Решение задач по электростатике. (Электроёмкость)

48

Решение задач по электростатике
(электроемкость)

Г. Я. Мякишев

Электроемкость — последняя тема раздела «Электростатика». При решении задач на эту тему могут потребовать все сведения, полученные при изучении электростатики: сохранение электрического заряда, понятия напряженности поля и потенциала, поведение проводников в электростатическом поле, изменение напряженности поля в диэлектриках, закон сохранения энергии. Поэтому и задачи очевидно образны. Однако если предыдущие понятия хорошо усвоены, то особых трудностей при решении задач на электроемкость не должны встретиться.

Введение понятия электроемкости основано на том, что все точки проводника при сообщении ему заряда Q прибретают один и тот же потенциал φ. Отношение заряда к потенциалу при этом не зависит от величины заряда и называется электроемкостью единенного проводника:

$$C = \frac{Q}{\varphi}.$$

Емкость единенного проводящего шара (в вакууме) в системе СГСЭ равна его радиусу:

$$C = R.$$

Емкость шара в диэлектрике в системе СИ равна:

$$C = 4 \pi \varepsilon_0 R.$$

Наболее интересна емкость системы двух проводников, заряды которых одинаковы по величины и имеют противоположные знаки. Такая система называется конден-

сатором, и ее емкость равна:

$$C = \frac{Q}{\Delta \varphi},$$

где Q — заряд одной из обкладок конденсатора, а Δφ — разность потенциалов между обкладками. Емкость конденсатора практически не зависит от окружающих тел.

Для плоского конденсатора

$$C = \frac{\varepsilon S}{4\pi d} \left( \Gamma C \partial\right); \quad C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d} \left( \mathrm{C I}\right).$$

Здесь S — площадь пластин, а d — расстояние между ними.

Энергия конденсатора может быть вычислена по одной из трех формул:

$$\Pi = \frac{Q \Delta \varphi}{2} = \frac{Q^2}{2C} = \frac{C (\Delta \varphi)^2}{2},$$

то есть для любой пары значений из трех величины Q, C, Δφ. При паральном соедининии конденсаторов их емкости складывают:

$$C = \sum_i C_i.$$

При последовательном соедининии величины, обратная емкости батареи, равна сумме величины, обратных емкости отдельных конденсаторов:

$$\frac{1}{C} = \sum_i \frac{1}{C_i}.$$

Напомним основные понятия и формулы, перейдем теперь к решению конкретных задач.

Задача 1. Пластины заряженного плоского конденсатора попеременно заземляются. Будет ли при этом конденсатор разряжаться?

Решение и解答 определяем,

50

$C_4$ не заряжен и его емкость можно не учитывать. Упрощенная эквивалентная схема приведена на рисунке 5. В результате получаем схему из трех параллельных ветвей, две из которых содержат по два последовательно включенных конденсатора. Общая емкость системы

$$C = C_1 + \frac{C_2 C_3}{C_2 + C_3} + \frac{C_5 C_6}{C_5 + C_6} = 2C.$$

Задача 4. Два конденсатора емкостью $C_1$ и $C_2$ заряжены до разностей потенциальов $\Delta \varphi_1$ и $\Delta \varphi_2$ ($\Delta \varphi_1 \neq \Delta \varphi_2$). Доказать, что при параллельном соединении этих конденсаторов их общая электростатическая энергия уменьшается. Объяснить, почему проискодит уменьшение энергии.

Решение. Энергия конденсаторов до соединения была равна $\Pi_0 = \frac{1}{2} \left( C_1 \Delta \varphi_1^2 + C_2 \Delta \varphi_2^2 \right)$. После соединения заряд батареи конденсаторов будет $Q = Q_1 + Q_2$, а энергия, запасенная в батарее, $\Pi = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C_1 + C_2} = \frac{1}{2} \frac{(C_1 \Delta \varphi_1 + C_2 \Delta \varphi_2)^2}{C_1 + C_2}$. Разность энергии $\Pi_0 - \Pi = \frac{C_1 C_2}{2 (C_1 + C_2)} \times \left( \Delta \varphi_1^2 + \Delta \varphi_2^2 - 2 \Delta \varphi_1 \Delta \varphi_2 \right) > 0$.

Электростатическая энергия уменьшалась вследствие того, что при соединении конденсаторов проводниками заряды переtekали с одного конденсатора на другой. В проводниках, соединяющих конденсаторы, выделялось при этом тепло.

К логическим задачам

(см. стр. 28)

1. Налример, можно спроить: «Лежец ли ты?», и они ответят одинаково. Можно также спроить: «Говоришь ли ты правду?», и они тоже ответят одинаково.

2. На вопрос «Спрашивал ли я Вас сегодня о чем-нибудь?» в первый раз правильный ответ — «нет», а во второй раз — «да». Есть и другие вопросы.

3. Если туристы подошли к одному берегу, то перерабатся на противоположный берег за четное число рейсов, очень низко. Значит, туристы подошли к противоположным рейкам: две к одному берегу, а третий — к другому. В этом случае переправу можно осуществить за два рейса.

4. Так как сумма цифр пятизначного числа не превышает 45, то моему соседу не больше 45 лет. Но ему не может быть и меньше 45 лет, либо тогда больше бы называть несколько пятизначных чисел, у которых сумма цифр равна возрасту соседа. Значит, ему 45 лет, а мой lotерейный билет имеет номер 99 999.