Электромагнитная индукция

51

Электромагнитная индукция

Л. Г. Аспамазов

Решение задач на электромагнитную индукцию основывается на использовании закона Фарадя: если магнитный поток, произвольный некоторый контур, за время $\Delta t$ изменяется на величины $\Delta \Phi$, то в контуре наводится электродвижущая сила $E_{\text{инд}} = k \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ (к — число лентийной коэффициент, зависимости от выбора системы единиц). В этой форме через $\Delta \Phi$ мы обозначили абсцилтуную величины изменения магнитного потока, считая $E_{\text{инд}}$ всегда положительный.

Направление индуцируемого в контуре тока наводится по правилам Ленца: ток направлен так, чтобы его магнитное поле противодействовал изменению магнитного потока.

Magнитный поток равен произведению составляющей индукции магнитного поля $B_1$, перpendикулярной плоскости контур, на площадь контур $S$ (рис. 1): $\Phi = B_1 S = BS \cos \alpha$. Следовательно, изменение магнитного потока может произходить из-за изменения индукции магнитного поля, площади контур или его ориентации.

Перейдем теперь к решению задач.

Задание 1. Проволочная рамка произвольная магнитным полем,

перpendикулярным плоскости рамки и равномерно растущим со временем по закону: $B = at$. Каков характер тока, текущего по рамке?

Скорость изменения магнитного потока в этом случае постоянна: $\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{a (t_2 - t_1)}{\Delta t} S = a S$ где $S$ — площадь рамки. Поэтому э.д. с., наводимая в рамке, а, следовательно, и ток будет постоянным.

Задание 2. Проволочная рамка наводится в постоянном магнитном поле, направление индукции которого составляет угол $\alpha = 60^\circ$ с perpendикуляром к плоскости рамки. Чему равно среднее значение э.д. с. индукции, возникающее в рамке при выключении поля в течение времени $\Delta t = 0,001$ сек? Площадь рамки $S = 50 \text{ cm}^2$, индукция поля $B = 1000 \text{ ec}$.

Изменение магнитного потока в данном случае равно начальной его значению, так как конечное значение равно нулю (магнитное поле выключается): $\Delta \Phi = \Phi_0 = BS \cos \alpha$. Величина э.д. с. индукции $E_{\text{инд}} = kBS \cos \alpha/\Delta t$. Вычисление будем производить в системе СИ, в которой $k = 1$, магнитный поток изменяется в веберх (1 $66 = 1 \text{ m} \cdot \text{m}^2 = 10^8 \text{ ec} \cdot \text{cm}^2$), время —

52

в секундах, а э. д. с. — в волтах.
Подставляя данные задачи, находим $E_{\text{инд}} = 0,25 \ \beta$.

Задание 3. Исходные данные те же, что и в задаче 2. Чему будет равна э. д. с. индукции, если поле оставить неизменным, а рамку повернуть на угол $\beta = 30^\circ$ вокруг оси, перпендикулярной полю, за время $\Delta t = 1$ сек.

При повороте рамки на угол $30^\circ$ возникны два варианта: либо поле окажется лежащим в плоскости рамки (рис. 2, а), либо будет составлять с перпендикуляром к плоскости рамки угол $30^\circ$ (рис. 2, б). В первом случае конечное значение магнитного потока равно нулю ($\cos 90^\circ = 0$) и $E_{\text{инд}} = 0,25 \ \beta$. Во втором случае $\Delta \Phi = BS$ ($\cos 30^\circ - \cos 60^\circ) = 1,8 \times 10^{-4} \ \beta$, а $E_{\text{инд}} = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = 1,8 \cdot 10^{-4} \ \beta$.

В рассмотренных задачах изменялся магнитный поток через контур (на рисунках мы изображали контур в виде прямого левой рамки, хотя форма его несущетвена). В результате в контуре наводилась э. д. с. индукции, пропорциональная скоростью изменения магнитного потока. Интересно, что количество электричества, переносимое по контуру под действием э. д. с., уже не зависит от скорости изменения магнитного потока и определяется только разность его начального и конечного значений.

В самом деле, под действием $E_{\text{инд}} = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ в контуре появляется ток, величина которого определяется по закону Ома $I = \frac{E_{\text{инд}}}{R} = \frac{\Delta \Phi}{R \Delta t}$, где $R$ — сопротивление контура. Следовательно, по контуру переносится заряд $Q = I \cdot \Delta t = \frac{\Delta \Phi}{R}$.

Посмотрим, какой заряд протекал по рамке в задачах 2 и 3, если сопротивление рамки $R = 1$ ом.

Изменение магнитного потока при выключении поля (задача 2) $\Delta \Phi = BS \cos \alpha = 2,5 \cdot 10^{-4} \ \beta$. Поэтому заряд, протекший по рамке, равен $Q = \frac{\Delta \Phi}{R} = 2,5 \cdot 10^{-4} \ \kappa$.

В задаче 3 в первом случае, оченьindo, протечет такой же заряд. Во втором случае $q = 1,8 \cdot 10^{-4} \ \beta/\omega = 1,8 \cdot 10^{-4} \ \kappa$.

Задача 4. Квадратная рамка со стороны $a$ помещается в однородное магнитное поле, перпендикулярное ее плоскости (рис. 3, а). При этом по рамке протекает заряд $Q$. Какой заряд протечет по рамке, если при неизменном поле при неизменном поле при неизменном поле равно $\Delta \Phi_0 = Ba^2$, и следовательно, $Q = \Delta \Phi_0/R = Ba^2/R$, откуда $B = QR/a^2$.

Изменение магнитного потока при изменении рамки в магнитное поле равно $\Delta \Phi_0 = Ba^2$, и следовательно, $Q = \Delta \Phi_0/R = Ba^2/R$, откуда $B = QR/a^2$.

Рис. 3.
52

53

пересечения (рис. 3, 6):

$$\Delta \Phi_1 = B \left( a^2 - 2 \frac{a^2}{4} \right) = \frac{B a^2}{2}$$

Позному заряд, протекающий в этом случае по рамке,

$$q_1 = \frac{\Delta \Phi_1}{R} = \frac{B a^2}{2 R}.$$

При повороте одного из квадратов на 180° вокруг диагонали (рис. 3, 6) общая площадь контура не меняется. Однако в конечном положении магнитные потоки, произвольные отдельные квадраты, вычитаются друг из друга так, что общий поток через контур равен нулю. Поэтому при повороте квадрата изменение магнитного потока $\Delta \Phi_2 = \frac{2 B a^2}{4} - 0 = \frac{B a^2}{2}$.

При этом, по рамке протекает заряд $q_2 = \frac{B a^2}{2 R}$. Полный заряд, протекающий по рамке при ее изгибе и повороте, равен $q_3 = \frac{B a^2}{R}$.

Перенос электричства по контуру сопроводяется выделением джоулева тела. Расмотрим, например, такую задачу.

Задание 5. По горизонтальном рельсам, расположенным в вертикальном магнитном поле с индикцией $B$, скольzt проводник длины $l$ (рис. 4). Концы рельсов замкнуты на сопротивление $R$. Определить мощность тепловых потерь на сопротивления, если проводник движется с постоянной скоростью $v$. Сопротивлением рельсов и проводника пренебречь.

Найдем изменение магнитного потока через контур, образованный движущимся проводником, рельсами и сопротивлением за время $\Delta t$. При движении проводника площад контуру увеличивается на величины $\Delta S = l v \cdot \Delta t$. Изменение потока $\Delta \Phi = B \cdot \Delta S = Bl v \cdot \Delta t$. Поэтому

$$E_{\text{инд}} = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = Bl v$$

Под действием этой э.д. с. в кон-

Рис. 4.

тype течет ток

$$I = \frac{E_{\text{инд}}}{R} = Bl v/R$$

Выделяющееся при этом на сопротивлении $R$ теплло определяется по закону Джоуля — Ленца: $Q = I^2 R t$. Мощность тепловых потерь

$$W = \frac{Q}{t} = I^2 R = B^2 l^2 v^2 / R.$$

Полезно разобраться, за счет какой энергии выделяется теплло на сопротивлении.

Как известно, на проводник с током в магнитном поле действует сила (закон Ампера). В нашем случае (магнитное поле перpendикулярно проводнику) эта сила равна $Bl I$ и направлена противоположно скрости. По условиям разобрания с постоянной скоростью $3\Omega$ это означает, что к нему приложена сила $F$, уравновешивающая тормозную силу со стороны магнитного поля. Работа силы $F$ и переходит в теплло, которое выделяется на сопротивлении. Мощность этой силы равна мощности тепловых потерь:

$$N = F \cdot v = Bl I v = B^2 l^2 v^2 / R = W.$$

Из полученных формул следует, что при увеличении сопротивления $R$ ток в контрете будет уменьшаться ($I = Bl v/R$). Однако падение напряжения на сопротивлении, равное разности потенциаль на концах проводника, остается неизменным ($U = IR = Bl v$).

Теперь легко найти величины разности потенциальов, возникших

54

на концах проводника, движущогося в магнитном поле, перпендикулярном направлению его движения. Можно считать, что проводник скользит по воображаемым рельсам, замкнутым на бесконечно большое сопротивление. Тогда разность потенциаль на концах проводника равна $Blv$.

В том случае, когда индукция магнитного поля имеет составляющую в плоскости движения проводника, при вычислении разности потенциаль ее можно не учитывать (она не дает вклад в магнитный поток), то есть существена только перпендикулярная плоскости составляющая магнитной индукции.

Задание 6. Определить разность потенциальов, возникающего между концами крыльев самолета, летящшего горизонтально со скоростью $v = 800 \text{ km/час}$. Расстояние между концами крыльев $l = 30 \text{ m}$. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли $B = 0,5 \text{ sec}$.

Воспользовавшись формулой $U = Blv$ и перейда в систему СИ: $v = 800 \text{ km/час} \approx 222 \text{ m/c}$, $B = 0,5 \text{ sec} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ m/l}$, найдем $U = 0,33 \text{ sec}$. Горизонтальное составляющее магнитного поля Земли можно не учитывать, так как она лежит в плоскости движения самолета.

Заметим, что возникающего разность потенциаль неелья изменить волтметром, находящимся в самом лете, подсоединив его к концам крыльев. Магнитный поток через контур, образующий крыльями самолета и волтметром с проводами, при движении самолета не изменяется, и ток через волтметр равен нулю.

Задание 7. Горизонтальный проводник длины $l = 1 \text{ m}$ движется в вертикальном магнитном поле с индикцией $B = 1000 \text{ sec}$. Скорость проводника $v = 100 \text{ m/c}$ образует угол $\alpha = 60^\circ$ с самим проводником (рис. 5).

Определить разность потенциаль на концах проводника.

Такой проводник мы опять можем представлять себе скользащим по горизонтальным рельсам, замкнутым на бесконечно большое сопротивление. Определим изменение магнитного потока за время $\Delta t$ через контур, образованный проводником, сопротивлением и рельсами. Площадь контура изменяется на величины $\Delta S = lv \cdot \Delta t \cdot \sin \alpha$, следовательно, $\Delta \Phi = Blv \cdot \Delta t \cdot \sin \alpha$.

Изменение магнитного потока вызывает появление в контуре э. д. с. индикции $E_{\text{инд}} = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = Blv \sin \alpha$, которая и равна разности потенциальов $U$ на концах проводника. Подставляя численные данные, находим $U = 8,65 \text{ sec}$.

При изменении магнитного потока через контур, содержащий конденсатор, на конденсаторе появляется заряд.

55

Задача 8. Проводник длины $l = 1$ м скользит по горизонтальном рельсам в вертикальном магнитном поле с индукцией $B = 1000$ sec. Концы рельсов замкнуты на конденсатор емкостью $C = 1$ мкф (рис. 6). Определить заряд на конденсатор, если скорость проводника $v = 100$ м/сек.

Напряжение на конденсатор $U$ равно разности потенциалов на концах движущегося проводника: $U = Blv$. Значит, заряд на конденсатор $Q = CU = BlvC = 10^{-5}$ к.

Заметим, что при движении проводника с постоянной скоростью заряд на конденсатор остается неизменным и ток по проводнику не течение.

Рассмотрим более сложную задачу, в котором эл. d. c. индукции наводится в двух связанных между собой контурах.

Задача 9. Проводник длины $l = 1$ м скользит по горизонтальном рельсам в вертикальном магнитном поле с индукцией $B = 10^{-2}$ мл. Концы рельсов замкнуты на сопротивления $R_1 = 1$ om и $R_2 = 2$ om (рис. 7). Определить ток, текущий через проводник, если скорость проводника $v = 10$ м/с. Сопротивлением рельсов и проводника пренебречь.

Проводник, рельсы и сопротивления образуют два контура. Э. д. c. индукции, наводимые в этих контурах, одинаковы по величины и равны $Blv$ (см. задачу 5). Однако направлены они в разные стороны. Площадь контура с сопротивлением $R_1$ при движении проводника увеличивается. В контуре возникает ток, магнитное поле которого ослабляет внешнее поле. Площадь контура с сопротивлением $R_2$ уменьшается; магнитное поле возникающего в нем ток должно складывать с внешним полем.

Так через движущийся проводник равен сумме токов, текущих в отдельных контурах: $I = I_1 + I_2$; $I_1 = E_{\text{инд}}/R_1 = Blv/R_1$; $I_2 = E_{\text{инд}}/R_2 = Blv/R_2$. Поэтому $I = Blv(R_1 + R_2)/R_1 R_2 = 0,15$ a. Направление тока $I$ показано на рисунке 7. Если изменить направление движения проводника, то направления всех токов также изменятся.

Упражнения

1. Возникает ли индукционный ток, если контур
   a) движется поступательно в однородном магнитном поле;
   b) врашает векруг оси, лежащей в плоскости контура и перpendикулярной индукции однородного поля;
   b) врашает векруг оси, лежащей в плоскости контура и перpendикулярной индукции однородного поля;
   г) движется поступательно mismo полоса прямого магнита (плоскость контура перpendикулярна прямой, соединяющей полоса магнита)?

2. В замкнутую накоротку катушки из медной проводки вводят магнит, созданный внутри нее поле $B = 100$ sec. Какой заряд протекает при этом по катушке? Радиус витка катушки $r = 10$ cm, площадь сечения проводки $S = 0,1$ mm², удельное сопротивление меди $1,75 \cdot 10^{-8}$ om·m.

3. Катушка, содержащая $n = 1000$ витков изолированного провода, находится в магнитном поле, индукция которого равномерно меняется со скоростью $\Delta B/\Delta t = 1/\frac{m\lambda}{c}$.

Концы катушки подсоединяются: a) к сопротивлению $R = 10$ om, значительное превосходящему сопротивление катушки; b) к конденсатору емкостью $C = 10$ мкф. Определить: a) мощность тепловых потерь на сопротивлении; b) заряд на конденсаторе. Радиус витка катушки $r = 10$ cm.

4. Оно время считалось, что головь опередляет свое местонахождение по величене магнитного поля Земли, которое осуществляет на направлении, индуцируемому в нем поле. Оцените величины направления между концами крыльев головь при полете со скоростью $v = 20$ km/час, считая, что расстояние между концами крыльев $l = 30$ cm, а индукция магнитного поля Земли $B = 0,5$ sec.

Может ли головь использовать это направление для определения своего местонахождения, если в атмосфере существуют случаи электрическое поля направлено до $10^{-2}$ б/см?

5. По вертикальном рельсам, расположенным в горизонтальном магнитном поле с индукцией $B$ на расстоянии $l$ друг от друга, скользит проводник. Какой максимальный скорости он может достигнуть, если накоротко замкнута: a) только верхние концы рельсов; b) и верхние, и нижние концы. Масса проводника $m$, сопротивление его $R$. Сопротивлением рельсов пренебречь.