости автоматей.

$$\frac{x+3}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{3x+1}.$$

4. Решить уравнение:

$$\sin x(1+\cos x)=1+\cos x+\cos^2 x.$$

Ленинградский государственный педагогический институт имени А. И. Герцена

Mathematical Fakultet

1. Упростить выражение:

$$\left[ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3+2a^{3/2}+b\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b^{3/2}}+\frac{3\sqrt{ab}-3b}{a-b} \right]^{-2}.$$

2. Найти все значения $\alpha$, при которых выражение

$$\lg[(6\alpha-5)x^2-5(\alpha-1)x+2\alpha-6]$$

имеет смысл при любом $x$.

3. Решить уравнение:

$$\mathrm{tg} x+\frac{\cos x}{1+\sin x}=2.$$

4. Полная поверхность правильной четырехугольной парамиды равна $S$, а двумя нулевой угол при основании равен $\alpha$. Определить объем парамиды.

Физический Fakultet

1. Упростить выражение:

$$\left[ \left(\sqrt{4x}-\sqrt{4a}\right)^{-1}+\left(\sqrt{4x}+\sqrt{4a}\right)^{-1} \right]^{-2}:\frac{x-a}{4x^{1/2}+4a^{1/2}}.$$

2. Решить уравнение:

$$\frac{1}{x}(\lg 1-\lg 243)+\lg 3^{x-4}=0.$$

3. Упростить выражение:

$$\frac{2(\sin 2\alpha+2\cos^2\alpha-1)}{\cos \alpha-\sin \alpha-\cos 3\alpha+\sin 3\alpha}.$$

4. Высота конуса равна $h$. Плоские углы при вершине правильной четырехугольной парамиды, вписянной в этот конус, равны $\alpha$. Определить объем конуса.

46

Ленинградский горный институт

1. Решить систему уравнений:
   $$\begin{cases} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 2, \\ \frac{3}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 7. \end{cases}$$

2. Доказать тождество:
   $$\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos (\alpha + \beta) + \cos^2 (\alpha + \beta) = \sin^2 \beta.$$

3. Решить уравнение:
   $$x + \lg (1 + 2^x) = x \lg 5 + \lg 6.$$

4. При каких значениях $b$ имеет смысл выражение:
   $$\lg \left(1 + \frac{6b + 5}{3 + 2b}\right)?$$

5. Непараллельные боковые стороны трапеции перpendикулярны друг к другу. Однако их составляют с основанием угол $\alpha$ другая составляют такой же угол с диагональю. Вычислить площадь трапеции, если ее высота равна $h$.

Ленинградский технический институт имени Ленсовета

1. Доказать тождество:
   $$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right).$$

2. Все боковые грани четырехугольной пирамиды — правильные треугольники. Найти ее двумя углы.

3. Найти все значения параметра $a$, при которых графики функции $y = ax - 1$ и $y = \frac{1}{x-1}$ пересекаются только в одной точке. Построить для найденных значений $a$ чертежи.

4. Найти область определения функции $y = \log_x \left(\cos \frac{3\pi}{1+x^2}\right).$

5. Найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $\log_{(a+x)} x (a-x) < \log_{(a+x)} x$ имеет хотя бы одно решение.

Ленинградский инженерно-строительный институт

1. Вычислить:
   $$(1,5)^3 \cdot (2,25)^{1,5} \cdot 0,75^{-3} : \left[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{-2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} - \left(2^{-1}\right)^{-1} - \left(2 \frac{3}{7}\right)^0 \right].$$

2. Привести к виду, удобному для логарифмирования:
   $$2 \cos^2 \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{3\pi}{2}\right) + \sqrt{3} \cos \left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) - 1.$$

3. Основанием пирамиды служит ромб, меняшая диагональ которого равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом $\beta$. Найти объем пирамиды.

4. Решить уравнение:
   $$\sqrt{2} \cdot (0,5)^{\frac{5}{4} \sqrt{x} + 10} - (\sqrt{x} + 1) \sqrt{4} = 0.$$

5. Упростить:
   $$\log_b a \sqrt{a^2} - 2 \log_b a \sqrt{a} \cdot \log_a b \sqrt{b} + \frac{1}{2} \log_a b \sqrt{b}.$$

Ленинградский институт точной механики и оптики

1. Упростить при $y > -1$
   $$\left[ \frac{xy+x}{(y+1)^2} + \frac{x^2-(y+1)\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{3}y+1} \right] : \left(x + \sqrt[6]{x^3+x^2y^2+2yx^3}\right) - \frac{(1+y^{-1})^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{y^{-1}}}.$$

2. Решить уравнение:
   $$\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} + \sqrt[3]{x+3} = 0.$$

3. Решить уравнение:
   $$\cos 7x + \sin^2 2x = \cos^2 2x - \cos x.$$